广东省深圳市第二十二高级中学（中科附高）2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题【含答案】

中科附高开学考一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】解：由集合A得,所以故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2.下列函数中哪个与函数y=x相等（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】已知函数的定义域是，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【详解】对于A,函数的定义域为，两个函数的定义域不同．对于B，函数的定义域为，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．对于C，函数的定义域为，，对应关系不一致．对于D，函数定义域为，两个函数的定义域不同．故选:B．3.中角，，所对边的长分别为，，.向量，.若，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量共线可得，然后由余弦定理可得答案.【详解】因为向量，，，所以，即，由余弦定理可得，因为，所以，故选：B4.对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（）甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A.甲的极差是29 B.甲的中位数是25C.乙的众数是21 D.甲的平均数比乙的大【答案】B【解析】【分析】根据已知数据依次计算判断即可.【详解】对A，甲的极差为，故A正确；对B，甲按从小到大为8，12，13，20，22，24，25，26，27，37，则中位数为，故B错误；对C，乙中最多的为21，所以众数为21，故C正确；对D，甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的大，故D正确.故选：B.5.以下四个命题中，正确的是（）A.向量与向量平行B.为直角三角形的充要条件是C.D.若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底【答案】D【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算判断A，利用三角形中不一定为直角，结合充要条件概念判断B，根据数量积的运算律判断C，利用共面向量基本定理及基底的概念判断D.【详解】因为为空间的一个基底，设，即，无解，所以，，不共面，则，，构成空间的另一基底，故D正确；因为，所以和不平行，故A错误；为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是，所以无法推出，故B错误；，当时，，故C错误.故选：D.6.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A.0.42 B.0.12 C.0.18 D.0.28【答案】B【解析】【分析】由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得．【详解】所求概率为.故选B.【点睛】本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题．7.在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据四点共面的向量表示，可得结果.【详解】由共面知，故选：【点睛】本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.8.如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③平面；④平面，其中恒成立的为（）A.①③ B.③④ C.①② D.②③④【答案】A【解析】【分析】在①中：由题意得平面，从而平面平面，由此得到；在②中：由异面直线的定义可知：与是异面直线；在③中：由平面平面，从而得到平面；在④中：由已知得平面，从而得到与平面不垂直.【详解】如图所示，连接、相交于点，连接，.在①中：由正四棱锥，可得底面，，∴.∵，∴平面，∵，，分别是，，的中点，∴，，而，∴平面平面，∴平面，∴.故正确.在②中：由异面直线的定义可知：与是异面直线，不可能，因此不正确；在③中：由①可知平面平面，∴平面，因此正确．在④中：由①同理可得：平面，若平面，则，与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直.即不正确.∴恒成立的结论是：①③．故选：A.二、多项选择题：本大题共4个小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C.若角的终边上有一点，则D.若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.【详解】对于A选项，因为且为第二象限角，故是第二象限角，A错；对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对；对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错.故选：BC.10.已知向量，，，则可能是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得，由此可得.【详解】，可设，则，，，解得：，或.故选：AD.11.下列说法中正确的是（）A.三点确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】BC【解析】【分析】根据不共线的三点确定一个平面及推论判断ABC，根据公理3（基本事实3）判断D.【详解】对于A，不共线三点确定一个平面，错误；对于B，三角形的三个顶点不在一条线，可确定唯一一个平面，故三角形一定是平面图形，正确；对于C，梯形中有两条线平行，可确定唯一一个平面，故梯形一定是平面图形，正确；对于D，若不重合的两个平面相交，则它们一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，错误.故选：BC.12.下列说法正确的是（）A.函数的零点是，B.方程有两个解C.函数，的图象关于对称D.用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上【答案】BCD【解析】【分析】对于A：根据零点的定义进行判断；对于B：利用零点存在定理进行判断；对于C：根据同底数的指数函数和对数函数的图像关于对称进行判断；对于D：利用零点存在定理进行判断.【详解】对于A：令，解得：，所以函数的零点是-4和2.故A错误；对于B：分别作出的图像，如图示：记，有，由零点存在定理，方程有两个解.故B正确.对于C：因为同底数的指数函数和对数函数的图像关于对称，所以函数，的图象关于对称.故C正确.对于D：由零点存在定理，因为，，，所以方程的根落在区间上.故D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，共20分，把填在答题卡的相应位置.13.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则_________．（用、、表示）【答案】【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出向量关于、、的表达式.【详解】连接，如下图所示：，.故答案为：.14.已知复数的实部等于虚部，则________.【答案】-1【解析】【分析】根据复数的概念及除法运算计算即可.【详解】由题意得，，所以，所以.故答案为：-115.设函数，，若，则函数的最大值为________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，作出函数图象，数形结合分析计算即可.【详解】作出函数的图象如图所示，当时，即，解得或，则由图象可知.故答案为：.16.已知正数、满足，则的最小值是________．【答案】.【解析】【分析】利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【详解】，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤17.函数是R上的偶函数，且当时，函数的解析式为（1）用定义证明在上是减函数；（2）求当时，函数的解析式．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）任取，且，通过确定的正负来证明单调性；

（2）应用偶函数的性质，与时的解析式，可以求出时的解析式．【小问1详解】∵，任取，且，

则，

，即；

∴在上是减函数；【小问2详解】当时，，

∵时，，

，

又∵是R上的偶函数，

∴，

∴，

即时，.18.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值．【答案】（1）;（2）【解析】【详解】【试题分析】（1）先运用三角变换公式化简，再用周期公式求解；（2）借助所给定义域内的变量的取值范围结合三角函数的图象探求..（1）.（2）.点睛：本题旨在考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．第一问时，先借助二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦公式将其化简，再运用周期公式求解；解答第二问时，则借助题设中提供的定义域进行分析推证，最后借助正弦函数的图象求出其最大值和最小值.19.已知为的三内角，且其对边分别为，若.（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦函数公式可得，结合范围，可得，根据三角形内角和定理可求的值．由余弦定理结合已知可得，利用三角形面积公式即可计算得解．【小问1详解】，,又,,且，.【小问2详解】由余弦定理，可得：即解得，.20.如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，设.（1）试用表示；（2）已知为对角线的中点，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可表示出来；（2）由可计算出.【详解】（1）；（2）由题意知，，，，.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.21.公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩（单位：分）如下：男：165166168172173174175176177182184185193194女：168177178185186192公司规定：成绩在180分以上（包括180分）者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数．（2）如果用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？【答案】（1）中位数是175.5，平均数181；（2）.【解析】分析】（1）根据中位数的计算方法，可求得男生成绩的中位数，再由平均数的计算公式，可得女生成绩的平均数；（2）先利用分层随机抽样的方法，求得从“甲部门”抽取2人选，在“乙部门”抽取3，再结合古典概型的概率的计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，男生共有14人，将男生成绩按从小到大的顺序排列，中间两个成绩175和176，根据中位数的计算方法，可得男生成绩的中位数是，由平均数的计算公式，可得女生成绩的平均数.（2）用分层随机抽样方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选共20人中抽取5人，所以每个人被抽中的概率是.由题意可知，“甲部门”共有8人，“乙部门”共有12人，所以选取的“甲部门”的人选有（人），“乙部门”的人选有（人），记选中“甲部门”的人选为，，选中的“乙部门”的人选为，，，从这5人中选2人的所有可能结果为，，，，，，，，，，共10个基本事件，其中事件“至少有一人是“甲部门”人选”包含，，，，，，，共有7个基本事件，所概率为.【点睛】本题主要考查了中位数、平均数的计算，以及抽样方法和古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，利用中位数、平均数和古典概型的概率计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.22.直棱柱中，底面是直角梯形，（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）在上是否存一点，使得与平面与平面都平行？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）的中点.【解析】【分析】（Ⅰ）为证平面,须证AC垂直面内两条相交直线:和BC即可.前者易证,后者利用计算方法证明即可.（Ⅱ）设P为的中点,证明为平行四边形,即可证明存在点P,满足题意.【详解】（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．又∠BAD＝∠ADC＝90°，，∴，∠CAB＝45°，∴，BC⊥AC．又，平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点．证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝AB．又∵DC∥AB，DC＝AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，∴DCB1P为平行