浙江省杭州市市电子职业中学高三数学理模拟试题含解析

浙江省杭州市市电子职业中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量满足（

）参考答案：C略2.某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：零件数（个）102030加工时间（分钟）213039现已求得上表数据的线性回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（

）A．84分钟

B．94分钟

C．102分钟

D．112分钟参考答案：C3.若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，，则球的表面积为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B因为，，，所以，所以。所以，即为直角三角形。因为三棱锥的所有顶点都在球的球面上，所以斜边AC的中点是截面小圆的圆心，即小圆的半径为.,因为是半径，所以三角形为等腰三角形，过作,则为中点，所以,所以半径，所以球的表面积为,选B.4.已知集合，，则A. B.C. D.参考答案：C5.已知平面向量A.2

B.

C.

D.4参考答案：C6.角α终边经过点（－sin20°，cos20°），则角α的最小正角是（）A．110°?B．160°?C．290°?D．340°?参考答案：A考察三角函数定义及诱导公式。是第二象限角，，,所以。7.设集合A={1,2,3}，B={4,5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B，四个元素，所以选B.

8.若集合，则集合A. B. C. D.R参考答案：C略9.设函数，则其零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：B【考点】函数的零点．【分析】分别求出所给区间两个端点的函数值的乘积，由零点的性质知，零点在乘积小于0的区间内．【解答】解：∵f（1）f（2）=（1﹣2）×（8﹣1）=﹣7＜0，∴其零点所在区间为（1，2）．故选B．10.若是关于的实系数方程的一根，则该方程两根模的和为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B因为是关于的实系数方程的一根，所以也是方程的根，所以，选B.【答案】【解析】二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.考察下列一组不等式：23+53＞22?5+2?52，24+54＞23?5+2?53，25+55＞23?52+22?53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是

．参考答案：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中的式子变形得22+1+52+1＞22?51+21?52（1）23+1+53+1＞23?51+21?53（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+n＞2m5n+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n【解答】解：22+1+52+1＞22?51+21?52（1）23+1+53+1＞23?51+21?53（2）观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，则推广的不等式可以是：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n故答案为：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n．12.

甲乙两人进行乒乓球单打决赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军），对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则爆出冷门（乙获冠军）的概率为

。参考答案：答案：

13.已知函数的图像过点，则函数的图像关于轴的对称图形一定过点(

)。

参考答案：（4，－2）14.存在两条直线与双曲线相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为__________。参考答案：15.平面向量a，b，e满足|e|=1，ae=1，be=2，|a-b|=2，则ab的最小值是

．参考答案：略16.已知圆x2+y2=1和圆外一点P（1，2），过点P作圆的切线，则切线方程为．参考答案：x=1或3x﹣4y+5=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论．【解答】解：圆心坐标为（0，0），半径为1，∵点P（1，2）在圆外，∴若直线斜率k不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线的距离为1，满足相切．若直线斜率存在设为k，则直线方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，则圆心到直线kx﹣y+2﹣k=0的距离等于半径1，即d==1，解得k=，此时直线方程为3x﹣4y+5=0，综上切线方程为x=1或3x﹣4y+5=0，故答案为：x=1或3x﹣4y+5=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．注意讨论直线的斜率是否存在．17.已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则可求得：

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（08年全国卷2文）（本小题满分12分）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．参考答案：解：设数列的公差为，则，，．由成等比数列得，即，整理得，解得或．当时，．当时，，于是．19.选修4-5：不等式选讲已知函数，．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若关于的不等式有解，求a的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，即解不等式当时，不等式可化为，即，与矛盾无解当时，不等式可化为，即，所以解得当时，不等式可化为，即，所以解得综上所述，不等式的解集为（Ⅱ）因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，不等式有解等价于，故的取值范围为

20.如图，已知中，，，，，交于，为上点，且，将沿折起，使平面平面 (Ⅰ)求证：∥平面； (Ⅱ)设点是直线上的点，且，求与平面所成角的正弦值；

参考答案：解析：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.则,,设平面SCD的法向量是则即令，则，于是.，.AM∥平面SCD.（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面SCD的法向量设与平面所成角为所以与平面所成角的正弦值为

略21.已知函数.（1）若点()为函数与的图象的公共点，试求实数的值；

（2）求函数的值域.

参考答案：（1）0（2）[2，]（1）∵点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，

∴cos2α＝1+sin2α，?+cos2α＝1+sin2α∴cos2α-sin2α=1

∴cos2α-1=sin2α，∴-2sin2α=2sinαcosα，∴sinα=0，或tanα=-1．

∵α∈[0，]∴α=0．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）∴h(x)＝cos2x+1+sin2x=+cos2x+1+sin2x

=cos2x+sin2x+=(cos2x+sin2x)+=sin(2x+)+∵x∈[0，]，∴≤2x+≤．∴≤sin(2x+)≤1，

∴2≤sin(2x+)+≤．即函数h（x）的值域为[2，]．

略22.已知，其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞），令f′（3）=0，解得a，经过验证即可．（ⅠI）先求出函数的导数，再分别讨论①当0＜a＜1时，②当a=1时③当a＞1时的情况，从而求出函数的递减区间；（ⅡI）讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时的函数的单调性，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=﹣ax+1﹣，令f′（3）=0，解得a=．经过验证满足条件．（II）令f′（x）==0，解得x1=0，或x2=．①当0＜a＜1时，x1＜x2，f（x）与f′（x）的变化情况如表x（﹣1，0）0（0，﹣1）﹣1（﹣1，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减极小值增极大值减所以f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；单调递增区间为：．②当a=1时，x1=x2=0，f′（x）=﹣≤0，故f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）．③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表x（﹣1，﹣1）﹣1（﹣1，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减极小值增极大值减所以f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞），单调递增区间为：．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞）；单调递增区间为：．当a＞1时，f（x）的单调递增减区间是（﹣1，﹣1），（0