广东省中山市纪中教育集团2023-2024学年 九年级下学期第二次联考数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023-2024学年初三第二次联考数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）1．已知一个乒乓球的标准质量为2.70g，把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02，则质量为2.59gA．+0.11 B．+0.1 C．−0.1 D．−0.112．新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（

）A．B． C．D．3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（

）．A．0.45×107 B．4.5×107 4．如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转30°，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（）A．先右转30°，再直行 B．先右转150°，再直行C．先左转30°，再直行 D．先左转150°，再直行5．下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（

）A． B． C． D．6．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，BC，AB各部分长度的比满足ACBC=A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊垫”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（

）A．12 B．13 C．148．2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村BA”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村BA”大赛总冠军．某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（

）A．xx+1=15 B．xx−1=15 C．9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数是（

）A．110° B．115° C．120° D．125°10．如图，点H是平行四边形OABC内一点，AH与x轴平行，BH与y轴平行，BH=3，∠BHC=135°，S△BHC=6，若反比例函数y=kx(x>0)的图像经过C，A．63 B．12 C．83二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）11．因式分解：a2−36=12．计算：4×713．“春节”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件标价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了元．14．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．15．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB=6，AP=3，BC=8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为．三、解答题一（共4个小题，每小题6分，满分24分）16．计算：−117．如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．

(1)尺规作图：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．18．深中通道是粤港澳大湾区核心交通枢纽工程，该项目计划于2024年6月开通，开通后将会促进粤港澳大湾区城市群的互联互通．深中通道开通后，预计从中山翠亨新区到深圳宝安机场的车程将从原路线的100公里缩短为30公里，平均速度提高为原来的1.2倍，通勤时间将减少1.5小时．请问原路线的平均速度为多少．19．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)当kx+b＞mx时，求x的取值范围四、解答题二（共3个小题，每小题8分，满分24分）20．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知AB=AC=1.8米，AD=1.5米，AC与AB的张角∠BAC记为α．为保证采桑人的安全，α可调整的范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角α大小的锁链．(1)求锁链BC的最大值．(2)若α=42°，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离（结果保留一位小数．参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，19．中山市图书馆购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全市学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)此次被调查的学生人数为________名，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是________度；(3)李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机选择两位进行访问．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．22．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若cos∠PAB=1010，BC=1五、解答题三（共2个小题，第23题10分，第24题12分，满分22分）23．如图，平面内的两条直线l1、l2，点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T(AB，CD)或T(AB,l2)，特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T(AC，AB)=3，则T(BC，AB)=；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角三角形ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，T(BC，AB)=6，求T(BC，CD).24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0与x轴交于A−4,0、B2,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点

(1)求抛物线的解析式．(2)点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ=EQ，求△FEQ的周长最大值．(3)如图2，已知H1,0，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离d答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】本题考查正负数的意义，比标准质量多记为正数，比标准质量少就记为负数．【详解】解：2.59g比标准质量少0.11g，记为故选：D．2．B【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意；B.不是轴对称图形，符合题意；C.是轴对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，不符合题意；故选B．3．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：4500000=4.5×106，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．C【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．由两直线平行内错角相等，即可求解．【详解】解：由题意知：AB∥CD，∠MBC=30°，∴∠DCN=∠MBC=30°，∴他应该先左转30°，再直行．故选：C．5．C【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握相关的性质是解题的关键．根据每个几何体的三视图得到的图像进行判断即可得到答案．【详解】解：A选项的三棱柱的侧视图会出现矩形，不符合题意；B选项的圆柱的侧视图会出现矩形，不符合题意；C选项的圆锥主视图、侧视图、俯视图都不会出现矩形，符合题意；D选项的正方体主视图、侧视图、俯视图都是正方形，正方形是特殊的矩形，不符合题意；故选：C．6．A【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键；把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC:BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可．【详解】解：若ACBC=BCAB=故选：A．7．A【分析】本题考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式进行计算即可．【详解】解：“立春”有两张，“雨水”和“惊垫”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是24故选A．8．D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数=参加比赛的班级球队数×(参加比赛的班级球队数−1)÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：12故选：D．9．A【分析】本题考查了圆周角定理的推论、圆的内接四边形对角互补等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活运用．连接BE，先利用直径所对的圆周角是直角求出∠AEB=90°，然后求出∠BED=70°，再利用圆的内接四边形的对角互补即可求解．【详解】解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠AED=20°，∴∠BED=70°，∴∠BCD=180°−70°=110°，故选：A．10．D【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点C作CE⊥y轴，延长BH交CE于点F，证△COE≌△ABH，求得OE=3，根据S△BHC=6，求得CF=43，得到点H的纵坐标为53，设C(m,3)，则H(m−43,53)，由反比例函数y=kx(x>0)的图象经过C、【详解】解：过点C作CE⊥y轴，延长BH交CE于点F，∵AH与x轴平行，BH与y轴平行，∴∠AHB=90°，∠ADE=∠ABH，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB∥OC，∴∠COE=∠ADE=∠ABH，在△COE和△ABH中，∠AHB=∠CEO∠COE=∠ABH∴△COE≌△ABH(AAS∴OE=BH=3，CE=AH，∵S△BHC∴CF=43∵∠BHC=135°，∴∠CHF=45°，∴HF=CF=43点H的纵坐标为53，设C(m,3)，则H(m−43,53)，∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过C∴k=3m=53(m−43)，∴m=53∴C(53,3∴k=15，故选：D．11．a+6【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式法进行因式分解即可．【详解】解：a2故答案为：a+612．2【分析】本题考查了二次根式的计算和化简．【详解】4×故答案为：2713．28【分析】本题考查了一元一次方程的应用中的打折问题，设节省了x元，根据题意，得140−x=140×0.8，解答即可．【详解】设节省了x元，根据题意，得140−x=140×0.8，解得x=28．故答案为：28．14．0或1【详解】分类讨论：①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数，根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点．故答案为：0或115．10+2【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，则PE+QE的最小值为P′Q，证明出△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，作P′F⊥BC于F【详解】解：如图，作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E

∴P′∴PE+QE的最小值为P′∴△EPQ周长的最小值为P′作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于∵AP=3，∴P∵点O是矩形ABCD的对称中心，PQ经过点O，∴AP=CQ=3∵BC=8，∴BQ=5，∴FQ=8，∵P∴P∵PH=AB=6，HQ=5−3=2，∴PQ=210∴△EPQ周长的最小值为10+21016．1【分析】本题主要考查了立方根、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、特殊角三角函数值，掌握运算法则、正确计算是解题的关键．先算立方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数值进而即可求解【详解】解：−===117．(1)见解析(2)四边形AEFD是菱形，理由见解析【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF，则AE=EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】（1）解：如图所示：

（2）四边形AEFD是菱形；理由：∵矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=∠AFE，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠EFA=∠EAF，∴AE=EF，∵AE=AD，∴AD=EF，∵AD∥∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE=AD，∴平行四边形AEFD是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．18．【答案】原路线的平均速度为50公里/小时【分析】设原路线的平均速度为x公里/小时，则新路线的平均速度为1.2x公里/小时，根据通勤时间比原路线减少1.5小时，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设原路线的平均速度为x公里/小时，则新路线的平均速度为1.2x公里/小时，根据题意，得：100解得：x=50，经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意．答：原路线的平均速度为50公里/小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19．(1)反比例函数的解析式为y=-12x；一次函数的解析式为y=-23(2)S△AOB=9；(3)存在．P点坐标为（-3，0）、（-173【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y=-12x；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=-23（2）结合图形进行分析即可．【详解】（1）解：将A（-3，4）代入y=mx，得m∴反比例函数的解析式为y=-12x将B（6，n）代入y=-12x，得6n解得n=-2，∴B（6，-2），将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得−3k+b=46k+b=−2解得k=−2∴所求的一次函数的解析式为y=-23x（2）x＜－3或0＜x＜6．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会结合图象求自变量的取值范围．20．(1)BC=1.8米(2)3.1米【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：（1）根据大角对大边，得到当α=60°时，BC的值最大，进行求解即可；（2）过点D作DE⊥BC，解直角三角形BED，求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：当α=60°，BC的值最大，∵AB=AC=1.8米，∴当α=60°，△ABC为等边三角形，∴BC=1.8米；（2）过点D作DE⊥BC，∵AB=AC=1.8米，α=42°，AD=1.5米，∴∠B=12180°−42°在Rt△DEB中，DE=BD⋅答：桑梯顶端D到地面的距离为3.1米．21．(1)100，见解析(2)36(3)1【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；（2）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．；【详解】（1）解：此次被调查的学生人数为：20÷20%故答案为：100；D类的人数为：100−10−20−40−5=25（名），补全条形统计图如下：（2）解：在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：360°×10故答案为：36；（3）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中乙、丙两位同学的有2种情况，∴恰好同时选中乙、丙两位同学的概率为21222．(1)证明见解析(2)5【分析】（1）如图所示，连接OB，由切线的性质得到∠PAO=90°，由垂径定理得到OP垂直平分AB，则PA=PB，证明△PAO≌△PBO，得到∠PBO=∠PAO=90°，即可证明PB是⊙O的切线；（2）由AC是直径，得到∠ABC=90°，证明∠C=∠APD，解Rt△ABC求出AC=10，则OA=12AC=102【详解】（1）证明：如图所示，连接OB，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∵AB⊥PO，∴AD=BD，∴OP垂直平分AB，∴PA=PB，又∵OP=OP，∴△PAO≌△PBOSSS∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥PB，∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；（2）∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC+∠C=∠BAC+∠APD=90°，∴∠C=∠APD，∴cos∠C=∴在Rt△ABC中，AC=∴OA=1同理可证∠POA=∠PAD，∴在Rt△AOP中，OP=【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键．23．（1）2；（2）△ABC的面积=39；（3）T（BC，CD）=7【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH的长即可解决问题；(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，∵T(AC，AB)=3，∴AH=3，∵AB=5，∴BH=AB-AH=2，∴T(BC，AB)=BH=2，故答案为2；(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠CHB=90°，∴∠B+∠HCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°∴∠A=∠HCB，∴△ACH∽△CBH，∴CH：BH=AH：CH，∴CH2=AH·BH，∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，∴AH=4，BH=9，∴AB=AH+BH=13，CH=6，∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，∴AC=2，∵∠A=60°，∴∠ADC=∠BDK=30°，∴CD=AC·tan60°=23，AD=2AC=4，AH=12AC∴DH=4-1=3，∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，∴BH=6，∴DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，∴DK=BD·cos30°=33∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=3+323=

【点睛】本题是三角形综合题，考查了