2024年广东省江门市江海区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省江门市江海区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售．据统计，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（）A．0.16×107 B．1.6×106 C．1.6×107 D．16×1062．（3分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A． B． C． D．3．（3分）A、B是数轴上两点，在线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．x6÷x3＝x2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣2x3）2＝4x6 D．x3+x4＝x75．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．6．（3分）在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．85°7．（3分）若a﹣1＜＜a，且a为整数（）A．4 B．3 C．2 D．18．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，OP＝6cm，则PE的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm9．（3分）股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨；当跌了原价的10%后，便不能再跌，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格．若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（）A．（1+10%）（1﹣x）2＝1 B．（1﹣10%）（1+x）2＝1 C．（1﹣10%）（1+2x）＝1 D．（1+10%）（1﹣2x）＝110．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，则圆周率π约为（）A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：a2+8a+16＝．12．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是．13．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，摸出的是红球的概率是．14．（3分）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，则a的值为.若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为°．15．（3分）如图，边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，则图中阴影部分的面积是．16．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E是AD中点，点F在BC上，点A，B的对应点分别为A'、B'，A'B'与BC相交于点G．若AB＝5，且点G平分A'B'．三、解答题一（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）018．（6分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．19．（6分）尺规作图：已知点P为⊙O外一定点，求作⊙O的两条切线PA、PB，并标注好切点A、B．四、解答题二（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0；（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．21．（8分）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？22．（8分）【综合与实践】要测量学校旗杆CD的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：课题测量学校旗杆的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺，小镜子测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C．观测台EA，在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角∠CEF，旗杆底端D点的俯角∠DEF．利用直角三角形纸板的直角边AE保持水平，并且边AE与点M在同一直线上，直角三角板的斜边AF与旗杆顶端C在同一直线上．测量数据AO＝1.5m，AD＝16.5m，∠AOB＝30°．EA＝2.2m，∠CEF＝60°，∠DEF＝30°．AE＝0.4m，EF＝0.2m，AB＝1.8m．（1）根据测量数据，第小组的数据无法计算学校旗杆的高度；（2）请选择其中一个方案及其数据求学校旗杆的高度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）五、解答题三（本大题3小题，每小题10分，共30分）23．（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？24．（10分）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，则AP的最小值是什么？【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，连接AM和BN交于点P，求tan∠DCP的最小值．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，B两点，与y轴交于C点（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使∠ABC＝∠BCM，如果存在，如果不存在，说明理由；（3）若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A，B，连接AE，BE

2024年广东省江门市江海区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售．据统计，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（）A．0.16×107 B．1.6×106 C．1.6×107 D．16×106【解答】解：1600000＝1.6×108，故选：B．2．（3分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A． B． C． D．【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：故选：D．3．（3分）A、B是数轴上两点，在线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A． B． C． D．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，所以可以得出答案为B．故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．x6÷x3＝x2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣2x3）2＝4x6 D．x3+x4＝x7【解答】解：A、x6÷x3＝x4≠x2，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a3+2ab+b2≠a2+b2，故此选项不符合题意；C、（﹣2x7）2＝4x8，故此选项符合题意；D、x3与x4不是同类项，不能合并．故选：C．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解答】解：，解得，不等式组的解集是﹣1＜x≤1，故选：D．6．（3分）在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．85°【解答】解：∵∠A＝30°，∠CBA＝45°，∴∠α＝∠A+∠CBA＝30°+45°＝75°．故选：C．7．（3分）若a﹣1＜＜a，且a为整数（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：，即，∵a﹣1＜＜a，∴a＝4，故选：A．8．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，OP＝6cm，则PE的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴，过点P作PE'⊥OB于点E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值为5cm．故选：B．9．（3分）股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨；当跌了原价的10%后，便不能再跌，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格．若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（）A．（1+10%）（1﹣x）2＝1 B．（1﹣10%）（1+x）2＝1 C．（1﹣10%）（1+2x）＝1 D．（1+10%）（1﹣2x）＝1【解答】解：设x为平均每天下跌的百分率，则：（1+10%）•（1﹣x）5＝1；故选：A．10．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，则圆周率π约为（）A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°【解答】解：如图，连接OA1，OA2，过点O作OM⊥A2A2，垂足为M，设⊙O的半径为R，∵十二边形A1A3…A12是圆内接正十二边形，∴∠A1OA2＝＝30°，又∵OA4＝OA2，OM⊥A1A2，∴∠A1OM＝15°，在Rt△A1OM中，∠A8OM＝15°，OA1＝R，∴A1M＝R•sin15°，∴A6A2＝2A4M＝2R•sin15°，∴正十二边形A1A4…A12的周长为12A1A2＝3R•sin15°×12，∴π＝＝12sin15°，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：a2+8a+16＝（a+4）2．【解答】原式＝（a+4）2，故答案为：（a+6）2．12．（3分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是x≥3．【解答】解：∵二次根式有意义，∴4x﹣9≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥3．13．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，摸出的是红球的概率是．【解答】解：随机摸出1个球共有20种等可能结果，其中摸出的是红球的有2种结果，所以随机摸出2个球，摸出的是红球的概率为＝，故答案为：．14．（3分）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，则a的值为30.若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为36°．【解答】解：由条形统计图可得，a＝100﹣10﹣50﹣10＝30，“一等奖”对应扇形的圆心角度数为：360°×＝36°，故答案为：30，36．15．（3分）如图，边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，则图中阴影部分的面积是12π﹣9．【解答】解：连接并延长AO交BC于点D，连接OB，∵边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝AC＝BC＝6，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝，OB＝OC＝OA，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AD⊥BC，∴∠ODB＝90°，BD＝CD＝，∵∠OBD＝∠OCD＝×（180°﹣∠BOC）＝，∴＝tan∠OBD＝tan30°＝，∴OD＝BD＝，∴OB＝OA＝5OD＝2×＝6，∴AD＝OA+OD＝2+＝3，∴S阴影＝S⊙O﹣S△ABC＝π×（2）2﹣×4×3，故答案为：12π﹣9．16．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E是AD中点，点F在BC上，点A，B的对应点分别为A'、B'，A'B'与BC相交于点G．若AB＝5，且点G平分A'B'4．【解答】解：由折叠性质及矩形的性质得，∠B′＝∠GA′C＝90°，∵点G平分A'B'，∴A′G＝B′G，又∵∠B′GF＝∠A′GC，∴△B′FG≌△A′CG（AAS），∴B′F＝A′C，FG＝CG，设AD＝a，∵点E是AD中点，∴AE＝DE＝a，根据折叠的性质得，A′E＝AE＝a，设BF＝x，则B′F＝A′C＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠GCE，又∠D＝∠GA′C＝90°，∴△A′GC∽△DCE，∴＝，∴＝，∴a＝7x，∵DE2+CD2＝CE2，∴+52＝，∴x6+ax＝25，∵a＝4x，∴x＝或x＝﹣，∴AD＝4a＝4×＝4，故答案为：7．三、解答题一（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0【解答】解：原式＝3﹣2×+8+4＝3﹣1+7+1＝11．18．（6分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．【解答】解：＝•＝•＝，∵x+2≠0，x﹣1≠5，∴x≠﹣3，x≠1，∴当x＝2时，原式＝．19．（6分）尺规作图：已知点P为⊙O外一定点，求作⊙O的两条切线PA、PB，并标注好切点A、B．【解答】解：如图，连接OP，交OP于点M，PM的长为半径画圆，B，作射线PA，由圆周角定理得，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB为⊙O的切线，则PA，PB即为所求．四、解答题二（本大题3小题，每小题8分，共24分）20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0；（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣4）＝4m2+8m+1﹣4m+8＝4m2+5＞0，∴不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由（1）知方程x2+（3m+1）x+m﹣1＝3总有两个不相等的实数根x1、x2，∴x6+x2＝﹣（2m+2）＝﹣2m﹣1，x6x2＝m﹣1，而，即，解得，∵时，m﹣1≠0，∴是原分式方程的解，∴．21．（8分）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？【解答】解：设有x家公司参加，依题意，得x（x﹣3）＝45．整理得：x2﹣x﹣90＝0．解得：x5＝10，x2＝﹣9（舍去）答：共有10公司参加商品交易会．22．（8分）【综合与实践】要测量学校旗杆CD的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：课题测量学校旗杆的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺，小镜子测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C．观测台EA，在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角∠CEF，旗杆底端D点的俯角∠DEF．利用直角三角形纸板的直角边AE保持水平，并且边AE与点M在同一直线上，直角三角板的斜边AF与旗杆顶端C在同一直线上．测量数据AO＝1.5m，AD＝16.5m，∠AOB＝30°．EA＝2.2m，∠CEF＝60°，∠DEF＝30°．AE＝0.4m，EF＝0.2m，AB＝1.8m．（1）根据测量数据，第三小组的数据无法计算学校旗杆的高度；（2）请选择其中一个方案及其数据求学校旗杆的高度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）【解答】（1）第三小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第三小组只测量了AE＝0.4m，EF＝7.2m，没有测量线段EM长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，故答案为：三；（2）第一小组的方案：如图，OF为法线，∴∠BOF＝∠COF，∠AOF＝∠DOF＝90°∴∠DOC＝∠AOB＝30°，在Rt△ODC中，∠D＝90°，DO＝AD﹣AO＝15m，∴DC＝ODtan∠DOC＝15×（m）；答：学校旗杆的高度约为6.7m；第二小组的方案：在Rt△EFD中，∠EFD＝90°，DF＝AE＝2.5m，∴EF＝（m），在Rt△EFC中，∠EFC＝90°，FC＝EFtan∠CEF＝（m），∴DC＝DF+FC≈7.8（m），答：学校旗杆的高度约为8.2m．五、解答题三（本大题3小题，每小题10分，共30分）23．（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20，把B（10，40）代入得，k2＝2，∴y1＝7x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2＝，把C（25，40）代入得，k7＝1000，∴y2＝当x1＝2时，y1＝2×4+20＝30，当x2＝30时，y2＝1000÷30＝，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）令y7＝36，∴36＝2x+20，∴x1＝3令y2＝36，∴36＝1000÷x，∴x2＝1000÷36≈27.5∵27.8﹣8＝19.6＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．24．（10分）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，则AP的最小值是什么？【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，连接AM和BN交于点P，求tan∠DCP的最小值．【解答】解：（1）如图，当点O，P，点P到点A的距离最长，∵点P是⊙O上一动点．⊙O的半径为2，∴AP＝OP+OA＝2+6＝7；（2）连接OA，交半圆于P′，如图所示：∵AC＝BC＝2，BC为半圆的直径，∴OP＝OC＝BC＝1，∵∠ACB＝90°，∴OA＝＝＝，∵AP≥OA﹣OP，∴AP≥﹣1，∴当点P在OA上时，AP最短﹣1；（3）取AB中点O，连接OP、PC∵点M、N分别从点B，以相同的速度沿边BC，∴BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABM＝∠BCN＝90°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠CBN+∠ABN＝90°，∴∠BAM+∠