鲁教版九年级下册5.5.1圆内接四边形的性质同步练习

鲁教版九年级下册5.5.1圆内接四边形的性质同步练习一．选择题（共6小题）1．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠BCD的度数为（）A．75° B．90° C．105° D．120°2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，则∠BOD＝（）A．80° B．50° C．160° D．100°3．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且BD经过圆心O，连接AB，AE，CE，若∠B+∠E150°，则弧CD所对的圆心角的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（）A．3m＝4n B．4m＝3n C．m+n＝7 D．m+n＝180°5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（）A．100° B．128° C．104° D．124°6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°二．填空题（共4小题）7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠B＝60°，则∠D＝．8．如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝°．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．10．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为．三．解答题（共6小题）11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．（1）求证：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为．12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．∵D是中点，∴，∴∠1＝∠2．∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（）（填推理的依据）．∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（）（填推理的依据）．∴∠C＝180°﹣∠B＝（填计算结果）．13．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．16．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝°；（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

鲁教版九年级下册5.5.1圆内接四边形的性质同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝×150°＝75°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣75°＝105°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．2．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，再根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝100°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠C＝160°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．【分析】连接BC、OC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠E＝180°，根据题意求出∠CBD＝30°，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接BC、OC，∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠E＝180°，∵∠ABD+∠E＝150°，∴∠CBD＝30°，∴∠COD＝60°，即弧CD所对的圆心角的度数为60°，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，所以∠A+∠C所占的份数一定和∠B+∠D所占的份数相等，则m+n＝7．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∵∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，∴m+n＝7．故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理求解即可．【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，故选：C．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．6．【分析】由圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用平行线的性质可求解．【解答】解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠OCD＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解∠AOC的度数是解题的关键．二．填空题（共4小题）7．【分析】利用圆内接四边形的性质解决问题即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝60°，∴∠D＝120°，故答案为：120°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．【解答】解：如图：连接AD，∵∠O＝130°，OA＝OD，∴∠OAD＝（180°﹣130°）＝25°，∵∠C＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．故答案为：75．【点评】考查了圆的内接四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．9．【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠BCF＝∠A，根据对顶角相等，得到∠DCE＝∠BCF，利用三角形内角和定理，求出∠ADC的度数，再利用外角的性质，即可得到∠E的度数．【解答】解：∵∠A＝55°，∠F＝30°，∴∠BCF＝∠A＝55°，∠ADC＝180°﹣∠F﹣∠A＝180°﹣55°﹣30°＝95°，∵∠ECD＝∠BCF＝55°，∵∠ADC＝∠E+∠DCE，即：95°＝∠E+55°，∴∠E＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查圆内接四边形，三角形内角和以及外角的性质．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．10．【分析】连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求DF的长．【解答】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是等补四边形，∴A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴＝，即＝，∴DF＝5﹣5．故答案为：5﹣5．【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．三．解答题（共6小题）11．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到BAD＝∠ECD，根据全等三角形的性质得到BD＝ED；（2）连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，求得∠F＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵＝，∴AD＝DC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠ECD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，∵D是弧AC的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠F＝∠DBC＝30°，∴DF＝2CD＝10，∴⊙O的直径长为10，故答案为：10．【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠B即可解决问题．【解答】解：∵D是中点，∴，∴∠1＝∠2．∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠C+∠B＝180°（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据）．∴∠C＝180°﹣∠B＝125°（填计算结果）．故答案为：直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补；125°．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝180°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．14．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据相似三角形的性质得到＝，设BH＝k，AH＝2k，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（2）解：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴，∴＝，设BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴．∴∠DBA＝∠G．∵∠EFB＝∠BFG，∴△EFB∽△BFG，∴，∴FB2＝FE•FG；（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝6．∴OB＝BD＝3．∵点E为AB的中点，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．∴．∴，∴，∴BF＝2；∵点E为