专题08 填空中档重点题（一）（解析版）

专题08填空中档重点题（一）一、填空题1．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则°．

【答案】35【分析】由题意易得，，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∵平分，∴；故答案为35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则．【答案】【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，，∵，，∴，∴，∴点，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．3．（2022·广东深圳·统考中考真题）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．【答案】9【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．【详解】解：根据题意得△，解得．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．4．（2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为．【答案】【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．【详解】解：连接，作轴于点，由题意知，是中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，在反比例函数上，．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为．【答案】【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．【详解】解：的垂直平分线交于点F，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴∵，是角平分线∴∵∴，∴【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．6．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为．【答案】【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标．【详解】设：，反比例：将点A代入可得：；联立可得：过点B作y轴的平行线l过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点则，∴．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．7．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在由正三角形构成的网格图中，三点均在格点上，则的值为．【答案】/【分析】根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出．【详解】解：由正三角形的性质可知，设正三角形构成的网格线段长为，在中，，，根据勾股定理，可得，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．8．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在的外接圆中，，，点E为的中点，则的直径为．【答案】//2.5【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据正弦函数可求得半径，即可求解．【详解】解：连接，则，∵点E为的中点，∴，，∵，∴，∴，∴的直径为．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正弦函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在中，，点D是边的中点，过点D作于点M，延长至点E，且，连接交于点N，若，则的长为．【答案】【分析】证明，得，由勾股定理求得，得，再运用勾股定理求出即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴点M为的中点，∵，∴，∴，∵，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握三角形全等是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为．【答案】【分析】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，平分，平分，，，在中，，，，在中，，，，在和中，，，，，，，，，，，又，，负值舍去，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出的面积是解决问题的前提．11．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为°．

【答案】36【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为列出方程组，解答即可．【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得，解得，故答案为：36．

【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解题意、得出方程组是解题的关键．12．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）如图，已知点，，为坐标原点，点关于直线的对称点恰好落在反比例函数的图象上，则．

【答案】【分析】作轴于点，连接，得到，由点关于直线的对称点为点，得到，由，得到，由，可设，根据，可求出的值，从而得到点的坐标，即可求解．【详解】解：作轴于点，连接，如图所示，

点，，，，点关于直线的对称点为点，，，即，，，，，，设，，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、对称的性质、正切的定义、勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质、对称的性质、正切的定义，添加适当的辅助线是解题的关键．13．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是．【答案】10【分析】利用垂直平分线将PC转化成为PB，ABP三点共线的时候也就是P点与D点重合的时候周长最小.【详解】∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长；∴APC周长的最小值是6+4=10.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质以及周长最小的问题，解题的关键是掌握垂直平分线的性质.14．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，直线y＝ax经过点A（4，2），点B在双曲线y＝（x＞0）的图象上，连结OB、AB，若∠ABO＝90°，BA＝BO，则k的值为．【答案】3．【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥BC于D，易证得△BOC≌△ABD，得出OC=BD，BC=AD，设B的坐标为（m，n），则OC=m，BC=n，根据线段相等的关系得到，解得，求得B的坐标，然后代入y=（x＞0）即可求得k的值．【详解】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥BC于D，则∠COB+∠OBC=90°，∵∠ABO=90°，∴∠OBC+∠ABD=90°，∴∠COB=∠ABD，在△BOC和△ABD中∴△BOC≌△ABD（AAS），∴OC=BD，BC=AD，设B的坐标为（m，n），则OC=m，BC=n，∵点A（4，2），∴，解得，∴B的坐标为（1，3），∵点B在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴k=1×3=3，故答案为3．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，得出相等线段列出关于m、n的方程组是解题的关键．15．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是．【答案】【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可．【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：解不等式①可得：解不等式①可得：因为该不等式组的解集为∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．16．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为．【答案】【分析】如图，过作于，过作与，由题意知，，，，，，解得，，根据，即，求解的值，根据求解的值，进而可得的值．【详解】解：如图，过作于，过作与，由题意知，，，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．17．（2023·广东深圳·二模）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为．【答案】0【分析】把代入一元二次方程可以得到关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．【详解】解：把代入一元二次方程，得：，解得，故答案是：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解，为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟悉相关性质是解题的关键．18．（2023·广东深圳·二模）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），AB=，点A在y轴上，反比例函数经过点B，求反比例函数解析式．【答案】【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理求出OA的长，然后证明△OAC≌DCB，可得BD，CD的长，即可得点B的坐标，最后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式．【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，在Rt△ABC中，AC=BC，AB=，由勾股定理可得AC=BC=2，∵点C的坐标为（1，0），∴OC=1，在Rt△OAC中，OA===．∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OCA+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，，∴△OAC≌△DCB，∴CD=OA=，BD=OC=1，∴OD=CD+OC=+1，即点B的坐标为（+1，1）．设反比例函数的解析式为y=，则1=，解得k=+1，所以反比例函数的解析式为y=．故答案为：y=．【点睛】本题综合考查了勾股定理，全等三角形和待定系数法求反比例函数的解析式，根据勾股定理和全等三角形得出点B的坐标是解决此题的关键．19．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是．【答案】①②③④【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．【详解】解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确；故答案为：①②③④【点睛】本题利用了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质求解，是一道综合性的题目．20．（2023·广东深圳·统考模拟预测）值日生小明想把教室桌椅摆放整齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是．【答案】两点确定一条直线．【分析】利用直线的性质进而分析得出即可．【详解】解：先把最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点睛】此题主要考查了直线的性质，正确将实际生活知识与数学知识联系是解题关键．21．（2023·广东深圳·统考模拟预测）一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表：摸球次数摸到红球的频数摸到红球的频率估计袋中红球的个数是．【答案】5【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求出红球的概率，进而求出红球的个数即可．【详解】解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数附近，∴“摸到红球”的概率的估计值是．∴估计袋中红球的个数是个．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．22．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图像上，交x轴于点C，，，的面积为，则．【答案】【分析】过点B作轴于点D，根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质得出，再由三角形面积求解即可．【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示．∵，∴，，∴．，∵的面积为，∴，即，解得，∴，∴，，即点坐标为∴．故答案为：．【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．23．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为

米（结果保留根号）【答案】【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．24．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，半径为的上，是线段的中点，已知长的最大值为，则的值是．【答案】【分析】由反比例函数的性质可以得到与关于原点对称，所以是线段的中点，又是线段的中点，所以是的中位线，当取最大值时，也取得最大值，由于在上运动，所以当，，三点共线时，最大，此时，根据列出方程求解即可．【详解】解：联立，，，，，与关于原点对称，是线段的中点，是线段的中点，连接，则，且，的最大值为，的最大值为，在上运动，当，，三点共线时，最大，此时，，或，，，【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值．25．（2023·广东深圳·统考二模）某店某段时间所销40双鞋的鞋号数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321据此进400双同款鞋，估计需求最多的鞋号为．【答案】120【分析】用400乘以统计表中卖得最多的鞋号的数量占比即可得到答案．【详解】解：根据统计表可得，39号的鞋卖的最多，∴估计需求最多的鞋号为双．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．26．（2023·广东深圳·统考二模）在中，．由尺规作图得射线交于点F．则的长是．【答案】/【分析】由题意得，为的平分线，可得，进而可得，设，则，结合已知条件证明，则，即，求出的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，为的平分线，，，，，，，，，，设，则，，，，，即，解得或（舍去），．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．27．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．【答案】【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．28．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限内的一点，其纵坐标为2，过点P作轴于点Q，以为边向右侧作等边，若反比例函数的图象经过点P和点M，则k的值为．【答案】【分析】作轴交x轴于点N，分别表示出、，利用k的几何意义即可求出答案．【详解】解：过点M作轴，如图所示，∵轴，是等边三角形，∴，∵P点纵坐标为2，∴，∴，∴，设点P坐标为，∴，∵，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，涉及到了直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题关键．29．（2023·广东深圳·校联考二模）“湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，小亮在轿厢处看摩天轮的圆心处的仰角为，看地面处的俯角为（如图所示，垂直于地面），若摩天轮的半径为米，则此时小亮到地面的距离为米．（结果保留根号）【答案】【分析】过B点作于点D，先根据锐角三角函数得到的长度，再利用等腰直角三角形的性质得到的长度，进而即可得到的长度．【详解】解：过B点作于点D∵摩天轮的半径为米，小亮在轿厢处看摩天轮的圆心处的仰角为，∴米，，∴在中，米，∵，∴米，∵，∴，∴在中，，∴米，∴小亮到地面的距离为米，故答案为：米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题，根据题目已知条件添加辅助线是解题的关键．30．（2023·广东深圳·校联考二模）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若中点D刚好落在矩形纸片的边上，已知矩形纸片的边长为4，则的长为．【答案】【分析】过点作于点，则，根据求得，勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，则，∵是等腰直角三角形，且是的中点，∴，即，解得：，在中，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．31．（2023·广东深圳·统考三模）如图，已知直线，的顶点在直线上，，，则的度数是．

【答案】/度【分析】过点作，则，根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作，则

∴∵，，∴∴,故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．32．（2023·广东深圳·统考三模）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点为轴上一点，过点作，交轴于点，若，则的值为．

【答案】【分析】设，根据证明得出，根据三角形的面积公式得出，则，进而即可求解．【详解】解：设，则，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得到是解题的关键．33．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是．【答案】2【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，即可求得的值．【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，连接，根据圆周角定理可得，∵每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均在网格交点上，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键．34．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，此时无人机在高地面米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为．测得教学楼楼顶点处的俯角为，操控者和教学楼的距离为米，则教学楼的高度是米．【答案】【分析】过点作于，过点作于，根据正切的定义求出，根据题意求出，根据等腰的性质求出，结合图形计算，得到答案．【详解】解：如图，过点作于，过点作于，由题意得，，，，在中，，∴，∴，∵，，，∴四边形为矩形，∴，在中，，∴，∴，∴（米）．∴教学楼的高度为米．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．35．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为．【答案】/106度【分析】连接，由作法得垂直平分，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质，即可求解．【详解】解：连接，如图，由作法得垂直平分，点为的中点，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．36．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）如图，在平面直角坐标系中、菱形在第一象限内，点的坐标是，点的坐标是，边与轴平行，反比例函数过点，则的值为.

【答案】【分析】勾股定理求得的长，进而根据菱形的性质得出，即可求解．【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，∴，∵四边形是菱形∴，∵轴，∴∵反比例函数过点，∴故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理求两点距离，菱形的性质，坐标与图形，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关