2021-2022学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.有一项是符合题目要求的.）1．（4分）下列实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（4分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝： B．∠B﹣∠C＝∠A C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a2＝（b+c）（b﹣c）3．（4分）下列各点属于第一象限的是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）4．（4分）下列语句中正确的是（）A．16的平方根是4 B．﹣16的平方根是4 C．16的算术平方根是±4 D．4是16的平方根5．（4分）一次函数y＝2x+3的图象沿y轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是（）A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣16．（4分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（）A．线段DE上 B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上7．（4分）如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为4cm，点B到点C的距离为1cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）cm．A．4 B．5 C． D．8．（4分）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（）A． B． C．3.6 D．3.79．（4分）两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A． B． C． D．10．（4分）平面直角坐标系中，点A（3，3），B（2，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（）A．（0，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，3）11．（4分）若关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（）A． B． C． D．12．（4分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝相交于点P（﹣1，0）．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2014，A2014，…则当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长为（）A．20212 B．22021﹣2 C．22020+1 D．22022﹣2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）13．（4分）计算的结果等于．14．（4分）已知在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为．15．（4分）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为．16．（4分）若a，b都是实数，且b＝++8，则ab+1的平方根为．17．（4分）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系，小雨家去年用水量为140m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．18．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝12；⑤∠AGB+∠AED＝145°．其中正确结论的序号是．三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）19．（8分）计算：（1）（﹣3）÷；（2）（7﹣4）（2﹣）．20．（8分）计算：（1）解方程：2（x﹣1）2＝8；（2）解方程组：．21．（6分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．22．（6分）若x＝，y＝，求x2﹣xy+y2的值．23．（8分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．（1）求每吨水的市场调节价是多少元；（2）设每月用水量为x（x＞12）吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？24．（8分）在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）．（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；（2）作△A′B′C′关于x轴对称的图形△A″B″C″；（3）求△ABB''的面积．25．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（﹣2，3），B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），请判定此三角形的形状，并说明理由．（3）已知A（2，1），在x轴上是否存在一点P，使△OAP为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．26．（12分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝；（2）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M，、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM＝，BN＝，求BM的长．27．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．（1）填空：k＝；n＝；b＝；（2）求△ABC的面积；（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标；（4）若△DEF为直角三角形，求点D的坐标．

2021-2022学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.有一项是符合题目要求的.）1．（4分）下列实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：是分数，属于有理数；|﹣3|＝3，＝2，＝﹣2，是整数，属于有理数；0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）是循环小数，属于有理数；故在实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有﹣，，共2个．故选：B．2．（4分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝： B．∠B﹣∠C＝∠A C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a2＝（b+c）（b﹣c）【解答】解：A、12+（）2＝（）2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∠B﹣∠C＝∠A，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，∠C＝，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意；D、a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；故选：C．3．（4分）下列各点属于第一象限的是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）【解答】解：A．（1，﹣2）在第四象限，故此选项不符合题意；B．（1，2）在第一象限，故此选项符合题意；C．（﹣1，﹣2）在第三象限，故此选项不符合题意；D．（﹣1，2）在第二象限，故此选项不符合题意；故选：B．4．（4分）下列语句中正确的是（）A．16的平方根是4 B．﹣16的平方根是4 C．16的算术平方根是±4 D．4是16的平方根【解答】解：A．根据平方根的定义，16的平方根是±4，那么A不正确．B．根据平方根的定义，﹣16没有平方根，那么B不正确．C．根据算术平方根的定义，16的算术平方根是4，那么C不正确．D．根据平方根的定义，16的平方根是±4，故4是16的平方根，那么D正确．故选：D．5．（4分）一次函数y＝2x+3的图象沿y轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是（）A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1【解答】解：原直线的k＝2，b＝3；向下平移4个单位长度得到了新直线，那么新直线的k＝2，b＝3﹣4＝﹣1．∴新直线的解析式为y＝2x﹣1．故选：D．6．（4分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（）A．线段DE上 B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，∵数轴上的点B，C分别对应的数是2，3，∴表示的点应在线段BC上，故选：C．7．（4分）如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为4cm，点B到点C的距离为1cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）cm．A．4 B．5 C． D．【解答】解：将长方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，BD＝1+2＝3，AD＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，则需要爬行的最短距离是5cm；故选：B．8．（4分）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（）A． B． C．3.6 D．3.7【解答】解：∵在Rt△OAB中，OB＝＝＝．∴点C所表示得数为：．故选：A．9．（4分）两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A． B． C． D．【解答】解：A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＜0，两结论不矛盾，故正确；C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＜0；由y2的图象可知，n＜0，m＞0，两结论相矛盾，故错误．故选：B．10．（4分）平面直角坐标系中，点A（3，3），B（2，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（）A．（0，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，3）【解答】解：如图所示，∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（3，3），∴设点C（x，3），∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，1），∴x＝2，∴点C的坐标为（2，3）．故选：D．11．（4分）若关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（）A． B． C． D．【解答】解：∵的解为，∴中等式的两边同时除以3得，再将和﹣y看成整体，即解为，∴原方程组的解为．故选：A．12．（4分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝相交于点P（﹣1，0）．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2014，A2014，…则当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长为（）A．20212 B．22021﹣2 C．22020+1 D．22022﹣2【解答】解：由直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式可知，B1（1，1），AB1＝1，A1（1，2），A1B1＝2﹣1＝1，B2（3，2），A2（3，4），A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2，A2B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，…，A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，由此可得AnBn＝2n﹣1，所以，当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长＝2×（1+2+22+23+……+22020），设S＝1+2+22+23+……+22020①，则2S＝2+22+23+24……+22021②，②﹣①，得：S＝22021﹣1，∴运动的总路径的长＝2×（22021﹣1）＝22022﹣2．故选：D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）13．（4分）计算的结果等于2．【解答】解：∵23＝8．∴＝2．故答案为：2．14．（4分）已知在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（﹣3，2）．【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，∴点P的横坐标是﹣3，纵坐标是2，∴点P的坐标为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．15．（4分）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为1cm．【解答】解：∵CD＝5cm，AD＝12cm，∴AC＝＝13cm，露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1cm．故答案为：1cm．16．（4分）若a，b都是实数，且b＝++8，则ab+1的平方根为±5．【解答】解：由题意得：，解得：a＝3，则b＝8，∴ab+1＝25，25的平方根为±5，故答案为：±5．17．（4分）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系，小雨家去年用水量为140m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多180元．【解答】解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，，解得，即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，当x＝140时，y＝6×140﹣240＝600，由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为140m3，需要缴费：140×3＝420（元），600﹣420＝180（元），即小雨家去年用水量为140m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多180元，故答案为：180．18．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝12；⑤∠AGB+∠AED＝145°．其中正确结论的序号是①②③．【解答】解：①正确．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝CG；③正确．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由：∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6，∴④错误；⑤错误．∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAE＝45°，∴∠AGB+∠AED＝180°﹣∠GAE＝135°，故答案为：①②③．三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）19．（8分）计算：（1）（﹣3）÷；（2）（7﹣4）（2﹣）．【解答】解：（1）（﹣3）÷＝÷﹣3÷＝﹣3＝4﹣3×3＝4﹣9＝﹣5；（2）（7﹣4）（2﹣）＝14﹣7﹣8+12＝26﹣15．20．（8分）计算：（1）解方程：2（x﹣1）2＝8；（2）解方程组：．【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝8，、方程两边同时除以2，得（x﹣1）2＝4，开平方运算，得x﹣1＝±2，解得x＝3或x＝﹣1；（2），②×2，得8x﹣2y＝﹣12③，①+③，得11x＝﹣11，解得x＝﹣1，将x＝﹣1代入②得，y＝2，∴原方程组的解．21．（6分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD＝＝5（m），即AD＝9m，则AC＝＝＝15（m），故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：这棵树原来的高度是19米．22．（6分）若x＝，y＝，求x2﹣xy+y2的值．【解答】解：∵x＝＝2﹣，y＝＝2+，∴x+y＝4，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝42﹣3×1＝13．23．（8分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．（1）求每吨水的市场调节价是多少元；（2）设每月用水量为x（x＞12）吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？【解答】解：（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据题意得：12×1+（24﹣12）a＝42，解得：a＝2.5，答：每吨水的市场调节价为2.5元；（2）当x＞12时，y＝12×1+（x﹣12）×2.5＝2.5x﹣18，∴y与x之间的关系式是y＝2.5x﹣18；（3）∵28＞12，∴把x＝28代入y＝2.5x﹣18得：y＝2.5×28﹣18＝52，答：他家应交水费52元．24．（8分）在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），顶点B的坐标为（﹣1，2）．（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；（2）作△A′B′C′关于x轴对称的图形△A″B″C″；（3）求△ABB''的面积．【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：（2）如图，△A″B″C″即为所求；（3）S△ABB″＝3×4﹣×1×1﹣×3×3﹣×2×4＝3．25．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（﹣2，3），B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），请判定此三角形的形状，并说明理由．（3）已知A（2，1），在x轴上是否存在一点P，使△OAP为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），B（4，﹣5），∴AB＝＝10；（2）直角三角形，理由如下：∵A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；（3）存在，∵A（2，1），∴OA＝＝，当AO＝OP＝时，P（）或（﹣，0），当AO＝AP时，过点A作AD⊥x轴于D，∴OD＝DP＝2，∴P（4，0），当PA＝PO时，设PA＝PO＝x，则PD＝2﹣x，∵AP2＝AD2+PD2，∴x2＝12+（2﹣x）2，∴x＝，∴P（），综上，P（）或（﹣，0）或（4，0）或（，0）．26．（12分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝；（2）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M，、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM＝，BN＝，求BM的长．【解答】解：（1）∵以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，MN＞AM，MN＞BN，∴MN2＝AM2+BN2，∴32＝22+BN2，∴BN＝，故答案为：；（2）①∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，∴CP＝CN，∠CAP＝∠B＝45°，AP＝BN，∴∠MAP＝90°，∵∠MCN＝45°，∠NCP＝90°，∴∠MCP＝∠MCN＝45°，∵CM＝CM，CP＝CN，∴△MC