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文档简介
第二章直线和圆的方程
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
例1已知直线/:3》+夕一6=0和圆心为C的圆产+丫2一2丁一4=0,判断直线/与圆C
的位置关系;如果相交,求直线/被圆C所截得的弦长
分析:思路1:将判断直线/与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无
实数解、有几个实数解;若相交,可以由方程组解得两交点的坐标,利用两点间的距离公式
求得弦长.
思路2:依据圆心到直线的距离与半径的关系,判断直线与圆的位置关系;若相交,则可利
用勾股定理求得弦长.
解法1:联立直线/与圆C的方程,得
3x+y—6=0,①
<x2+y2-2y-4^0.®
消去y,得X2-3X+2=0,解得%=2,x2=1.
所以,直线/与圆C相交,有两个公共点.
把%=2,々=1分别代入方程①,得弘=0,%=3.
所以,直线/与圆C的两个交点是/(2,0),5(1,3).
因止匕|1=2)2+(3-0)2二回.
解法2:圆。的方程》2+炉—2;;—4=0可化为》2+(歹一1)2=5,因此圆心C的坐标为
(0,1),半径为J?,圆心c(o/)到直线/的距离
^.,13x0+1-615
指<
所以,直线/与圆C相交,有两个公共点.
如图,由垂径定理,得|28|=2,尸—/=屈.
例2过点尸(2,1)作圆0:/+/=1的切线/,求切线/的方程.
分析:如图,容易知道,点尸(2,1)位于圆。:/+产=1外,经过圆外一点有两条直线与这
个圆相切.我们设切线方程为丁-1=左(8-2),左为斜率.由直线与圆相切可求出%的值.
图
解法1:设切线/的斜率为匕则切线/的方程为夕一1=左(》-2),即依一y+1-2左=0.
由圆心(0,0)到切线/的距离等于圆的半径1,得
|1-2^|.
1=1,
J%2+1
4
解得左=0或一.
3
因此,所求切线/的方程为y=l,或4x-3y-5=0.
解法2:设切线/的斜率为七则切线/的方程为丁-1=仪》一2).
因为直线/与圆相切,所以方程组
p-l=^(x-2),
[x2+y2=1
只有一组解.
消元,得
(左2+1)彳2+(2%—442)x+4左2—4左=0.①
因为方程①只有一个解,所以
A=4左2(1-2k)2—16人(公+1)(左一1)=0,
4
解得左=0或一.
3
所以,所求切线/的方程为歹=1,或4x—3y—5=0.
练习
1.判断下列各组直线/与圆C的位置关系:
(1)I:X-y+l=0,圆。:》2+必=3;
(2)/:3x+4y+2=0,圆Uf+V—2x=0;
(3)/:x+y+3=0,圆C:F+/+2y=0.
【答案】(1)直线与圆相交;(2)直线与圆相切;(3)直线与圆相离;
【解析】
【分析】计算圆心到直线的距离,与半径比较大小,即可判断;
【详解】解:(1)0C:X2+/=3,圆心坐标为。(0,0),半径y=5
,|0-0+1|V2
圆心到直线/:x—y+1=0的距离d=„-[了=-y<r故直线与圆相交;
(2)圆。-2x=0,即圆+/=1,圆心。(1,0),半径尸=1,
圆心到直线/:3x+4y+2=0的距离1=匡鲁"4=1=一,故直线与圆相切;
V32+42
(3)圆C:%2+F+2y=0,即圆C:f+(»+1)2=1,圆心半径尸二1,
圆心到直线/:x+y+3=0的距离d=可二=V2>r,故直线与圆相离.
712"+12
2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切,求圆C的方程.
【答案】X2+/=49
【解析】
【分析】依题意,利用直线与圆相切的几何特征,圆心到直线的距离等于半径,列
出方程求半径,即可得到圆的方程.
【详解】圆心在原点即圆心为(0,0),因为直线与圆C相切,故圆心到直线的距离
等于半径,
则Y悬弋之,
所以圆的方程为Y+V=49.
3.判断直线2x-y+2=0与圆。-1)2+(歹-2)2=4的位置关系;如果相交,求直线
被圆截得的弦长.
【答案】相交,延
5
【解析】
【分析】根据题意,求圆心到直线的距离[=耳=述<2=〃,故位置关系是相交,
加5
再根据儿何法求解即可.
【详解】解:由圆的方程(x-l)2+(y-2)2=4得圆心为(1,2),半径为厂=2
所以圆心到直线2x—y+2=0的距离为:[=4=型<2=尸,
V55
所以—y+2=0与圆=4相交,
所以直线被圆截得的弦长为/=2J以-储=2^|=竽.
例3图是某圆拱形桥一•孔圆拱的示意图.圆拱跨度:AB=20m.拱高。P=4m,建造
时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱48的高度(精确到)•
p2F
AA\A?OA3A4B
图图
分析:建立如图所示直角坐标系,要得到支柱46的高度,只需求出点鸟的纵坐标.
解:建立如图所示的直角坐标系,使线段所在直线为X轴,O为坐标原点,圆心在y轴
上,由题意,点P,8的坐标分别为(0,4),(10,0).设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,
那么圆的方程是
x2+(y-h)2=r2.
下面确定b和r的值.
因为P,8两点都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程/+(y—b)2=户.于
是,得到方程组
。2+(2=/,
'1()2+(.0也2=产.
解得
b=-10.5,「2=14.52.
所以,圆的方程是
刀2+3+10.5)2=145.
把点鸟的横坐标》=-2代入圆的方程,得
(-2)2+3+10.5)2=14.52,
即y+10.5=/4.52-(-2)2(巴的纵坐标丁>0,平方根取正值).所以
y=714.52-(-2)2-10.5»14.36-10.5=3.86(,").
答:支柱46的高度约为机.
例4一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20km的圆形区
域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处,港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿
直线返港,那么它是否会有触礁危险?
分析:先画出示意图,了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离.如图,根据题意,建立适
当的平面直角坐标系,求出暗礁所在区域的边缘圆的方程,以及轮船返港直线的方程,利用
方程判断直线与圆的位置关系,进而确定轮船是否有触礁危险.
解:以小岛的中心为原点O,东西方向为X轴,建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简
便,我们取10km为单位长度,则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为
(4,0).
这样,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
x2+y2=4;
轮船航线所在直线/的方程为
;+2=1,即3x+4y-12=0.
联立直线/与圆。的方程,得
[3x+4y-12=0,
[x2+y2=4.
消去“得
25X2-72X+80=0.
由△=(—72)2—4x25x80<0,可知方程组无解.
所以直线/与圆O相离,轮船沿直线返港不会有触礁危险.
练习
4.赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
【答案】/+(y+20.68)2=27.882
【解析】
【分析】根据题意以拱高所在直线为y,如图建立平面直角坐标系,再求圆的方程.
【详解】解:根据题意,以拱高所在直线为了,如图建立平面直角坐标系,
根据题意得:。。=7.2,。8=。4=18.7,
此时圆心在歹轴上,圆心为。,半径为,则。。=厂一。。=厂一7.2,
所以在放△。8。中,BD2=OD2+OB2,即尸2=(-7.2)2+18.72,
解得:尸=27.88,所以OD=-7.2=20.68
设所求圆的方程为x2+(y+20.68)2=27,882,
即拱圆的方程为:x?+(y+20.68)2=27.882
5.某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m,现有一船,宽10m,水面以上高3m,这
条船能否从桥下通过?
【答案】该船可以从桥下通过
【解析】
【分析】建立适当平面直角坐标系,如图所示,得出4B,P,D,E各点的坐标,
设出圆的标准方程,将4B,P坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程,把D横坐
标代入求出纵坐标,与3比较即可作出判断.
【详解】建立如图所示的坐标系.依题意,有/(T0,0),5(10,0),P(0,4),。(一5,0),
£(5,0).
设所求圆的方程是(X-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
(tz+10)2+Z>2=r2,
于是有=
/+伍一4)2=/,
解此方程组,得a=0,b=~,r=,
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是炉+。+10.5)2=2(0统4).
把点。的横坐标x=-5代入上式,得产3.1.
由于船在水面以上高3m,3<,所以该船可以从桥下通过.
6.在一个平面上,机器人从与点。(5,-3)的距离为9的地方绕点。顺时针而行,在
行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点/(-10,0)与8(0,12)的
直线的最近距离和最远距离分别是多少?
【答案】最近距离和最远距离分别是竺迥-9,竺生叵+9.
6161
【解析】
【分析】由题意可得机器人的运行轨迹为(x-5)2+(y+3)2=81,再求出直线的
方程,求出圆心到直线的距离,即可求出答案.
【详解】•••机器人到与点C(5,-3)距离为9的地方绕。点顺时针而行,在行进过程
中保持与点C的距离不变,
机器人的运行轨迹为(x-5)2+3+3)2=81,
・・・/(一10,0)与8(0,12),
12-0
••・直线"的方程为y=--(x+10),即为6x-5歹+60=0,
0+10
则圆心C到直线AB的距离为d=|5X6::X3:60|=里区>9,
V62+5261
最近距离和最远距离分别是些画-9,1。5可+牛
6161
圆与圆的位置关系
例5已知圆G:x2+V+2x+8y—8=0,圆。2:一+J2-4》—4y—2=0,试判断圆G
与圆G的位置关系.
分析:思路I:圆£与圆G的位置关系由它们有几个公共点确定,而它们有几个公共点又
由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定;
思路2:借助图形,可以依据连心线的长与两半径的和4+々或两半径的差的绝对值|耳-与
的大小关系,判断两圆的位置关系.
解法1:将圆£与圆。2的方程联立,得到方程组
x2+y2+2x+Sy-0=0①
x2+y2-4x-4y-2=0②
①-②,得
x+2y—1=0,③
由③,得
1-x
y=---.
2
把上式代入①,并整理,得
X2-2X+3=0.④
方程④的根的判别式
A=(-2)2-4*1x(-3)=16>0,
所以,方程④有两个不相等的实数根玉,x『把阳,々分别代入方程③,得到,,巴•
因此圆G与圆G有两个公共点8(工2,%),这两个圆相交.
解法2:把圆G的方程化成标准方程,得
(x+l)2+3+4)2=25,
圆G的圆心是(-1,-4),半径4=5.
把圆。2的方程化成标准方程,得
(x—2)2+3—2)2=10,
圆G的圆心是(2,2),半径与=JM.
圆。与圆G的连心线的长为
7(-1-2)2+(-1-2)2=375.
圆G与圆G的两半径之和耳+々=5+J记,两半径长之差4—々=5—JI6.
因为5—Jid<3j?<5+加,即4一々<3石<4+6,所以圆G与圆G相交(图),
它们有两个公共点4B.
图25-6
例6已知圆O的直径48=4,动点"与点力的距离是它与点5的距离的、伤倍.试探究
点〃的轨迹,并判断该轨迹与圆。的位置关系.
分析:我们可以通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点M的轨迹方程,从
而得到点知的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系,判断这个轨迹与圆。的位
置关系.
解:如图,以线段Z8的中点。为原点,所在直线为x轴,线段48的垂直平分线为y
轴,建立平面直角坐标系.由/5=4,得/(—2,0),5(2,0).
设点”的坐标为(x,y),\MAy/2\MB\,得
y](x+2)2+y2-y/2x^(x-2)2+y2,
化简,Mx2-12x+/+4=0,即(x—6了+/=32.
所以点M的轨迹是以尸(6,0)为圆心,半径为4拉的一个圆(图).
因为两圆的圆心距为IP。1=6,两圆的半径分别为《=2,々=4拒,又
r2-r.<|PO\<r2+r,所以点M的轨迹与圆。相交.
图
练习
7.已知圆G:Y+V=4,圆。2:/+/一8x—6y+16=0,判断圆«与圆G的位
置关系.
【答案】外切
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准式,求出圆心坐标与半径,计算出圆心距,即可判断;
【详解】解:圆G:/+y2=4,圆心坐标为G(0,0),半径r=2;
圆。2:/+/一8%一6歹+16=0,即圆。2:5—4)2+(>;-3)2=9,圆心坐标为(4,3),
半径&=3
所以|CC|="7F=5,R+〃=5=CG|
所以两圆相外切;
8,已知圆£+2x+3y+1=0,圆C2:/+>2+4x+3y+2=0,证明圆G与
圆G相交,并求圆a与圆。2的公共弦所在直线的方程.
【答案】证明见解析,公共弦所在直线的方程为2x+l=0.
【解析】
【分析】依题意求得圆G和圆G的圆心和半径,进而根据圆心距和两圆半径的关系
可证得结果;将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.
【详解】圆G的标准方程为(x+i)2+,+gj=;
所以圆心为半径
3
「5;
圆G的标准方程为(X+2)2+(V+£|2=?,所以圆心为。212,-£|,半径
两圆圆心距i=|cc卜1,4+2=(+半,,―4=半一?
所以,-修<"<4+々,圆G和圆G相交.
将圆G和圆G的方程相减,得两圆的公共弦所在直线的方程为2x+i=o.
习题
复习巩固
9.判断直线4x-3y=50与圆/+/=100的位置关系.如果有公共点,求出公共点
的坐标.
【答案】直线与圆相切;(8,-6)
【解析】
【分析】用圆心到直线的距离与半径比较得到位置关系,再联解确定公共点坐标得解
【详解】/+/=]00圆心坐标为(o,o),则圆心到到直线4x-3y-50=0的距离为
d=----=10=r
5
所以直线与圆相切,
[4x-3y=50[x=8
2;sc联解得,所以公共点坐标为(8,-6)
[X+y=100[y=-6
10.求下列条件确定的圆的方程,并画出它们的图形:
(1)圆心为〃(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切;
(2)圆心在直线V=x上,半径为2,且与直线丁=6相切;
(3)半径为内,且与直线2、-3^+6=0相切于点(3,4).
22
【答案】(1)(x-3)2+(尸5)2=32;(2)(X-4)+(J;-4)=4或
(x-8)2+(y-8)2=4;(3)(x-5)2+(j/-l)2=13或(x-1)2+(y-7)2=13.
【解析】
【分析】(1)根据点到直线的距离求得半径,进而得答案;
(2)设圆心坐标为(a,。),再根据题意得"=|。-6|=2,解得”=4或a=8,进而
求得答案;
。一43
a—3o_5Q[
(3)设圆心坐标为(。,6),则,一:或Jr,进而
|2"36+6|…(6=1回7
也+(—3)2
求得答案.
【详解】解:(1)因为圆/与直线X-7少+2=0相切,
所以点“(3,-5)到直线x-7y+2=0的距离即为圆加的半径,
|3-7'(-5)+2=0|=40华5
所以〃=Jl+(-7)-572'
所以圆M的方程为:(x-3)2+(y+5)2=32,
图像如图:
(2)因为圆心在直线V=x上,半径为2,
所以设圆心坐标为(a,a),
又因为所求圆与直线y=6相切,
所以厂=|a-6]=2,解得。=4或&=8,
所以所求圆的方程为(x—4)2+(y—4)2=4或(x-8『+(y—8)2=4,
图像如图:
(3)半径为JF,且与直线2x—3y+6=0相切于点(3,4),
6—43
a—32[<3=5=l
所以设圆心坐标为(a,6),则12a-3b+61_厄'解得[=1或)=7'
百+(-3>
所以所求圆的方程为:(x—5)2+3—1)2=13或(x—l)2+(y—7f=13,
图像如下:
11.求直线/:3x-y-6=0被圆°:/+丁2一28一43;=0截得的弦/8的长.
【答案】M
【解析】
【分析】将一般方程化为标准方程得圆心与半径,再根据儿何法求弦长即可.
【详解】解:将圆的方程化为标准式,可得(X-1)2+3-2)2=5,
所以圆心坐标为0(1,2),半径为尸=逐,
所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为匡)二四=叵,
V102
所以根据几何法得弦长为2Kl=V10.
所以弦48的长为J记
12.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2行的
圆的方程.
【答案】x2+y2-2x-6y+l=0^x2+y2+2x+6y+\=0
【解析】
【分析】设圆的一般方程是/+/+6+£>+尸=0,得出圆心坐标和半径,利用直
线与x轴相切,令y=0后的二次方程判别式等于0得。,E,尸的一一个等式,求出圆
心到直线》-歹=0的距离,用勾股定理得弦长,得。,瓦厂的第二个等式,再由圆心
在已知直线上第。,瓦厂的第三个等式,三式联立解得。民尸得圆方程.
【详解】设所求的圆的方程是/+_/+6+切+尸=0,则圆心为半径
^J^D2+E2-4F.令y=0,^X2+DX+F=0,
2
由圆与X轴相切,得△=(),即。2=4F①
(DE、
又圆心-:,-7到直线x-尸。的距离为才22.
I22jd=^T-
由已知,得+(近>=/,
6
222
B|J(n-E)+56=2(£>+JE-4F)@
又圆心(一•,一在直线3x-y=0上,则30-E=0③
联立①②③,解得£>=—2,£=—6,尸=1或。=2出=6,尸=1
故所求圆的方程是/+/一2x-6y+1=0或%?+/+2x+6歹+1=0.
13.求与圆。:/+/一%+27=0关于直线/:x—y+l=0对称的圆的方程.
【答案】(》+2)2+&-|[21
【解析】
【分析】先求出圆C:/+y2-x+2y=0的圆心和半径,利用对称求出对称圆的圆
心,即可写出对称圆的方程.
【详解】圆C:X:+/-X+2y=0可化为:(x—+(丁+1)2=|',
所以其圆心6,—1),半径/=*
-^1-1=-1
a——a=-2
2解得:L3,
设对称的圆的圆心(a,6),则有:
1b=—
QH---I2
b-\」+1
I22
所以对称的圆的方程为:
14.正方形/8CD的边长为a,在边8C上取线段8E=@,在边。C的延长线上取
3
CF=~.试证明:直线4E与8尸的交点M位于正方形48。的外接圆上.
2
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】建立如图所示平面直角坐标系,表示出点的坐标,求出直线/E、3厂的
方程,即可求出交点的坐标,再利用两点的距离公式计算可得;
【详解】解:如图建立平面直角坐标系,则4(-a,0),5(0,0),C(0,a),后/%),
“9,♦,O(—所以二、1,则直线ZE方程为夕=!》+",
(2)122JK=—=-33
AEa3
直线3月的方程为歹=2x
,所以点〃在圆O上;
15.求经过点M(2,-2)以及圆x?+y2-6x=0与圆x?+y2=4交点的圆的方程.
【答案】x2+y2-3x-2=0
【解析】
【详解】试题分析:先确定过两圆交点的圆系方程,再将M的坐标代入,即可求得
所求圆的方程.
解:设过圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程为:x2+y2-6x+X(x2+y2-4)
=0…①
把点M的坐标(2,-2)代入①式得入=1,把入=1代入①并化简得x2+y2-3x-2=0,
所求圆的方程为:x2+y2-3x-2=0
考点:圆系方程.
综合运用
16.求圆心在直线》一y一4=0上,并且经过圆x2+V+6x—4=0与圆
x2+j?+6y—28=0的交点的圆的方程.
【答案】X2+/-X+7^-32=0
【解析】
【分析】设两圆交点系方程为%?+/+6x-4+4(/+/+6y-28)=0,求得圆心坐标
代入直线x-V-4=0求得圆的方程.
【详解】设经过两圆交点的圆的方程为/+/+6丫一4+4(/+/+6、-28)=0,即
—3—32
(1+2)X2+(1+2)/+6X+62^-282-4=0,圆心坐标为(——,——),将其代入
1+41+4
直线x—y—4=0解得彳=—7.所以圆的方程为f+V—x+7y—32=0.
故所求圆方程为:x2+y2-x+7y-32=0
17.求圆x?+_/-4=0与圆x?+/-4x+4y-12=0的公共弦的长.
【答案】2&
【解析】
【分析】首先两圆方程作差得到公共弦方程,再利用垂径定理、勾股定理求出公共
弦长;
【详解】解:圆X?+V-4=0与圆/+y2-4x+4y-12=0,两式相减得
4x—"+8=0,即公共弦方程为x—y+2=0,圆/+/-4=0的圆心坐标为(0,0),
|0-0+2|厂
半径尸=2,圆心到公共弦的距离d="+(_]/2,故公共弦
/=2,-(可=2后
18.求经过点“(3,-1)且与圆C:/+川+公-6尹5=0相切于点N(1,2)的圆的
方程.
z20、,/15、,845
【答案】(X-T)2+(J--)2=—.
【解析】
【分析】先利用待定系数法假设圆的标准方程:(x-a)2+Cy-b)2十2,求出已知
圆的圆心坐标与半径,再根据条件圆C过点M(3,-1)且与圆x2+〉2+2x-6尹5=0
相切于点N(l,2),列出方程组可求相应参数,从而可求方程.
【详解】解:设所求圆方程:(x-a)2+(y-b)2=/
已知圆的圆心:(-1,3),半径=6,
2
由题意可得:(3-〃)2+(-1-6)2=/,(1-Q)2+(2-6)2=/,(a+1)+(6-3)
'郃+尸产,
845
解得//?96
.山,2015845
..所求圆:(x-—)2+(y--)
考点:圆的切线方程.
19.如图,某台机器的三个齿轮,〃与8啮合,。与8也啮合.若Z轮的直径为200
cm,8轮的直径为120cm,。轮的直径为250cm,且乙4=45。.试建立适当的坐
标系,用坐标法求出4C两齿轮的中心距离(精确到1cm).
【答案】260czn
【解析】
【分析】根据题意,以点A为坐标原点,Z8所在直线为x建立平面直角坐标,进
而得直线4c的方程为歹=》,故设C(f/)/>0,再结合圆与圆的位置关系求解即
可得答案.
【详解】解:根据题意,以点A为坐标原点,28所在直线为x建立平面直角坐标
系,如图,
由于NC48=45°,所以直线力C的方程为丁=》,
故设则8C=;(250+120)=185,
由于圆8与圆C相外切,故=160y+d=i85,解方程得f*183.5
所以4C="=259.5«26Qcmcm.
故4C两齿轮的中心距离约为260C7H.
20.已知/(-2,-2),5(-2,6),C(4,-2)三点,点尸在圆2+y2=4上运动,求
\PA[+\PB[+\PC[的最大值和最小值.
【答案】最大值为88,最小值为72
【解析】
【分析】设尸(xj),利用两点间的距离公式得到
1PH2+|尸8『+|尸。「=3f+3y2_4j,+68,再由点P在圆f+V=4上运动,化简为
3x2+3/_4、+68=-4y+80求解.
【详解】设尸(xj),
因为2(-2,-2),5(-2,6),C(4,-2)三点,
所以|P/f+|p6『+|PC「
=(x+2)2+(j^+2)'+(x+2)'+(y-6)'+(x-4,+(y+2j,
=3/+3/一令+68,
因为点P在圆/+_/=4上运动,
则X2=4-VNO,解得-2<yW2,
所以3x2+3;/—4y+68=-4y+80,
当y=-2时,|p/|2+10@2+|pc|2取的最大值88,
当y=2时,|尸旬2+忸川+|PC|2取的最小值72.
拓广探索
21.已知圆一+必=4,直线/:y=x+6,6为何值时,圆上恰有三个点到直线/的距
离都等
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