新人教版高中数学教材例题课后习题选择性必修一25直线与圆圆与圆的位置关系

第二章直线和圆的方程

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

例1已知直线/：3》+夕一6=0和圆心为C的圆产+丫2一2丁一4=0,判断直线/与圆C

的位置关系；如果相交，求直线/被圆C所截得的弦长

分析：思路1：将判断直线/与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无

实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式

求得弦长.

思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利

用勾股定理求得弦长.

解法1：联立直线/与圆C的方程，得

3x+y—6=0,①

<x2+y2-2y-4^0.®

消去y，得X2-3X+2=0，解得%=2,x2=1.

所以，直线/与圆C相交，有两个公共点.

把％=2,々=1分别代入方程①，得弘=0，%=3.

所以，直线/与圆C的两个交点是/(2,0),5(1,3).

因止匕|1=2)2+(3-0)2二回.

解法2：圆。的方程》2+炉—2；；—4=0可化为》2+(歹一1)2=5,因此圆心C的坐标为

(0,1),半径为J?，圆心c(o/)到直线/的距离

^.,13x0+1-615

指＜

所以，直线/与圆C相交，有两个公共点.

如图，由垂径定理，得|28|=2，尸—/=屈.

例2过点尸(2,1)作圆0：/+/=1的切线/,求切线/的方程.

分析：如图，容易知道，点尸(2,1)位于圆。：/+产=1外，经过圆外一点有两条直线与这

个圆相切.我们设切线方程为丁-1=左(8-2),左为斜率.由直线与圆相切可求出％的值.

图

解法1：设切线/的斜率为匕则切线/的方程为夕一1=左(》-2),即依一y+1-2左=0.

由圆心(0,0)到切线/的距离等于圆的半径1,得

|1-2^|.

1=1,

J%2+1

4

解得左=0或一.

3

因此，所求切线/的方程为y=l,或4x-3y-5=0.

解法2：设切线/的斜率为七则切线/的方程为丁-1=仪》一2).

因为直线/与圆相切，所以方程组

p-l=^(x-2),

[x2+y2=1

只有一组解.

消元，得

(左2+1)彳2+(2%—442)x+4左2—4左=0.①

因为方程①只有一个解，所以

A=4左2(1-2k)2—16人(公+1)(左一1)=0,

4

解得左=0或一.

3

所以，所求切线/的方程为歹=1，或4x—3y—5=0.

练习

1.判断下列各组直线/与圆C的位置关系:

(1)I：X-y+l=0,圆。：》2+必=3；

(2)/:3x+4y+2=0,圆Uf+V—2x=0；

(3)/:x+y+3=0,圆C:F+/+2y=0.

【答案】(1)直线与圆相交；(2)直线与圆相切；(3)直线与圆相离;

【解析】

【分析】计算圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可判断；

【详解】解:(1)0C:X2+/=3,圆心坐标为。(0,0),半径y=5

,|0-0+1|V2

圆心到直线/：x—y+1=0的距离d=„-［了=-y<r故直线与圆相交;

(2)圆。-2x=0,即圆+/=1,圆心。(1,0),半径尸=1,

圆心到直线/：3x+4y+2=0的距离1=匡鲁"4=1=一，故直线与圆相切；

V32+42

(3)圆C:%2+F+2y=0,即圆C:f+(»+1)2=1,圆心半径尸二1,

圆心到直线/：x+y+3=0的距离d=可二=V2>r,故直线与圆相离.

712"+12

2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.

【答案】X2+/=49

【解析】

【分析】依题意，利用直线与圆相切的几何特征，圆心到直线的距离等于半径，列

出方程求半径，即可得到圆的方程.

【详解】圆心在原点即圆心为(0,0),因为直线与圆C相切，故圆心到直线的距离

等于半径,

则Y悬弋之,

所以圆的方程为Y+V=49.

3.判断直线2x-y+2=0与圆。-1)2+(歹-2)2=4的位置关系；如果相交，求直线

被圆截得的弦长.

【答案】相交，延

5

【解析】

【分析】根据题意，求圆心到直线的距离［=耳=述＜2=〃，故位置关系是相交,

加5

再根据儿何法求解即可.

【详解】解：由圆的方程(x-l)2+(y-2)2=4得圆心为(1,2),半径为厂=2

所以圆心到直线2x—y+2=0的距离为：［=4=型＜2=尸，

V55

所以—y+2=0与圆=4相交，

所以直线被圆截得的弦长为/=2J以-储=2^|=竽.

例3图是某圆拱形桥一•孔圆拱的示意图.圆拱跨度：AB=20m.拱高。P=4m,建造

时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱48的高度(精确到)•

p2F

AA\A?OA3A4B

图图

分析：建立如图所示直角坐标系，要得到支柱46的高度，只需求出点鸟的纵坐标.

解：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为X轴，O为坐标原点，圆心在y轴

上，由题意，点P,8的坐标分别为(0,4),(10,0).设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,

那么圆的方程是

x2+(y-h)2=r2.

下面确定b和r的值.

因为P,8两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程/+(y—b)2=户.于

是，得到方程组

。2+(2=/,

'1()2+(.0也2=产.

解得

b=-10.5,「2=14.52.

所以，圆的方程是

刀2+3+10.5)2=145.

把点鸟的横坐标》=-2代入圆的方程，得

(-2)2+3+10.5)2=14.52,

即y+10.5=/4.52-(-2)2(巴的纵坐标丁＞0,平方根取正值).所以

y=714.52-(-2)2-10.5»14.36-10.5=3.86(，").

答：支柱46的高度约为机.

例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区

域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿

直线返港，那么它是否会有触礁危险？

分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离.如图，根据题意，建立适

当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用

方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.

解：以小岛的中心为原点O,东西方向为X轴，建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简

便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为

(4,0).

这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为

x2+y2=4；

轮船航线所在直线/的方程为

；+2=1,即3x+4y-12=0.

联立直线/与圆。的方程，得

[3x+4y-12=0,

[x2+y2=4.

消去“得

25X2-72X+80=0.

由△=(—72)2—4x25x80<0,可知方程组无解.

所以直线/与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.

练习

4.赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.

【答案】/+（y+20.68）2=27.882

【解析】

【分析】根据题意以拱高所在直线为y,如图建立平面直角坐标系，再求圆的方程.

【详解】解：根据题意，以拱高所在直线为了，如图建立平面直角坐标系，

根据题意得：。。=7.2,。8=。4=18.7,

此时圆心在歹轴上，圆心为。，半径为，则。。=厂一。。=厂一7.2,

所以在放△。8。中，BD2=OD2+OB2,即尸2=(-7.2)2+18.72,

解得：尸=27.88,所以OD=-7.2=20.68

设所求圆的方程为x2+(y+20.68)2=27,882,

即拱圆的方程为：x?+(y+20.68)2=27.882

5.某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m,现有一船，宽10m,水面以上高3m,这

条船能否从桥下通过？

【答案】该船可以从桥下通过

【解析】

【分析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出4B,P,D,E各点的坐标，

设出圆的标准方程，将4B,P坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D横坐

标代入求出纵坐标，与3比较即可作出判断.

【详解】建立如图所示的坐标系.依题意,有/(T0,0),5(10,0),P(0,4),。(一5,0),

£(5,0).

设所求圆的方程是(X-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

(tz+10)2+Z>2=r2,

于是有=

/+伍一4)2=/,

解此方程组，得a=0,b=~,r=,

所以这座圆拱桥的拱圆的方程是炉+。+10.5)2=2(0统4).

把点。的横坐标x=-5代入上式，得产3.1.

由于船在水面以上高3m,3<,所以该船可以从桥下通过.

6.在一个平面上，机器人从与点。(5,-3)的距离为9的地方绕点。顺时针而行，在

行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点/(-10,0)与8(0,12)的

直线的最近距离和最远距离分别是多少？

【答案】最近距离和最远距离分别是竺迥-9，竺生叵+9.

6161

【解析】

【分析】由题意可得机器人的运行轨迹为(x-5)2+(y+3)2=81,再求出直线的

方程，求出圆心到直线的距离，即可求出答案.

【详解】•••机器人到与点C(5,-3)距离为9的地方绕。点顺时针而行，在行进过程

中保持与点C的距离不变，

机器人的运行轨迹为(x-5)2+3+3)2=81,

・・・/(一10,0)与8(0,12),

12-0

••・直线"的方程为y=--(x+10),即为6x-5歹+60=0,

0+10

则圆心C到直线AB的距离为d=|5X6：：X3：60|=里区>9,

V62+5261

最近距离和最远距离分别是些画-9,1。5可+牛

6161

圆与圆的位置关系

例5已知圆G:x2+V+2x+8y—8=0,圆。2：一+J2-4》—4y—2=0,试判断圆G

与圆G的位置关系.

分析：思路I：圆£与圆G的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又

由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；

思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和4+々或两半径的差的绝对值|耳-与

的大小关系，判断两圆的位置关系.

解法1：将圆£与圆。2的方程联立，得到方程组

x2+y2+2x+Sy-0=0①

x2+y2-4x-4y-2=0②

①-②，得

x+2y—1=0,③

由③，得

1-x

y=---.

2

把上式代入①，并整理，得

X2-2X+3=0.④

方程④的根的判别式

A=(-2)2-4*1x(-3)=16>0,

所以，方程④有两个不相等的实数根玉，x『把阳，々分别代入方程③，得到,，巴•

因此圆G与圆G有两个公共点8(工2，%)，这两个圆相交.

解法2：把圆G的方程化成标准方程，得

(x+l)2+3+4)2=25,

圆G的圆心是(-1,-4),半径4=5.

把圆。2的方程化成标准方程，得

(x—2)2+3—2)2=10,

圆G的圆心是(2,2),半径与=JM.

圆。与圆G的连心线的长为

7(-1-2)2+(-1-2)2=375.

圆G与圆G的两半径之和耳+々=5+J记，两半径长之差4—々=5—JI6.

因为5—Jid<3j?<5+加，即4一々<3石<4+6，所以圆G与圆G相交(图)，

它们有两个公共点4B.

图25-6

例6已知圆O的直径48=4,动点"与点力的距离是它与点5的距离的、伤倍.试探究

点〃的轨迹，并判断该轨迹与圆。的位置关系.

分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从

而得到点知的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆。的位

置关系.

解：如图，以线段Z8的中点。为原点，所在直线为x轴，线段48的垂直平分线为y

轴，建立平面直角坐标系.由/5=4,得/(—2,0),5(2,0).

设点”的坐标为(x,y),\MAy/2\MB\,得

y](x+2)2+y2-y/2x^(x-2)2+y2，

化简，Mx2-12x+/+4=0,即(x—6了+/=32.

所以点M的轨迹是以尸(6,0)为圆心，半径为4拉的一个圆(图).

因为两圆的圆心距为IP。1=6,两圆的半径分别为《=2,々=4拒，又

r2-r.<|PO\<r2+r,所以点M的轨迹与圆。相交.

图

练习

7.已知圆G：Y+V=4,圆。2：/+/一8x—6y+16=0,判断圆«与圆G的位

置关系.

【答案】外切

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，计算出圆心距，即可判断；

【详解】解：圆G：/+y2=4,圆心坐标为G（0,0）,半径r=2；

圆。2：/+/一8%一6歹+16=0,即圆。2：5—4）2+（>；-3）2=9,圆心坐标为（4,3）,

半径&=3

所以|CC|="7F=5,R+〃=5=CG|

所以两圆相外切；

8,已知圆£+2x+3y+1=0,圆C2:/+>2+4x+3y+2=0,证明圆G与

圆G相交，并求圆a与圆。2的公共弦所在直线的方程.

【答案】证明见解析，公共弦所在直线的方程为2x+l=0.

【解析】

【分析】依题意求得圆G和圆G的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系

可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.

【详解】圆G的标准方程为（x+i）2+,+gj=；

所以圆心为半径

3

「5；

圆G的标准方程为(X+2)2+(V+£|2=?，所以圆心为。212,-£|，半径

两圆圆心距i=|cc卜1，4+2=(+半，,―4=半一?

所以,-修<"<4+々，圆G和圆G相交.

将圆G和圆G的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为2x+i=o.

习题

复习巩固

9.判断直线4x-3y=50与圆/+/=100的位置关系.如果有公共点，求出公共点

的坐标.

【答案】直线与圆相切；(8,-6)

【解析】

【分析】用圆心到直线的距离与半径比较得到位置关系,再联解确定公共点坐标得解

【详解】/+/=]00圆心坐标为(o,o),则圆心到到直线4x-3y-50=0的距离为

d=----=10=r

5

所以直线与圆相切，

[4x-3y=50[x=8

2；sc联解得,所以公共点坐标为(8,-6)

[X+y=100[y=-6

10.求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：

(1)圆心为〃(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切；

(2)圆心在直线V=x上，半径为2,且与直线丁=6相切;

(3)半径为内，且与直线2、-3^+6=0相切于点(3,4).

22

【答案】(1)(x-3)2+(尸5)2=32；(2)(X-4)+(J；-4)=4或

(x-8)2+(y-8)2=4；(3)(x-5)2+(j/-l)2=13或(x-1)2+(y-7)2=13.

【解析】

【分析】(1)根据点到直线的距离求得半径,进而得答案；

(2)设圆心坐标为(a,。)，再根据题意得"=|。-6|=2,解得”=4或a=8,进而

求得答案；

。一43

a—3o_5Q[

(3)设圆心坐标为(。,6),则，一：或Jr，进而

|2"36+6|…(6=1回7

也+(—3)2

求得答案.

【详解】解：(1)因为圆/与直线X-7少+2=0相切,

所以点“(3,-5)到直线x-7y+2=0的距离即为圆加的半径,

|3-7'(-5)+2=0|=40华5

所以〃=Jl+(-7)-572'

所以圆M的方程为：(x-3)2+(y+5)2=32,

图像如图:

(2)因为圆心在直线V=x上，半径为2,

所以设圆心坐标为(a,a),

又因为所求圆与直线y=6相切,

所以厂=|a-6]=2,解得。=4或&=8,

所以所求圆的方程为(x—4)2+(y—4)2=4或(x-8『+(y—8)2=4,

图像如图：

(3)半径为JF，且与直线2x—3y+6=0相切于点(3,4),

6—43

a—32[<3=5=l

所以设圆心坐标为(a,6),则12a-3b+61_厄'解得[=1或)=7'

百+(-3>

所以所求圆的方程为：(x—5)2+3—1)2=13或(x—l)2+(y—7f=13,

图像如下：

11.求直线/：3x-y-6=0被圆°：/+丁2一28一43；=0截得的弦/8的长.

【答案】M

【解析】

【分析】将一般方程化为标准方程得圆心与半径，再根据儿何法求弦长即可.

【详解】解：将圆的方程化为标准式，可得(X-1)2+3-2)2=5,

所以圆心坐标为0(1,2),半径为尸=逐，

所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为匡)二四=叵，

V102

所以根据几何法得弦长为2Kl=V10.

所以弦48的长为J记

12.求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2行的

圆的方程.

【答案】x2+y2-2x-6y+l=0^x2+y2+2x+6y+\=0

【解析】

【分析】设圆的一般方程是/+/+6+£>+尸=0,得出圆心坐标和半径，利用直

线与x轴相切，令y=0后的二次方程判别式等于0得。,E,尸的一一个等式，求出圆

心到直线》-歹=0的距离，用勾股定理得弦长，得。，瓦厂的第二个等式，再由圆心

在已知直线上第。，瓦厂的第三个等式，三式联立解得。民尸得圆方程.

【详解】设所求的圆的方程是/+_/+6+切+尸=0,则圆心为半径

^J^D2+E2-4F.令y=0,^X2+DX+F=0,

2

由圆与X轴相切，得△=（）,即。2=4F①

（DE、

又圆心-：，-7到直线x-尸。的距离为才22.

I22jd=^T-

由已知，得+（近＞=/,

6

222

B|J（n-E）+56=2（£>+JE-4F）@

又圆心（一•，一在直线3x-y=0上，则30-E=0③

联立①②③，解得£>=—2,£=—6,尸=1或。=2出=6,尸=1

故所求圆的方程是/+/一2x-6y+1=0或％?+/+2x+6歹+1=0.

13.求与圆。:/+/一%+27=0关于直线/：x—y+l=0对称的圆的方程.

【答案】（》+2）2+&-|[21

【解析】

【分析】先求出圆C:/+y2-x+2y=0的圆心和半径，利用对称求出对称圆的圆

心，即可写出对称圆的方程.

【详解】圆C：X:+/-X+2y=0可化为：（x—+（丁+1）2=|'，

所以其圆心6,—1）,半径/=*

-^1-1=-1

a——a=-2

2解得：L3，

设对称的圆的圆心(a,6),则有:

1b=—

QH---I2

b-\」+1

I22

所以对称的圆的方程为:

14.正方形/8CD的边长为a,在边8C上取线段8E=@,在边。C的延长线上取

3

CF=~.试证明：直线4E与8尸的交点M位于正方形48。的外接圆上.

2

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】建立如图所示平面直角坐标系，表示出点的坐标，求出直线/E、3厂的

方程，即可求出交点的坐标，再利用两点的距离公式计算可得；

【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则4(-a,0),5(0,0),C(0,a),后/%)，

“9，♦，O(—所以二、1,则直线ZE方程为夕=!》+"，

(2)122JK=—=-33

AEa3

直线3月的方程为歹=2x

，所以点〃在圆O上;

15.求经过点M(2,-2)以及圆x?+y2-6x=0与圆x?+y2=4交点的圆的方程.

【答案】x2+y2-3x-2=0

【解析】

【详解】试题分析：先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得

所求圆的方程.

解：设过圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程为：x2+y2-6x+X(x2+y2-4)

=0…①

把点M的坐标(2,-2)代入①式得入=1,把入=1代入①并化简得x2+y2-3x-2=0,

所求圆的方程为：x2+y2-3x-2=0

考点：圆系方程.

综合运用

16.求圆心在直线》一y一4=0上，并且经过圆x2+V+6x—4=0与圆

x2+j?+6y—28=0的交点的圆的方程.

【答案】X2+/-X+7^-32=0

【解析】

【分析】设两圆交点系方程为％?+/+6x-4+4(/+/+6y-28)=0,求得圆心坐标

代入直线x-V-4=0求得圆的方程.

【详解】设经过两圆交点的圆的方程为/+/+6丫一4+4(/+/+6、-28)=0,即

—3—32

(1+2)X2+(1+2)/+6X+62^-282-4=0,圆心坐标为(——,——),将其代入

1+41+4

直线x—y—4=0解得彳=—7.所以圆的方程为f+V—x+7y—32=0.

故所求圆方程为：x2+y2-x+7y-32=0

17.求圆x?+_/-4=0与圆x?+/-4x+4y-12=0的公共弦的长.

【答案】2&

【解析】

【分析】首先两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理、勾股定理求出公共

弦长；

【详解】解：圆X?+V-4=0与圆/+y2-4x+4y-12=0,两式相减得

4x—"+8=0,即公共弦方程为x—y+2=0,圆/+/-4=0的圆心坐标为（0,0）,

|0-0+2|厂

半径尸=2,圆心到公共弦的距离d="+（_]/2，故公共弦

/=2,-（可=2后

18.求经过点“（3,-1）且与圆C：/+川+公-6尹5=0相切于点N（1,2）的圆的

方程.

z20、,/15、,845

【答案】（X-T）2+（J--）2=—.

【解析】

【分析】先利用待定系数法假设圆的标准方程：（x-a）2+Cy-b）2十2,求出已知

圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆C过点M（3,-1）且与圆x2+〉2+2x-6尹5=0

相切于点N（l,2）,列出方程组可求相应参数，从而可求方程.

【详解】解：设所求圆方程：（x-a）2+（y-b）2=/

已知圆的圆心：（-1,3）,半径=6，

2

由题意可得：（3-〃）2+（-1-6）2=/，（1-Q）2+（2-6）2=/，（a+1）+（6-3）

'郃+尸产，

845

解得//?96

.山,2015845

..所求圆：(x-—)2+(y--)

考点：圆的切线方程.

19.如图，某台机器的三个齿轮，〃与8啮合，。与8也啮合.若Z轮的直径为200

cm,8轮的直径为120cm,。轮的直径为250cm,且乙4=45。.试建立适当的坐

标系，用坐标法求出4C两齿轮的中心距离(精确到1cm).

【答案】260czn

【解析】

【分析】根据题意，以点A为坐标原点，Z8所在直线为x建立平面直角坐标，进

而得直线4c的方程为歹=》，故设C(f/)/>0,再结合圆与圆的位置关系求解即

可得答案.

【详解】解：根据题意，以点A为坐标原点，28所在直线为x建立平面直角坐标

系，如图，

由于NC48=45°，所以直线力C的方程为丁=》，

故设则8C=；(250+120)=185,

由于圆8与圆C相外切，故=160y+d=i85,解方程得f*183.5

所以4C="=259.5«26Qcmcm.

故4C两齿轮的中心距离约为260C7H.

20.已知/(-2,-2),5(-2,6),C(4,-2)三点，点尸在圆2+y2=4上运动,求

\PA[+\PB[+\PC[的最大值和最小值.

【答案】最大值为88,最小值为72

【解析】

【分析】设尸(xj),利用两点间的距离公式得到

1PH2+|尸8『+|尸。「=3f+3y2_4j，+68,再由点P在圆f+V=4上运动，化简为

3x2+3/_4、+68=-4y+80求解.

【详解】设尸(xj),

因为2(-2,-2),5(-2,6),C(4,-2)三点,

所以|P/f+|p6『+|PC「

=(x+2)2+(j^+2)'+(x+2)'+(y-6)'+(x-4,+(y+2j,

=3/+3/一令+68,

因为点P在圆/+_/=4上运动，

则X2=4-VNO,解得-2<yW2,

所以3x2+3;/—4y+68=-4y+80,

当y=-2时，|p/|2+10@2+|pc|2取的最大值88,

当y=2时，|尸旬2+忸川+|PC|2取的最小值72.

拓广探索

21.已知圆一+必=4,直线/：y=x+6,6为何值时，圆上恰有三个点到直线/的距

离都等