2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之三角形和四边形

2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之三角形和四边形

一.选择题（共16小题）

1.（2020•陕西）如图，ACLBC,直线EF经过点C,若Nl=35°,则/2的大小为（）

C.45°D.35°

2.（2020•陕西）若NA=23°,则N4余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

3.（2021•陕西）如图，直线人〃/2,直线/1、/2被直线/3所截，若Nl=54°,则N2的大

小为（）

4.（2021•陕西）如图，△ABC的中线BE、C尸交于点O,连接E凡则处的值为（）

A.AB.AC.2D.A

2334

5.（2021•陕西）如图，在菱形ABC。中，NA8C=60°,连接AC、B。，则蛆的值为（）

BD

D

A・5B.亨C.喙D.返

3

6.（2019•陕西）如图，在△A8C中，NB=30°,ZC=45°,AD平分/84C交BC于点

D,DEIAB,垂足为E.若。E=l,则BC的长为（）

C

BD

A.2+V2B.V2+V3C.2+A/3D.3

7.（2018•陕西）如图，在△48C中，AC=8,ZABC=60°,/C=45°,ADLBC,垂足

为D,NABC的平分线交AO于点E,则AE的长为（）

A

BDC

2

A，y>/2B.V2C.-|^2D.3近

8.（2017•陕西）如图，在△ABC中，ZA=60°,ZB=45°.若边AC的垂直平分线OE

交边A8于点。，交边AC于点E,连接CD,贝Ij/OCB=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

9.（2020•陕西）如图，在3X3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,。都在

格点上，若8。是aABC的高，则B。的长为（）

B,会后C-^13D.

10.（2019•陕西）如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=6,若点E,尸分别在A8,C。上,

且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（）

C.2D.4

11.（2021•陕西）如图，点。、E分别在线段BC、AC上，连接A。、BE.若NA=35°,

NB=25°,ZC=50°,则/I的大小为（）

12.（2020•陕西）如图，在菱形A8CQ中，AC=8,BD=6,DEVAB,垂足为E,DE与

D.4

13.（2020•陕西）如图，在QA8C£>中，AB=5,BC=8.E是边8C的中点，F^ABCD|*J

一点，且NBFC=90°.连接AF并延长，交CD于点G.若EF//AB,则DG的长为（）

A.5B.3C.3D.2

22

14.（2019•陕西）如图，在△4BC中，NABC=90°,ZC=52°,BE为AC边上的中线，

AD平分NBAC,交BC边于点D,过点B作BFLAD,垂足为F,则ZEBF的度数为（）

15.（2018•陕西）如图，在RtZVLBC中，/ACB=90°,ZA=65°,CDLAB,垂足为

E是BC的中点，连接ED,则NOEC的度数是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

16.（2021•陕西）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点4、C、E

共线.若AC=6cm,CD1BC,则线段CE的长度是（）

A.6cmB.1cmC.D.8cm

二.填空题（共4小题）

17.（2017•陕西）如图.在中，AC=3,乙48c=90°,8。是△ABC的角平分线,

过点。作交8。边于点£若AZ）=1,则图中阴影部分的面积为

18.（2021•陕西）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代

的数学成就.如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼

成的一个大正方形.直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为12,则小正方形ABCO

的面积的大小为.

19.（2017•陕西）如图，在四边形ABCQ中，A8=AO,ZBAD=ZBCD=90°,连接AC.若

AC=6,则四边形ABC。的面积为.

D

B

20.（2018•陕西）如图，在矩形中，AB=3,AO=4,连接AC,。是AC的中点，M

是AQ上一点，且MO=1,P是BC上一动点，则尸M-P。的最大值为.

三.解答题（共3小题）

21.（2021•陕西）如图，ZA=ZBCD,C4=C。，点E在BC上，KDE//AB,求证：AB

=EC.

D

22.（2020•陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼

对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角/I的

度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部〃的俯角的度数.于是，他

俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角N2的度数，竟然发现/I与/2

恰好相等.已知A,B,C三点共线，CALAM,NMLAM,AB=31w,BC=l8m,试求

商业大厦的高MN.

23.（2018•陕西）如图，AB//CD,E、尸分别为AB、C。上的点，且EC〃BF,连接A。,

分别与£C、BF相交于点G,H,若AB=CD,求证：AG=DH.

CD

2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之三角形和四边形

参考答案与试题解析

一.选择题（共16小题）

1.（2020•陕西）如图，ACLBC,直线EF经过点C,若Nl=35°,则/2的大小为（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【考点】垂线.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】由垂线的性质可得NACB=90°,由平角的性质可求解.

【解答】解：...ACaBC,

AZACB=90°,

VZ1+ZACB+Z2=18O°,

，N2=180°-90°-35°=55°,

故选：B.

【点评】本题考查了垂线的性质，平角的性质，是基础题.

2.（2020•陕西）若NA=23°,则NA余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

【考点】余角和补角.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【分析】根据/A的余角是90°-ZA,代入求出即可.

【解答】解：：乙4=23°,

...NA的余角是90°-23°=67°.

故选:B.

【点评】本题考查了互余的应用，注意：如果NA和互为余角，那么/A=90°-Z

B.

3.（2021•陕西）如图，直线/1〃/2,直线力、/2被直线/3所截，若/1=54°,则N2的大

小为（）

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】如图，根据平行线的性质，由得N1=N3=54°,那么N2=180°-Z

3=126°.

【解答】解：如图.

'：h//l2,

.*.Z1=Z3=54°.

.•.N2=180°-/3=180°-54°=126°.

故选：C.

【点评】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质得到N1=N3=54°是解决本

题的关键.

4.（2021•陕西）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O,连接EF,则好的值为（）

FC

,A

0

B

A.AB.Ac.2D.A

2334

【考点】三角形的重心；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质.

【专题】三角形；图形的相似；推理能力.

【分析】先根据三角形中位线的性质得到EF〃BC,EF=LBC,则可判断

2

利用相似比得到里=1,然后根据比例的性质得到”的值.

0C2FC

【解答】解：：中线BE、CF交于点O,

...EF为△ABC的中位线，

J.EF//BC,EF=LBC,

2

：./\OEF^/\OBC,

.OF=EF=1

,,0CBCT

•PL=1

••而3"

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶

点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质.

5.（2021•陕西）如图，在菱形ABCQ中，NABC=60°,连接AC、B£>,则隹■的值为（）

BD

【考点】菱形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值：等边三角形的判定

与性质.

【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】由菱形的性质可得AO=CO,BO=DO,AC1BD,NAB£>=」NA8C=30°,

2

由锐角三角函数可求解.

【解答】解：设AC与3。交于点0,

A

D

//

-----------------X?

•••西边形ABC。是菱形，

：.AO=CO,BO=DO,ACLBD,/ABO=LABC=30°,

_2

•：lanZABD=^-^-,

_BO3

.ACM

••--z:---,

BD3

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质是解题的关键.

6.（2019•陕西）如图，在△A8C中，ZB=30°,NC=45°,A£>平分NBAC交BC于点

D,DELAB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为（）

【考点】角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线.

【分析】过点D作DFLAC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE=DF=\,解

直角三角形即可得到结论.

【解答】解：过点。作。尸，4c于凡如图所示，

为/BAC的平分线，且。口于E,DFLAC^F,

：.DE=DF=\,

在RtZYBE。中，ZB=30°,

：.BD=2DE=2,

在Rtz^CD尸中，ZC=45°,

...△CDF为等腰直角三角形,

:.CD=®DF=

:.BC=BD+CD=2^[^,

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

7.（2018•陕西）如图，在△A8C中，AC=8,/ABC=60°，NC=45°，ADA.BC,垂足

为。，NA8C的平分线交于点E,则4E的长为（）

A

BDC

A.三代B.272C..|^/2D.372

【考点】勾股定理；角平分线的定义；含30度角的直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用.

【分析】在RtZsAOC中，利用等腰直角三角形的性质可求出A。的长度，在RtZXAOB中，

由AD的长度及乙48。的度数可求出BD的长度，在RtZ\EBO中，由BD的长度及NEBO

的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD-DE即可求出AE的长度.

【解答】'：ADA.BC,

：.ZADC=ZADB=90Q.

在RtAADC中，AC=8,/C=45°,

：.AD=CD,

.\AD=^4C=4A/2.

2

在RtZXADB中,AO=4&,ZABD=60Q,

：.BD=^-AD=W6

33

「BE平分NA8C,

；.NEBD=30°.

在RtZXEBD中，8D=&昆，NEBD=30°,

3

:.DE=®BD=^k,

33

：.AE=AD-DE=色巨.

3

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形以及特殊

角的三角函数，通过解直角三角形求出AO、力E的长度是解题的关键.

8.（2017•陕西）如图，在△4BC中，乙4=60°,NB=45°.若边4c的垂直平分线。E

交边AB于点D,交边AC于点E,连接CD,则NQCB=（）

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】依据三角形内角和定理即可得到/AC8的度数，再根据垂直平分线的性质，即

可得出/AC。的度数，进而得到/OC8的度数.

【解答】解：；/4=60°,NB=45°,

AZACB=75°,

；DE垂直平分AC,

：.AD=CD,

：.ZACD=ZA=60°,

ZBCD^ZACB-ZACD^15Q-60°=15°,

故选：A.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段

两端点的距离相等.

9.（2020•陕西）如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在

格点上，若8。是△A8C的高，则8。的长为（)

^^13口.2-^

B.言布

【考点】勾股定理.

【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的

面积公式即可得到结论.

【解答】解：由勾股定理得：AC=^22+32=y/~i3,

：SAABC=3X3-yXIX2-yXIX3-yX2X3=3.5,

•・•y1AC'BD=7^

•,•713*30=7,

；.BD=

13

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

10.（2019•陕西）如图，在矩形48C。中，48=3,BC=6,若点E,尸分别在AB,CD上,

且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（）

【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形.

【分析】由题意可证EG〃BC,EG=2,HF//AD,HF=2,可得四边形EHFG为平行四

边形，即可求解.

【解答】解：'：BE=2AE,DF=2FC,，坐」，空=」

BE2DF2

•••G、H分别是AC的三等分点

,AG1CH=1

…而而'AH2

.AEAG

'*BE=GC

：.EG//BC

.•.毁且BC=6

BCAB3

:.EG=2,

同理可得H/〃AO,HF=2

四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1

••S叫边形EHFG=2X1=2,

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，证明四边形E”FG为平行

四边形是本题的关键.

11.(2021•陕西)如图，点。、E分别在线段BC、AC上，连接A。、BE.若NA=35°,

/8=25°,/C=50°,则N1的大小为()

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质.

【专题】三角形；运算能力.

【分析】由三角形的内角和定理，可得Nl=180-(NB+NADB),ZADB=ZA+ZC,

所以Nl=180°-(ZB+ZA+ZC),由此解答即可.

【解答】解：VZl=180-(NB+NADB),ZADB^ZA+ZC,

.•./1=180°-(ZB+ZA+ZC)

=180°-(25°+35°+50°)

=180°-110°

=70。，

故选：B.

【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关

键.

12.（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,DEVAB,垂足为E,DE与

D.4

【考点】菱形的性质；解直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形;矩形菱形正方形：图形的相似；运算能力；推理

能力.

【分析】RtZ\AB。中，sinZABO=M=A,而NABO=NAFE=NOFC,即可求解.

AB5

【解答】解：设AC与8。相交于O,

;四边形ABC。是菱形，4c=8,BD=6,AD=AB,

：.ACLOD,AO=L1C=4,DO=BO=、BD=3,

22

由勾股定理得到：AO=A8={A02+B02=5,

在RtZ\A8。中，sinZABO=-^-=A,

AB5

VZEAF+ZAFE=90Q,ZFAE+ZABO^90Q,

NABO=NAFE=ZDFC,

:.sinNDFC=生

5

故选：D.

D

【点评】本题考查了菱形的性质，确定NABO=NAFE=NQFC是本题解题的关键.

13.（2020•陕西）如图，在nABCD中，AB=5,BC=8.E是边BC的中点，F是。ABC。内

一点，且/8FC=90°.连接AE并延长，交C£＞于点G.若EF〃A8,则。G的长为（）

A.3B.3C.3D.2

22

【考点】平行四边形的性质；梯形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】延长交CO的延长线于H,可证Ek是△BCH的中位线，由中垂线的性质可

得BC=CH=8,可求力"=3,由“4SA”可证△ABFg/XGFH,可得AB=GH=5,可求

解.

【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于4,

•；四边形ABCD是平行四边形,

：.AB=CD=5,AB//CD,

：.NH=ZABF,

,JEF//AB,

J.EF//CD,

是边BC的中点，

是△BCH的中位线，

：.BF=FH,

■:NBFC=90°,

；.CF上BF,

；.CF是BH的中垂线，

：.BC=CH=S,

：.DH=CH-CD=3,

在△ABF和△G”尸中，

，ZABF=ZH

<BF=HF>

,NAFB=NGFH

A/\ABF^/\GFH（ASA）,

：.AB=GH=5,

：.DG=GH-DH=2,

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线

定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

14.（2019•陕西）如图，在△ABC中，NABC=90°,ZC=52°,BE为AC边上的中线，

AD平分N8AC,交BC边于点D,过点H作BF1AD,垂足为F,则NEBF的度数为（）

A.19°B.33°C.34°D.43°

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出BE=1AC^AE,由等腰三角形的性质得

2

出/54E=/ABE=38°,由角平分线定义得出NBAO=19°,由三角形的外角性质得出

NBOF=51°,由直角三角形的性质得出答案.

【解答】解：：NABC=90°,为AC边上的中线，

AZBAC=90°-ZC=90°-52°=38°，BE=^AC=AE,

2

：.ZBAC=ZABE=3S°,

平分NBAC,

...NBAF=JL/B4C=19°,

2

AZBOF^ZBAD+ZABE=190+38°=57°,

'：BF1.AD,

；.NBFO=90°,

；.NEBF=90°-ZBOF=90Q-57°=33°；

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的

性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键.

15.（2018•陕西）如图，在RtZVLBC中，/ACB=90°,ZA=65°,CDLAB,垂足为。,

E是的中点，连接E£>,则NOEC的度数是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形斜边中线的性质解决问题即可.

【解答】解：VZACB=900,ZA=65°,

.*.ZB=90°-65°=25°,

'：CD±AB,

：.ZCDB=90°,

：.ZDCB=65°,

,:CE=EB,

：.DE=CE=EB,

:.NEDC=NECD=65°,

AZDEC=180°-65°-65°=50°,

故选：O.

【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键

是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

16.（2021•陕西）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E

共线.#AC=6cm,CD1BC,则线段CE的长度是（）

A.6cmB.1cmC.D.8cm

【考点】全等三角形的应用；勾股定理的应用.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】过B作于M,过。作。NLCE于N,由等腰三角形的性质得到AM=

CM=3,CN=EN,根据全等三角形判定证得△BCM也△8M得到BM=CN,在RtA

BCM中，根据勾股定理求出8M=4,进而求出.

【解答】解：由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm,AC=6cm,

过8作BM_LAC于M,过。作QALLCE于N,

则NBMC=/CN£）=90°,AM=CM=Lc=>lx6=3,CN=EN,

22

,:CDLBC,

：.ZBCD=90°,

/BCM+/CBM=NBCM+NDCN=90°,

：.ZCBM=ZDCN,

在△BCA/和△C£W中,

，ZCBM=ZDCN

<ZBMC=ZCND)

BC=DC

:.丛BCM4丛CDN(A4S),

:.BM=CN,

在RtABCM中，

"：BC=5,CM=3,

BA/=VBC2-CM2=V52-32=4,

:.CN=4,

；.CE=2CN=2X4=8,

故选：D.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正

确作出辅助线，证得△BCMg△CDN是解决问题的关键.

二.填空题（共4小题）

17.（2017•陕西）如图.在RtZvWC中，AC=3,ZABC=90°,2。是△ABC的角平分线,

过点力作。交BC边于点E.若AD=1,则图中阴影部分的面积为1

【考点】三角形的面积；勾股定理.

【专题】三角形.

【分析】作DHA.BC于H,由题意可得，4BDE是等腰直角三角形，设DH=BH=EH

="，证明可得冤，CE=a,在中，由勾股定理可得

△CD，sz^CAB,AB=RtAABC

2

AB2+BC2=AC2,即旦2根据阴影部分的面积=三角形的面积

a?+9a2=9,-a=l＞ABC

44

-三角形的面积，即可得出图中阴影部分的面积.

【解答】解：如图，作于”，

9：ZABC=90°,8。是△ABC的角平分线，

ZDBC=ZABD=45°,

:DE1.BD,

：.ZDEB=45°,

・・・ABDE是等腰直角三角形，

设DH=BH=EH=a,

*：DH//AB

・DHJHg

e，AB'CB"CA?

VAD=1,AC=3,

•a_CE+a2,

•・瓦■二CE+2a而‘

.•.AB=&,CE=a,

2

t：AB2+BC2=AC2,

•92s2c52-

a+9a=9,=T

44

2

图中阴影部分的面积4x|aX3a-{x2aXa=|a=l.

解法二：将△£>反：绕点。顺时针旋转90°得到△£>87.

5：/EC

,f»

；NDEC=NDBT=135°,ZABD=45°,

；.NABD+NDBT=180°,

：.A,B,T共线，

图中阴影部分的面积=S”DT=工XA£)XD7=1.

2

故答案为：1.

A

D

上I\

BHEC

【点评】本题考查三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关

键是用“来表示出直角边AB,BC的长.

18.（2021•陕西）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代

的数学成就.如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼

成的一个大正方形.直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为12,则小正方形ABCQ

的面积的大小为49.

【考点】勾股定理的证明：数学常识；全等图形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识.

【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长,

易得小正方形的面积.

【解答】解：根据勾股定理，得4尸=屈%^=五£?^=5・

所以AB=12-5=7.

所以正方形ABC。的面积为：7X7=49.

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形

的另一直角边的长度.

19.（2017•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=NBCD=9G：连接AC.若

AC=6,则四边形ABCQ的面积为18.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】作辅助线：证明△ABM名△AON,得至ljAAf=AM与△AON的面积相等;

求出正方形AMCN的面积即可解决问题.

【解答】解：如图，作AMLBC、ANLCD,交CO的延长线于点N；

■:NBAD=NBCD=90°

四边形AMC7V为矩形，NMAN=90°；

；NBAD=90°,

:.NBAM=NDAN；

在△A8M与△ADV中，

，ZBAM=ZDAN

<ZAMB=ZAND-

AB=AD

:.AABM@AADN(A4S),

，AM=AN(设为人)；/XABM与△AON的面积相等；

四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；

由勾股定理得：AC2=AM2+MC1,而4c=6；

A2A2=36,入2=18,

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知

识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形.

20.（2018•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,连接AC,。是AC的中点，M

是AQ上一点，且MO=1,P是BC上一动点，则尸M-P。的最大值为文亘.

—2—

【考点】三角形三边关系；矩形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】连接MO并延长交8c于P,则此时，PM-PO的值最大，且PM-P。的最大

值=OM,根据全等三角形的性质得到AM=CP=3,OM=OP,求得PB=\,过M作

MNLBC于N,得到四边形MNC。是矩形，得到MN=CD,CN=DM,根据勾股定理即

可得到结论.

【解答】解：：在矩形ABC。中，4。=4,MD=\,

：.AM=3,

连接MO并延长交BC于P,

则此时，PM-P。的值最大，且PM-PO的最大值=OM,

'：AM//CP,

：.ZMAO^ZPCO,

VZAOM=ZCOP,AO=CO,

.,.△AOM丝△COP（ASA）,

；.AM=CP=3,OM=OP,

：.PB=\,

过M作MN1.BC于N,

四边形MNCZ）是矩形，

:.MN=CD,CN=DM,

:.PN=4-1-1=2,

••MP={§2+2

。仞=®1,

2

故答案为：巫.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判

定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

三.解答题（共3小题）

21.（2021•陕西）如图，ZA=ZBCD,CA=C£>,点E在BC上，J!LDE//AB,求证：AB

=EC.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题；图形的全等；推理能力.

【分析】由平行线的性质得出/ABC,证明△48C丝△CEO（AAS）,由全等三

角形的性质得出结论AB=EC.

【解答】证明：'：DE//AB,

：.NDEC=ZABC,

在△ABC和△CEO中，

，ZA=ZECD

-ZABC=ZDEC-

CA=CD

:.△ABC^XCED（AAS）,

；.AB=EC.

【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABCWaCE。是

解题的关键.

22.（2020♦陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼

对面商业大厦的高他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角N1的

度数，由于楼下植物的遮挡，不能在8处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是，他

俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角N2的度数，竟然发现/I与N2

恰好相等.已知A,B,C三点共线，CALAM,NMLAM,AB=31M,8c=18机，试求

商业大厦的高MN.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【分析】过点C作CELMN于点E,过点8作于点尸，可得四边形AMEC和四

边形AMF8均为矩形，可以证明△BEVgZXCEM,得NF=EM=49,进而可得商业大厦

的高MN.

【解答】解：如图，过点C作CELMN于点E,过点8作于点F,

:.NCEF=NBFE=9()°,

VCA1AM,NMLAM,

：.四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形,

：.CE=BF,ME=AC,

VZ1=Z2,

也△CEM(ASA),

；.NF=EM=31+18=49，*,

由矩形性质可知：EF=CB=lSm,

:.MN=NF+EM-EF=49+49-18=80Cm）.

答：商业大厦的高MN为80%

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义,

构造全等三角形解决问题.

23.（2018•陕西）如图，AB//CD,E、尸分别为AB、C。上的点，HEC//BF,连接A。,

分别与EC、8F相交于点G,H,若AB=C£）,求证：AG^DH.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质.

【专题】证明题；图形的全等.

【分析】由AB〃C£＞、EC〃BF知四边形BFCE是平行四边形、ZA=ZD,从而得出N

AEG=NDFH、BE=CF,结合AB=C。知AE=Z）F,根据ASA可得aAEG0△。/H,据

此即可得证.

【解答】证明：EC//BF,

...四边形BFCE是平行四边形，ZA=ZD,

:./BEC=NBFC,BE=CF,

：.NAEG=ZDFH,

'：AB=CD,

：.AE=DF,

在aAEG和△。尸H中，

'NA=ND

AE=DF，

ZAEG=ZDFH

.'.△AEG之（ASA）,

：.AG=DH.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质与平

行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质.

考点卡片

1.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

2.角平分线的定义

（1）角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.

（2）性质：若0c是NAOB的平分线

则/A0C=或/AOB=2NAOC=2/BOC.

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践.

3.余角和补角

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是

另一个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是

另一个角的补角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足

了定义，则它们就具备相应的关系.

4.垂线

（1）垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条

直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

（2）垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”,“只有”指“唯一”

“过一点”的点在直线上或直线外都可以.

5.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

6.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即必=上X底X高.

2

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

7.三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

③重心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）

8.三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形.

（3）三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐微

的定时炸弹，容易忽略.

9.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，

用代数方法求三个角；③在直角三角形中，己知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

10.三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角

形的外角.

11.全等图形

（1）全等形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

（2）全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（3）三角形全等的符号

“全等”用符号“且”表示.注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置

上.

（4）对应顶点、对应边、对应角

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角

叫做对应角.

12.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

13.全等三角形的应用

（1）全等三角形的性质与判定综合应用

用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要

认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系.

（2）作辅助线构造全等三角形

常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决

中线问题的基本规律.②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”,

这些问题经常用到全等三角形来证明.

（3）全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已

知条件转化为三角形中的边角关系是关键.

14.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长：②该性质可以独立作为证明两条线段相

等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分

线的性质语言：如图，在/40B的平分线上，CDLOA,CELOB：.CD=CE

15.线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到

线段两端点的距离相等.一③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，

并且这一点到三个顶点的距离相等.

16.等边三角形的判定与性质

(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,

它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,

同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成

含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三