高数下练习题(考研基础)

第十章重积分(测试题)

填空题

设。：0WxWl,0Ky<2,则［二一"(T=.

1.J/1+X

2.设。:|x区3,|y区1,则JJx(x+y)dcr=

D

3.设D是由x+y=l,x-y=l,x=O围成的闭区域,则

jjsin3ydcr=。

D

4.若/(x,y)在。:。上连续且

x(“f(x,yylxd^)2=/(x,y)_；,则/(x,y)=--------------------。

D

(可设/(x,y)=&,两边再做二重积分)

5.若。由曲面z2=3(/+y2),*2+y2+z2=]6所围，则三重积分

J"f(x,y,z)dv表示成直交坐标系下的三次积分为,

柱面坐标系下的三次积分为,

球面坐标系下的三次积分为.o

6.试用二重积分表示由曲面Z=j3/一-一产及％2+y2=2az所围立体

的表面积5=______________________________o

7.已知。是区域：a<x<b,0<y<1,且jjyf(x)d(y-1,则

D

£f{x}dx=.»

8.若。是由x+y=l和两坐标轴围成的三角形区域，且

jjf(x)dxdy=[)°(%)公,则(p(x)-o

D

9.积分=。(先交换积分次序)

10.换二次积分的积分次序J：6/(x,y)dx=。

选择题

1.若人=JJ(l+x)dcr,其中。|是|x区l,|y|Wl；12=jjxydcr,其中是

»,。2

x2+y2<\,则7,,/,的值为»

(A)Z,<0,12=0；(B)/,>0,/2=0；(C)Z)=0,/2>0；(D)/,>0,Z2<0

2.7(x,y)在x?+V41上连续，使jj/(%,y)dxdy=味可；f(x,y)dy

2，一.

x-+y-^\

成立的充分条件为O

(A)/(-x,y)=f(x,y),f(.x,-y)=-f(x,y)；

(B)f(-x,y)=/(x,y),/(x,-y)=/(x,y)；

(C)f(-x,y)=-f(x,y),f(x,-y)=-f(x,y)；

(D)f(-x,y)=-f{x,y),f(x,-y)=f(x,y)。

3.设/=Jd，其中。为z2=/+y2,z=l围成的立体，则正确的为。

Q

(A)I={d0\^rdri*zdz：(B)I=\"dOi^rdr\1zdz

JoJoJoJoJoJr

(C)/=fd0\dz\rdr；(D)/=[dz\d0[zrdr.0

J0JoJrJoJoJo

4.设Q由尤+y+zWK,0<x<l,0Ky<l,zN0所确定，其中K是大于2的常

数及jj|xdxdydz^—,则K=________________________。

Q4

/、/、14/、8

(A)5；(B)3；(C)—；(D)-

33

三.计算暨_______

1.I=Jjsin+,其中£)："2+y2K4〃2

D

2.设/(x,y)是连续函数，改变/=｛；公J；/(演了)力的积分次序。

3.确定常数A使，Asin（x+y）dxdy=l,其中。是由y=x,y=2x,x=■所围成

的区域。

4.计算/=JjJx3y其中。是由x=1,x=2,y=0,y=/,z=0,z=4所围成

QX

的在x=l与x=2之间的闭区域。

5.计算/=口（（炉+y2）d%其中Q是由曲面/+/=2z及平面Z=2所围成的

C

闭区域。（可考虑柱面坐标）

6.计算/=UJQ/+y2",其中Q是由曲面2=J/+y2及Z=j2—/_y2

c

所围成的闭区域。(可考虑球面坐标)

四.应用题

1.求由椭圆抛物面z=》2+2;/和抛物面z=2——所围成的立体的体积。

五.证明题

设函数/(〃)具有连续的导数，且/(0)=0,求lim—!ffff(Jx2+y2+z2)Jv

第十一章曲线积分与曲面积分(练习一)

(第一，二节)

一.选择题

1.对弧长的曲线积分与积分路径的方向()，对坐标的曲线积分与积分路

径的方向()。

A.有关B.无关C.不确定

2.设L是从A(1,O)到B(-l,2)的线段，则曲线积分Jjx+y)ds=()

A.-2V2B.2V2C.2D.0

22

3设L为椭圆?+号=1,其周长记为/，贝4(2xy+3x2+4y2)A=()

A.4/B.3/C.7/D.12I

二.计算下列对弧长的曲线积分.

1、Jds,其中L:x=acost,y=asint,0</<2/r.(a>0).

—~\~~ds,

2、r其中「为曲线x=e'cos/,y=dsin/,z=d上相应于t从0变

rx+y+z

到2的这段弧.

f卜+「

3.Jeds,其中L为圆周幺+了2=。2,直线丫=*及*轴在第一象限内所围成的

扇形的整个边界.

4.jx2(&,L为球面x2+y2+z2-R2与平面x+y+z=Q相应的圆周.

三.计算下列对坐标的曲线积分.

22

1.计算Jjd+2xy)d),其中L为椭圆卞+3=1上由点A(a,O)经8(0,。)到

C(一兄0)的弧段.

2.^x2dx+zdy-ydz,其中「为曲线》=左6,丁=“。。5。，2=。5抽6上对应于。从0到

力的一段弧.

3.£xydx,其中L为圆周(x-a)2+丁=合(”为正)及无轴所围成的在第一象限内的

区域的整个边界.

4.计算曲线积分£(必+?2卜*+(*2—其中L是由

o(0,O),A(1,1)1(0,2),C(—1,1)为顶点的正方形的正向边界.

第十一章曲线积分与曲面积分(练习二)

(第三，四节)

--选择.

1.设L是不经过原点的简单正向闭曲线，则曲线积分fxdy~y(!x=()

x+y

A.0B.2万C.0或2万D.以上答案都不对

2.设曲线积分/=j(2xcosy-)2sinx)t/x+(2ycosx-x2siny)6fy,其中积分表

达式是某二元函数〃(x,y)的全微分，则〃(x,y)=()

A.(x2+y2)B.(x2+y1)(cosx+cos_y)

c.dcosy+y2cos%D.(COSX+COSy)ex

3.设L是圆周x2+y2=a2(取负向)，则曲线积分

f(x3-x3j)/x+(x/-jJ)tZj=().

二.计算下列积分.

1.£(x2-XJ3)/x+(j2-2xy)dy其中L是四个顶点分别为

(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)的正方形区域的正向边界。

2.求£盯其中L为圆周X2+J；2=CT的顺时针方向。

3.j^^dx+xdy),其中乙是椭圆9+,=1沿逆时针方向。

4.Jjy+2xy)dx+(x2+2x+y2)dy,其中L为由点A(4,0)沿上半圆y-y/^x-x2

到到0,0)的半圆周。

5.£{exsinj+(excosy-x)dy,其中L是从点A(1,0)经下半圆周

(x—4)2+丁=9到点B(7,0)的曲线弧。

三.证明下面曲线积分在整个W平面除去X+y=0的区域内与路径无关，并计算积分值.

C（3,o）3y-x,y-3x,

I------rdxH-----dy

J（i,2）（x+y）（x+y）•

四.验证（2r+劣一1加什（3一3）为某一函数u（x,y）的全微分，并求出

W（x,y）.

2.JJ(z-3)公办，其中E为曲面2z=d+V上介于z=2及z=3之间的部分的下

s

侧。

3.^x+2)dydz+zdxdy,Z是由A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)为顶点的三角形

平面的上侧

三.计算下列曲面积分。

1.目x^dydz-}-y2dzdx+/dxdy,其中E为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a

所围成立体的表面外侧

2.xz2dydz+(x2y-z3)dzdx+(2xy4-y27]dxdy,其中X为上半球体

s

0<z<y/a2-x2-y2,x2+y2<a2的表面外侧。

22_________

3.gzdxdy+xdydz其中E是由+)与z=2a-J-'+y2所围空

a

间区域。的表面外侧。

4.jjxdydz-vydzdx-vzdxdy,其中£为曲面z=x2-hy2在第一卦限部分(()<z«1)

的上i则。

5.f(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,其中r为椭圆x2+y2=a2—=1,

Jr9ab

(a>0,b>0)若从x轴正向看去，椭圆取逆时针方向。

6.，3ydx-yz2dz,其中「是圆周M+y2=2z,z=2若从z轴正向看去,

圆周取逆时针方向。

第十二章无穷级数

（练习一）

（常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法）

一、填空题

1、若收敛，则lim（〃“+3）=。

〃一＞8

〃=1

8_8_

2、若的和为2，且4=〃]+〃2++”〃，贝!〃〃的和为

”=1n=2

limsn=

-8,，7

3、设的和为2,则的为.

H=1"=13

4'(;+»[■+,)++(《+?)+的和是

81

5、级数£〃sin—的收敛性是:

〃=in

二、选择题

1、lim%=0是级数收敛的（)

71—>00

〃=1

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

Q0

2、若级数收敛，且%=%+〃2++”〃下列叙述不正确的是（)

〃=1

A.lim〃”=0B.limsn-0C.limsn存在D.lim〃“存在

n->ooZ?->00

3、设级数收敛，则下列级数(）一定收敛。

M=1

8

B2》

A.-El»„lC.Z(%+“"+JD-

〃=1n=ln=}

4、部分和数列｛4｝有界是正项级数zk收敛的（)

71=1

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

三、根据级数收敛与发散的定义或性质判定下列级数的收敛性:

0012、'MM+3+

1、X

M=1(2〃一1)(2〃+1)3G盯陋

00

3"+2"4、ZH(—1)'T4(9"

3、Z

〃=15"n=\3

四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性

1、

92〃-1

00_

•)

2、)sin—

71=1O

81

3、3>°)

〃=11-I-U

五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性

003"

1、Z

M=1n-2"

2、£”

0=1〃

六、判定下列级数的收敛性

1、72"sin—

〃=1J

8

2、Zn

/1=13〃+2,

8(b、

3、2—，其中。"-。(〃—8),%,。,匕均为正数。

"=11%)

七、判定下列级数是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

】、之㈠严白

n=\D

0_1

2、2”商

八、解答下列各题

1、讨论级数£8（-1）"」1-的收敛性;

2、证明：若正项级数£〃，收敛,则级数也收敛。

n=l”=1

第十二章无穷级数

（练习二）