沪教版（2020）高中数学必修第一册练习（中档）第16讲函数的单调性-【含答案】

函数的单调性

一、选择题（共21小题；共105分）

1.已知函数/（x）=/+4ax在区间（-8,6）内单调递减，则a的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.aV—3D.CL4一3

2.下列函数f（x）中，满足“对任意为1，到€（0,+8）,当％1＜牝时，都有“石）＞八七）”的是

（）

A.f(x)=5B./(%)=(%—I)2

C./(%)=exD.f(%)=ln(x+1)

3.下列四个函数中，在（0,+8）上为增函数的是（)

A./(%)=3—xB./(%)=x2—3x

C.f(%)=------D.f(x)=-1%1

八’X+1

4.函数f（x）=Vx2-2%-3的单调递减区间为（)

A.(—co,-1]B.(—8,1]C.[l,+oo]D.(3,+00)

5.若/（%）=-2（a-l）x+2在（一8,5］上是减函数，则a的取值范围是（）

A.a>6B.a>6C.a<6D.a<6

6.下列函数中，在（1,+8）上为增函数的是（）

1c

A.y=%2—4%B.y=|%—2|C.y=-D.y=%2+2%

7.若函数f(x)=|2x+al的单调递增区间是［3,+8）,则。的值为（）

A.-2B.2C.-6D.6

—%2—dx—S（xv］）

8.已知函数f（x）=乙、八是R上的增函数，则。的取值范围是（)

A.[-3,0)B.[-3,-2]C.(-00,-2]D.(—8,0)

9.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）

A.y=e~xB.y=x3C.y=In%D.y=\x\

10.下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A.y=Vx+1B.y=(%—l)2

X

c.y=?TD.y=log05(x+1)

11.若函数/（力=〃2工-4|（。＞0,且£171）,满足f（1）=2,则f（x）的单调递减区间是（）

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.[—2,+8)D.(-oo,-2]

12.已知函数/(%)=4x2-mx+5在区间[-2,+oo)上是增函数，则/(l)的取值范围是()

A.[25,+oo)B.(-oo,25)C.(-oo,25]D.(25,+oo)

13.设函数f(x)与g(x)的定义域为R,且f(x)单调递增,F(x)=/(x)+g(x),G(x)=/(x)-

22

g(x).若对任意xltx26R(%iHx2)»不等式l/(xi)-/(%2)]>[g(.Xi)-5(%2)]恒成立.则

()

A.F(x),G(x)都是增函数

B.F(x),GQr)都是减函数

C.FQ)是增函数，G(x)是减函数

D.F(x)是减函数，G(x)是增函数

14.下列函数中在区间［-1,+8）上为增函数的是（）

A.y=Vx+1B.y=(x-l)2C.y=\x-2\D.y=-x+1

15.若函数f(x)=X2+QI%I+2,%<R在区间［3,+oo)和［-2,-1］上均为增函数，则实数a的取

值范围是()

B.[-6,—4]

C.[-3,-272]D.[—4,-3]

16.函数y=/+2(a-5)%一6在(一8,-5)上是减函数，则a的范围是()

A.a>0B.a<0C.a>10D.a<10

17.已知函数f(%)=|%-a|在(一8,-1)上是单调函数，则a的取值范围是()

A.(—8,1]B.(-00,-1]C.[-1,+oo)D.[1,+00)

18.下列函数中，在区间(1,+8)上是增函数的是()

A.y=—%+1B.y=

C.y=—(%—I)2D.y=31T

19.下列函数中，在区间(-8,0)上单调递增，且在区间(0,+8)上单调递减的函数为()

1122

A.y=—B.y=-C.y=xD.y=x5

20.设f(%)在(一8,+8)上是减函数，且a+b<0,则下列各式成立的是()

A./(a)+/(b)<0

B./(a)+f(b)>0

C.f(a)+f(b)〈f(-a)+f(-力)

21.定义区间［xltx2］的长度为％2-％i(%2>%i)，单调递增，函数f(x)=(aeR,aW0)的

定义域与值域都是［m,n］(n>m),则区间\m,n］取最大长度时实数a的值为()

A.—B.-3C.1D.3

3

二、填空题(共9小题；共45分)

22.函数y=x2+2x-3(%>0)的单调增区间为.

23.若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是［-1,+oo),则a=.

24.若函数/(%)的单调增区间为(—2,3),则函数y=f(x)+3的单调增区间是.

25.若函数/'(%)在［a,句上是增函数,对任意的的,刀2C［a,句Qi藻冷),下列结论中正确的

是.(填序号)

①""a〉。；

Xr-x2

②(%1-X2)［f(X1)~/(X2)］>0；

③f(a)<f3)</(x2)<f(b)；

(4).>o

°(犯)>,

26.已知函数/(%)=日2—?+3a,*］；是(_8,+oo)上的增函数，则实数a的取值范围

(ZX—1,X<L

是.

27.若函数/(%)=策在区间(-2,+oo)上是增函数，则实数a的取值范围是.

28.下列函数中，在区间(-8,0)上是减函数的有个.

①y=2—工2；②y=X2+2%；(3)y=—y/—x；④y=」-.

/X-1

29.下列说法中，正确的是.(填序号)

①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f⑴,则函数f(x)是R上的单调增函数；

②若定义在R上的函数/(%)满足/(2)>/(I),则函数f(x)在R上不是单调减函数；

③若定义在R上的函数/(%)在区间(-8,0］上是单调增函数，在区间［0,+8)上也是单调增函

数，则函数在R上是单调增函数；

④若定义在R上的函数八%)在区间(-8,0］上是单调增函数，在区间(0,+8)上也是单调增函

数，则函数在R上是单调增函数.

30.已知函数y=f(无)是定义在R上的偶函数，对于x€R,都有/(比+4)=/。)+/'(2)成立，当

/，冷e［0，2］且Xi去到时，都有“乙)-"打)<0,给出下列四个

X1-X2

①〃-2)=0；

②直线x=-4是函数y=/(无)的图象的一条对称轴；

③函数y=/(%)在［4,6］上为增函数；

④函数y=在(-8,6］上有四个零点.

其中所有正确命题的序号为.

三、解答题(共8小题；共104分)

-x2+2光,x>0,

31.已知函数/(x)=-0,x=0,是奇函数.

x2+mx,x<0,

(1)求实数m的值;

(2)若函数f(x)在区间［-l,a-2］上单调递增，求实数a的取值范围.

32.作出函数y=|x-2|(%+1)的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.

33.已知函数f(x)=ax—京(a,6eN*),f(1)=：且f⑵<2.

(1)求a,b的值；

(2)判断并证明函数丁=/(%)在区间(-l,+oo)上的单调性.

34.已知函数/(%)=4x2-mx+5在区间［-2,+oo)上是增函数，求实数m及/(I)的取值范围.

35.已知函数/■(>)=ax—京(a,b€N*),/'(1)=且/'(2)<2.

(1)求a,b的值;

(2)判断并证明函数y=f(%)在区间(一1,+8)上的单调性.

—X2+2%,%>0

36.已知奇函数f(%)=,0,%=0.

x2+2x,%<0

(1)在直角坐标系中画出y=/Q)的图象，并指出函数的单调区间；

(2)若函数/(x)在区间［—1,a—2］上单调递增，试确定a的取值范围.

37.已知函数f(无)=蓄+1,且f(l)=3,f(2)=

(1)求a,b的值，写出/'(无)的表达式；

(2)判断久0在区间［1,+8)上的增减性，并加以证明.

38.已知函数f(x)是单调减函数.

(1)若a〉0,比较f(a+；)与/(3)的大小；

(2)若f(|a—1|)>/'(3),求实数a的取值范围.

答案

第一部分

1.D函数/■(无)=久2+4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是％=-2a,由函数在区间

(-00,6)内单调递减可知，区间(-00,6)应在直线x=-2a的左侧，

所以—2a>6,解得a4—3.

2.A

3.C因为/(%)=3-％在(0,+8)上为减函数，

所以A不正确；

因为/(%)=/-3%的图象开口向上，对称轴为直线比=|.

所以它在(0,+oo)上先减后增,

所以B不正确；

因为/(%)=—+在(0,+8)上为增函数，

所以C正确；

因为fM=一|xI在(0,+oo)上为减函数，

所以D不正确.

4.A由题意可得函数的定义域为(—8,—1]u[3,+8).

结合二次函数t=/一2x-3的性质，可知函数/(x)在(一8,-1]上单调递减，在[3,+8)上单调递

增.

5.B

函数/(£)=/—2(a—l)x+2的图象是开口朝上，且以直线x=a-l为对称轴的抛物线，

若/'(%)=/一2(a-1)%+2在(一8,5]上是减函数，

则a—125,解得：a26.

6.D

7.C由图象易知函数f(x)=\2x+a\的单调增区间是[一泉+°°)，

令—9=3,得a=-6.

8.B设g(x)=—x2-ax—5(x<1),h(x)=?(%>1),

由分段函数的性质，

可知函数g(x)=-x2-a尤-5在(-8,1］上单调递增，

函数h(x)=?在(1,+oo)上单调递增，且g⑴</i(l),

1,(a<-2,

所以Ja<0,即a<0,

l-a-6<a,Q2-3,

所以一3WaW-2.

9.B对于选项A,y=e，为增函数，y=-%为减函数，故y=为减函数，

对于选项B,y'=3x2>0,故、=炉为增函数，

对于选项C,函数的定义域为(0,+切)，不为R,

对于选项D,函数y=|%|为偶函数，在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

10.A

对于A,函数y=SE在［―1,+8)上为增函数，符合要求；对于B,函数y=(x—l)2在(0,1)上

为减函数，不符合要求；对于C,函数y=2一在R上是减函数，不符合要求；对于D,函数y=

logo,5。+1)在(-1,+8)上为减函数，不符合要求.

11.B由f(1)=B，得小=3，解得。=［或。=一,(舍去)，即f(X)=.由于y=12%—

41在(-8,2］上递减，在2+8)上递增，所以/(%)在(-8,2］上递增，在2+8)上递减.

12.A函数f(%)=4x2-mx4-5的增区间是信+8),由/(%)在［-2,+8)上是增函数，得装4一2,

所以m<—16.

故/(I)=4—m+5=9—m>9+16=25.

13.A对任意％L%2WR(%iH外)，不等式-f(%2)K>[g(%i)-9(工2)]2恒成立，不妨设

%2,/(%)单调递增,

所以f(%1)-f(%2)>9(%1)-。(%2)，且f(%1)-f(%2)>一gOl)+。(%2)，

因为FQi)=/(%1)+F(%2)=f(%2)+0(>2)，

所以

F01）-尸（%2）=/（X1）+。（无1）-/（x2）-。（尤2）

=/Ui）-y（无2）-g（%2）-g3）

>0,

所以F（无）为增函数；同理可证G（x）为增函数.

14.A对于A：y=V^TI,在[-1,+8）上为增函数，

对于B：y=0—1）2在[1,+8）上为增函数，在（—叫1）上为减函数，

对于C：y=|无一2|在[2,+8）上为增函数，在（-8,2）上为减函数，

对于D：y=-久+1在R上为减函数.

15.B

由函数f（x）为R上的偶函数知，只需考察/（x）在（0,+8）上的单调性，在（3,+8）上为增函数，在

[1,2]上为减函数，则只需函数丫=%2+£^+2的对称轴刀=—^€[2,3],故ae[—6,—4].

16.D

17.C

18.BA中，函数在（1,+8）上为减函数，C中，函数在（1,+8）上为减函数，D中，函数在（1,+8）

上为减函数.

e

19.A对于函数）7=2，令y=/（%）=2，任取x2（0>+°°）>且/<%2，则FAi）—/'（七）=

^_j_（x-x）fe+x）即/%）>/（上）,所以函数y=5在区间（0，+8）上单调递减，同理可得

JC-IX?=2JC1-IX?1>0>JC

函数y=2在区间（—8,0）上单调递增；易知函数y=i在区间（一8,0）和（0,+8）上都单调递减.

20.D

由a+b<0得a4—bfb4-a.

因为f（%）在（-8,+00）上是减函数，

所以匕），/（6）>/（-«）,

所以/（a）+f（b）>/（—a）+f（—b）.

21.D由题意得，函数f（%）的定义域是{%|%W0},

因为是其定义域的子集，

所以［m,n\G(-8,0)或(0,+8).

因为/(%)=(1+£)—亳在［m,n］上是增函数，

所以由条件得匕黑=m，则m,n是方程f(x)=x的同号相异的实数根,

lf(n)=n,

即m,n是方程(ax)2-(a2+a)x+1=0同号相异的实数根.

mi、i1、八,2

丹T以m72=F>0,m+n=—a+—a=——a+1,

azaza

则J=(a2+a)2—4a2>o,解得a>1或a<—3.

所以

n—m=［(jt+m)2—4mn

所以n—m的最大值为手，止匕时§=］，解得a=3,

即在区间［m,n］的最大长度为竽时，a的值是3.

第二部分

22.(0,+8)

函数的对称轴为％=-1,又无＞0,

所以函数/(%)的单调增区间为(0,+8).

23.-3

由题意知aV0,又当上=—1,所以CL=—3.

2a

24.(-2,3)

y=f(x)+3的图象可由y=/(无)的图象向上平移3个单位长度而得，观察图象可得函数y=f(无)+

3的单调增区间为(—2,3).

25.①②④

由函数单调性的定义可知，若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数，则%与/-(%!)-/(%2)同

号，由此可知，①②④正确；对于③，若*1<犯，可有％i=a或％2=b，即/'(xj=/(a)或/(到)=

f(b),故③不成立.

26.[1,+8)

/■(%)在(2,+8)上为增函数，在(—8,2)上也为增函数，而无<2时，/(X)=2x-1<3,故当无=2

时，f(2)>3,即3a23,所以a21.

27.g+8)

设％1>%2>-2，则>/(%2)，

而

7k17

八"巧+2X2+2

2a%i+%2—2a%2—

(%1+2)(%2+2)

_(必一%2)(2.1)

(X1+2)(%2+2)

>0,

由％1—％2>。，％i+2>0,%2+2>0,知2a—1>0,

所以

28.1

y=2-尤2在(一8,0)上为增函数，y=公+2%在(一8,0)上不单调，y='在(一8,0)上为增

函数，丫=六在(-8,0)上为减函数，所以在区间(-8,0)上是减函数的有1个.

29.②③

根据单调性的定义，结合函数图象分析.

30.①②④

因为对于任意xeR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，

令x=—2,则/⑵=/(—2)+/⑵，得/(—2)=0,故①正确；

由(1)知/⑵=f(-2)=0,

所以/'(久+4)=y(x),即f(无)周期为4,

又因为f(x)是R上的偶函数,

所以/'(久+4)=/'(—%),而八%)周期为4,

则/(X+4)=/(-4+x),/(-X)=/(-%-4),

所以f(-4-x)=f(-4+x),

所以直线x=-4是函数y=f(x)的图象的一条对称轴，即②正确;

当与,比2e［0,2］且7物时，有‘%)-"一)<0,

X1-X2

所以函数y=/(%)在［0,2］上为减函数，而f(x)周期为4,

所以函数y=/(x)在［4,6］上为减函数，故③错误；

④八无)为偶函数，周期为4,在［0,2］上为减函数，f(2)=0,

作出函数f。)在(-8,6］上的大致图象如图所示.

-8-7-6-5^-3-2-101234567x

则y=f(x)函数在(一8,6］上有四个零点，故④正确.

故答案为①②④.

第三部分

31.(1)设x<0,贝1J—x>0,

所以/(—%)=—(―%)2+2(—x)=—X2—2%.

又为奇函数，

所以f(—x)=-f(x).

于是x<0时，/(%)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.

(2)要使f(x)在［―l,a—2］上单调递增，结合f(x)的图象知［a-5>-1

I。一ZS1,

解得1<aW3,故实数a的取值范围是(1,3］.

32.当％—2NO,即％之2时,

y=(%—2)(%+1)

=x2—x—2

.T)29

--

当％—2V0,即xV2时,

y=-(%-2)(%+1)

=—x2+%+2

,+2.

=-")4

2

_9x>2,

所以y=

7)七，x<2,

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出（如下图所示），

其中（_8,#[2,+8）是函数的单调增区间；&2）是函数的单调减区间.

33.