2019-2020学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2019-2020学年山东省青岛市市北区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共8小题，每小题3分）.

1.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）

2.如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形

相似的是（）

3.下列说法正确的是（）

A.连续掷一枚质地均匀的骰子100次，其中掷出5点的次数最少，则第101次一定出5

点

B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张这种彩票，一定会中奖

C.天气预报说明天下雨的概率是50%,所以明天将有一半的时间在下雨

D.任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

4.用配方法解方程：x2-4A+2=0,下列配方正确的是（）

A.（x-2）2=2B.（x+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（%-2）2=6

5.某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（）

C.IOOOTTCTM3D.2000TTC/M3

6.如图，小正方形的边长均为1,A、B、C分别是小正方形的三个顶点，则sinZBAC的值

7.如图，在直角坐标系中，矩形0ABe的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y

轴上，如果矩形。4'B'C与矩形。4BC关于点。位似，且矩形B'C的面积

等于矩形。ABC面积吟那么点夕的坐标是（

)

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(3,-2)或(-2,3)D.(-2,3)或(2,-3)

8.二次函数（aWO）的图象如图所示,则函数>=且与y=fcv+c在同一直角坐

x

标系内的大致图象是（）

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.已知工=3，则红二的值是___.

aba-b

10.经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从

50f下降到40.53设平均每年下降的百分率是x,根据题意可得方程.

11.如图，如果AB〃所〃DC,AB=60,DC=20,那么EP=.

A

13.如图，在正方形纸片ABC。中，对角线AC、BD交于点、O,折叠正方形纸片ABC。，

使AO落在8。上，点A恰好与8。上的点尸重合，展开后折痕分别交AB、AC于点

E、G,连接GF.下列结论①/ADG=22.5°；②tan/AE£>=2；③SWO.KBEGF=SAGDF；

@BE=2OG；⑤四边形AEEG是菱形.其中正确的结论有

14.在一条直线上，按如图所示的规律放置若干♦与O,组成图案：•。••。•••。・

•••O…，当图案恰好以O收尾，且图案中♦的个数是2278时，则该图案中•与。的

个数之和是.

三、作图题(本题满分4分)

15.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

如图，已知线段a和/0.

求作：菱形ABC。，使它的内角对角线AC=a.

四、解答题(本题满分74分，共有8道小题)

16.解方程：

(1)3/+10%-8=0；

(2)2(%-3)2=x2-9.

17.小明和小刚做摸纸牌游戏.如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3,

将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏.当两张牌的牌面数字

之积为奇数，小明得2分，否则小刚得1分.这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

18.一副直角三角板如图放置，点C在尸。的延长线上，AB//CF,ZF=ZACB^9Q0,Z

E=45°,ZA=60°,AC=10,试求CD的长.

19.某医药研究所开发一种新药，据监测，一般成人服药后，如图，6小时内其血液中含药

量y（微克/毫升），与时间x（小时）的关系，可近似地用二次函数y=-&2+2x刻画，

4

k

6小时后（包括6小时），y与x的关系可近似地用反比例函数（%>0）刻画.

x

（1）求反比例函数y=M（%>0）的关系式；

x

.7

（2）据测定，每毫升血液中的含药量不少于<微克时，治疗疾病有效，请核算服用这种

4

药一次大概能维持多长的有效时间.

20.如图，在△ABC中，AB=AC,在BC上任取一点D,以42、8。为邻边构造平行四边

形ABDE,连接CE.

（1）求证：丝△口!£■；

（2）当点。在边BC的什么位置时，四边形AOCE是矩形？证明你的结论.

21.某名贵树木种植公司计划从甲、乙两个品种中选择一个种植并销售，市场预测每年产销

x棵.已知两个品种的有关信息如下表：

品种每棵售价（万元）每棵成本（万元）每年其他费用（万元）预测每年最大销量

（棵）

甲6a20200

乙201040+0.05%280

其中a为常数，且3WaW5.设销售甲、乙两个品种的年利润分别为?万元、以万元.

(1)》与x的函数关系式为；/与x的函数关系式

为.

(2)分别求出销售这两个品种的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择种植哪个品种？请说明理由.

22.如图1,点C将线段分成两部分，如果磐=整，那么称点C为线段的黄金分

ABAC

割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似

地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成没有缝隙互不重叠的两

部分，这两部分的面积分别为&、Sz,如果」=浩，那么称直线为该图形的黄金分割

SS1

线.

(1)如图2,在△ABC中，NA=36。，AB^AC,NC的平分线交AB于点O,请问点

D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

(2)若AABC在(1)的条件下，如图3,请问直线C。是不是AABC的黄金分割线，

并证明你的结论；

(3)如图4,点E是平行四边形ABCO的边AB的黄金分割点，过点E作跖平行AZ),

交DC于点F,易知直线是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条不同于直线

EE的黄金分割线.(用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹)

23.(16分)如图，已知：在矩形中，AB=6cm,BC=8cm,点、P从点、B出发,沿

BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点尸同时，点。从。点出发，沿D4方向匀速运动，

速度为lon/s；过点。作。E〃AC,交DC于点E.设运动时间为f(s),(0<t<4),

解答下列问题：

（1）在运动过程中，是否存在某一时刻3使尸。平分/APC?若存在，求出f的值；若

不存在，请说明理由；

（2）设五边形APCEQ的面积为》求y与，的函数关系式；

（3）当。<,<:时，是否存在某一时刻f,使△PQE是直角三角形？若存在，求出f的

O

值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）

解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；

B,两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；

C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确.

D,图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错

、口

庆；

故选：C.

2.如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形

相似的是（）

解：4阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义,

符合题意；

8、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，

不符合题意；

C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定

义，不符合题意；

D,阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定

义，不符合题意;

故选：A.

3.下列说法正确的是()

A.连续掷一枚质地均匀的骰子100次，其中掷出5点的次数最少，则第101次一定出5

点

B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张这种彩票，一定会中奖

C.天气预报说明天下雨的概率是50%,所以明天将有一半的时间在下雨

D.任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

解：A.连续掷一枚质地均匀的骰子100次，虽然掷出5点的次数最少，但第101次时,

出现各个点数的可能性还是均等的，因此选项A不符合题意；

B.某种彩票中奖的概率是1%,即中奖的可能性为1%,因此买100张这种彩票，也不

一定会中奖，因此选项8不符合题意；

C.天气预报说明天下雨的概率是50%,说明明天下雨的可能性是50%,并不是将有一

半的时间在下雨，因此选项C不符合题意；

D.任意抛掷一枚图钉，由于钉尖、钉帽的形状和质量不均等，因此钉尖触地和钉尖朝

上的概率不相等，所以选项。符合题意，

故选：D.

4.用配方法解方程：x2-4.r+2=0,下列配方正确的是()

A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(x-2)2=-2D.(%-2)2=6

解：把方程无2-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4.r=-2,

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=-2+4,

配方得(X-2)2=2.

故选：A.

5.某商品的外包装盒的三视图如图所示,则这个包装盒的体积是()

上口O

主视图左视图俯视图

A.200ncm3B.500ncm3C.lOOOircm3D.2000ncm3

解：根据图示，可得

商品的外包装盒是底面直径是10。"，高是20cm的圆柱，

•••这个包装盒的体积是：

-rtX(104-2)2X20

=TTX25X20

=500TT(CITI3).

故选：B.

6.如图，小正方形的边长均为1,A、B、C分别是小正方形的三个顶点，则sin/BAC的值

为()

A4B.唱C.1

D.M

解：连接BC,如图：

..•每个小正方形的边长均为1,

:.AB=^22+12=4S>BC=A/22+12=V5-AC=732+]2=/10>

,：AB2+BC2=AC2,

：.AABC是直角三角形，

sin/8AC=K=*r=返，

ACV102

故选：B.

一

7.如图，在直角坐标系中，矩形0ABe的顶点O在坐标原点,边。4在无轴上，OC在y

轴上，如果矩形B'C与矩形0ABe关于点0位似，且矩形。4'B'。的面积

等于矩形。A5C面积畤那么点B，的坐标是()

51----------6

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(3,-2)或(-2,3)D.(-2,3)或(2,-3)

解：：矩形。4'B'C与矩形。ABC关于点。位似，

矩形OA'B'Cs矩形OABC,

•.•矩形OA，B'C的面积等于矩形OABC面积的义，

4

...位似比为：1：2,

:点3的坐标为(-4,6),

...点二的坐标是：(-2,3)或(2,-3).

故选：D.

8.二次函数y=ox2+fox+c(aWO)的图象如图所示，则函数>=且■与y=bx+c在同一直角坐

x

标系内的大致图象是()

解：•二次函数y=G；2+bx+c(aWO)的图象开口向下,

•••对称轴经过X的负半轴,

：.a,b同号,

图象经过y轴的正半轴，则c>0,

•・,函数y=包，a<0,

x

・・・图象经过二、四象限，

y=bx+c,Z?<0,c>0,

・・・图象经过一、二、四象限，

故选：B.

二、填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)

9.已知工=金，则红"的值是5.

aba-b

解：V—=-J-,

ab

:・a=2b,

.2a+b=2・2b+b

—a-b2b-b

故答案为：5.

10.经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从

50/下降到40.5/,设平均每年下降的百分率是x,根据题意可得方程50(1-X)2=40.5.

解：设平均每年下降的百分率是x,

根据题意得50(1-x)2=40.5,

故答案为：50(17)』40.5.

11.如图，如果尸〃DC,AB=60,DC=20,那么EF=15.

解：-：EF//AB,

:.ACEFSACAB,

"•A里B0CB①

,JEF//CD,

:.△BEFsgDC,

・嗡嗡②，

①+②得票喏j

,.x•瓦=J诂_伺1=领X与1

：.EF=15；

故答案为：15.

12.已知二次函数产加+6无+c中，函数y与自变量X的部分对应值如表所示:

X-10123…

y•••105212.・・

则当x=4时，y的值是5,当y<10时，x的取值范围是T<x<5

解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=-2,抛物线的开口向上，

V(0,5)关于对称轴的对称点是(4,5),(-1,10)关于对称轴的对称点是(5,

10),

；.x=4时，y=5,y<10时，x的取值范围为-l<x<5.

故答案为5,-l<x<5.

13.如图，在正方形纸片A3CD中，对角线AC、8。交于点。，折叠正方形纸片ABC。，

使AD落在8。上，点A恰好与BD上的点尸重合，展开后折痕DE分别交48、AC于点

E、G,连接GF.下列结论①/ADG=22.5°；②tan/AE£)=2；③SWO.KBEGF=SAGDF；

@BE=2OG；⑤四边形AEEG是菱形.其中正确的结论有①③④⑤.

解：,••折叠正方形纸片ABC。，使A。落在8。上,

：.ZADG=ZGDF=22.5°,故①正确；

设AE=x,则BE=®x,

.\AD=AB=(1+V2)%,

tanZAED=^-=l-h/2,故②错误；

AE

VZ£>AG=45°,

AZAGE=ZAEG=61.5°,

.\AE=AG=x,

：.OG=^X,

2

:.BE=2OG,故④正确；

：SAGOF制DFXOG，

&BE»=/BExAD，

RAD=DF,BE=2OG,

S/\BED=2Sz\GDF，

•,*s四边形BEGF=SAGDF,故③正确；

VA£=AG,

1.AG=FG,AE=FE,

：.AE^AG^FE=FG,

四边形AEPG是菱形，故⑤正确；

故答案为：①③④⑤.

14.在一条直线上，按如图所示的规律放置若干♦与O,组成图案：

•••O…，当图案恰好以O收尾，且图案中♦的个数是2278时，则该图案中•与。的

个数之和是2345.

解：设该图案中有x个。，

则有l+2+3+-+x=x（x；l）个・,

依题意得，里铲-=2278,

整理得，x2+x-4556=0,

解得，xi=-68（舍去），愈=67,

...该图案中•与。的个数之和是：67+2278=2345,

故答案为：2345.

三、作图题（本题满分4分）

15.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

如图，已知线段。和/仇

求作：菱形4BCD,使它的内角44=/由对角线AC=a.

四、解答题(本题满分74分，共有8道小题)

16.解方程：

(1)3x2+10x-8=0；

(2)2(x-3)2=/-9.

解：(1)V3x2+10x-8=0,

(x+4)(3x-2)=0,

则x+4=0或3x-2=0,

9

解得Xl=-4,X2=—；

o

(2)*.*2(x-3)2=/一9,

：.2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,

则(x-3)(x-9)=0,

Ax-3=0或％-9=0,

解得处=3,尤2=9.

17.小明和小刚做摸纸牌游戏.如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3,

将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏.当两张牌的牌面数字

之积为奇数，小明得2分，否则小刚得1分.这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

解：根据题意，画出树状图如图:

一共有4种情况，积是偶数的有3种情况，积是奇数的有1种情况,

所以，P（小明胜）=4x2=^-,

42

P（小刚胜）=43x1=43，

44

这个游戏对双方不公平.

积4669

18.一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，AB//CF,ZF=ZACB=90°,Z

E=45°,NA=60°,AC=10,试求CD的长.

过点B作BMLFD于点M,

在AACB中，NACB=90°,ZA=60°,AC=10,

ZABC=30°,BC=AC,tan60°=10V§，

•：AB//CF,：.ZBCM=ZABC=30°.

BM=BC*sin30°=1（），RX-^-=

CM=BC-cos30°=10«X浮=15,

在中，ZF=90°,ZE=45°,

；.NEDF=45°,

：.MD=BM=5-/j,

：.CD=CM-MD=15-5代.

19.某医药研究所开发一种新药，据监测，一般成人服药后，如图，6小时内其血液中含药

量y（微克/毫升），与时间无（小时）的关系，可近似地用二次函数y=-±2+2x刻画，

4

k___

6小时后（包括6小时），y与x的关系可近似地用反比例函数丫=2（心>0）刻画.

x

（1）求反比例函数丫=X（笈>0）的关系式；

X

7

（2）据测定，每毫升血液中的含药量不少于:微克时，治疗疾病有效，请核算服用这种

4

..•点（6,3）在反比例函数y='的图象上,

X

・•・左=18,

反比例函数y=K*>0）的关系式为丫=地；

XX

771

(2)当丁=丁时，—=--x2+2x,

444

解得：即=1,忿=7>6（舍去），

T时，产

44x

解得：X=—^~,

72]_65/[口』、

-]=~^(小时)，

答：服用这种药一次大概能维持的有效时间为6爷5小时.

20.如图，在△ABC中，AB=AC,在BC上任取一点。，以A3、为邻边构造平行四边

ABDE,连接CE.

(1)求证：AABD咨ACAE；

(2)当点。在边BC的什么位置时，四边形AOCE是矩形？证明你的结论.

ZB=ZACB,

•；四边形ABDE是平行四边形，

：.AE=BD,AE//BC,

：.ZEAC=ZACB,

：.ZB=ZEAC,

在△ABO和△CAE中，

'AB=AC

<ZB=ZEAC,

BD=AE

AABD^ACAE(SAS).

(2)答：点。在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形,

解：•••四边形ABDE是平行四边形，

：.AE=BD,AE//BC,

为边长BC的中点，

：.BD=CD,

：.AE=CD,AE//CD,

四边形ADCE是平行四边形，

AADC^/\ECD,

：.AC=DE,

.••四边形AOCE是矩形，

即点。在BC的中点上时，四边形AOCE是矩形.

21.某名贵树木种植公司计划从甲、乙两个品种中选择一个种植并销售，市场预测每年产销

x棵.已知两个品种的有关信息如下表：

品种每棵售价(万元)每棵成本(万元)每年其他费用(万元)预测每年最大销量

(棵)

甲6a20200

乙201040+0.05%280

其中。为常数，且3WaW5.设销售甲、乙两个品种的年利润分别为以万元、/万元.

(1)”与x的函数关系式为yi=(6-a)x-20,(0<xW200)；”与x的函数关

系式为丫2=-。.05工2+1。犬-40.(0〈启8。)..

(2)分别求出销售这两个品种的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择种植哪个品种？请说明理由.

解：(1)力=(6-a)x-20,(0<xW200)

yi=10x-40-0.05x2=-O.OS^+lOx-40.(0<xW80).

故答案为：％=(6-a)尤-20,(0<xW200)；”=-0.05d+10；(；-40.(0<xW80)；

(2)对于yi=(6-a)x-20,

V6-a>0,

.,.x=200时，yi的值最大=(1180-200<7)万元.

对于>2=-0.05(.x-100)2+460,

V0<x^80,

；.x=80时，/最大值=440万元.

(3)©1180-200a=440,解得a=3.7,

@1180-200a>440,解得a<3.7,

(3)1180-200a<440,解得a>3.7,

：3WaW5,

.•.当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同.

当3/。<3.7时，生产甲产品利润比较高.

当3.7<aW5时，生产乙产品利润比较高.

22.如图1,点C将线段AB分成两部分，如果黑=黑，那么称点C为线段的黄金分

ABAC

割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似

地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成没有缝隙互不重叠的两

部分，这两部分的面积分别为邑、S2,如果」=好，那么称直线为该图形的黄金分割

sS1

线.

（1）如图2,在3c中，ZA=36°,AB=AC,/C的平分线交A3于点D,请问点

。是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若AABC在（1）的条件下，如图3,请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，

并证明你的结论；

（3）如图4,点£是平行四边形ABCD的边A3的黄金分割点，过点£作所平行AD,

交DC于点F,易知直线EP是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条不同于直线

EF的黄金分割线.（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

解：（1）点。是边上的黄金分割点.理由如下：

,：AB=AC,ZA=36°,

:./B=/ACB=T2°.

：CD是角平分线，

AZACD=ZBCD=36°,

ZA=ZACD,

：.AD=CD.

VZCDB=180°-/B-/BCD=12°,

：.ZCDB=ZB,

：.BC=CD.

：.BC=AD.

在△BCD与△BCA中，NB=/B,ZBCD=ZA=36°,

：./\BCD^ABAC,

.BC=BD

,,晟一而‘

.AD=BD

"AB-AD'

...点。是AB边上的黄金分割点.

(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下：

设△A8C中，4B边上的高为〃，贝！］SAABC得AB”,S^BCD得BD・h.

•9•S^ACD：SAABC=AD：AB,SABCD：S^ACD—BD：AD.

由(1)知，点。是AB边上的黄金分割点，瞿=塔，

ABAD

•'•5AACD：SAABC=S&BCD：SAACD,

：.CD是AABC的黄金分割线.

(3)画法不唯一，现提供两种画法；

画法一：如答图1,取EP的中点G,再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,

则直线就是平行四边形ABCD的黄金分割线.

画法二：如答图2,在DP上取一点N,连接EN,再过点P作FM〃NE交A3于点

连接MN,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.

DN_F_r,D^F

ZE7ZI7B

AEMBAEM

23.（16分）如图，已知：在矩形ABC。中,AB=6cm,BC=8cm,点、P从点B出发，沿

BC方向匀速运动，速度为25加；与点P同时，点。从。点出发，沿D4方向匀速运动,

速度为lon/s；过点。作。E〃AC,交DC于点、E.设运动时间为f(s),(0<Z<4),

解答下列问题：

(1)在运动过程中，是否存在某一时刻3使尸。平分/APC?若存在，求出/的值；若

不存在，请说明理由；

(2)设五边形APCEQ的面积为y,求y与f的函数关系式；

(3)当卷时，是否存在某一时刻f,使△PQE是直角三角形？若存在，求出f的

O

值；若不存在，请说明理由.

解：(1)如图1,当尸。平分NAPC,则有NAPQ=/CPQ,

'矩