高中数学选择性必修第一册综合练习（原卷版）附答案

专题12选择性必修第一册综合练习

一、选择题

1.已知X、ywR,则“a=l”是“直线or+y-1=0与直线X+取+1=0平行”的（）。

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件

2.己知。=3加一2〃一4PH0,b=（x+l）m+8〃+2yp,且〃z、n、p不共面，若则x+y=（）。

A、-13

B、-5

C、8

D、13

3.双曲线f一〃2y2=i的实轴长是虚轴长的2倍，则加=（）。

A.1

4

B、1

2

C、2

D、4

4.给定下列命题：①若。是平面a的斜线，直线。垂直于。在a内的射影，则a_Lb；②若。是平面a的斜

线，平面。内的一条直线力垂直于。在a内的射影，则〃，力；③若。是平面a的斜线,hua,且人垂直于。在

另一个平面内的射影，则。_Lb；④若。是平面a的斜线,。ua,且匕垂直于。在a内的射影，则其中,

正确的个数是（）。

A、0

B、1

C、2

D、3

22

5.已知抛物线产=之石），的焦点与双曲线工+匕=l（aeR）的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程

a4

为（）。

A、y=±—x

4

B、y=±—x

2

C>y=±2x

D>y=±4x

6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-4旦CQ中,M和N分别为片片和BB,的中点，那么直线AM与

CN所成角的余弦值是（）。

出

A、

~2

叵

B、

lo-

3

C、

5

2

D、

5

7.已知直线/：x+政一1=0（Q£R）是圆C：/+｝；2一4工一2丁+1=0的对称轴,过点4«〃）作圆C的一

条切线，切点为5,则|AB|=（）o

A、2

B、472

C、6

D、2M

8.如图所示，二面角的棱上有A、5两点，直线AC、8D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于

AB,已知48=4,4。=6,3。=8,8=2旧,则该二面角的大小为（）。

A、30°

B、45°

C、60°

D、90°

9.如图所示，空间四边形43co中,£、尸分别为AC、中点，若CD=2A3=2,£F_LA3,则所与CO

所成的角为（）。

A、30°

B、45c

C、60°

D、90°

10.已知。为坐标原点，尸是椭圆C：=1（。＞匕＞0）的左焦点,A、8分别为椭圆C的左、右顶

点,P为椭圆C上一点，且尸产_Lx轴。过点A的直线/与线段P厂交于点与y轴交于点若直线

2

8M经过OE的中点，则椭圆C的离心率为()。

A、1

3

B、！

2

C、-

3

D、2

4

22

11.已知双曲线二-二=1(。＞0,。＞0),过其左焦点F作X轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的

ab

右顶点在以A5为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()。

A、(1,|)

B、(1,2)

C、(―,+co)

D、(2,+oo)

12.如图，在三棱柱ABC-AB©中，侧棱A4,_L底面,ABAC=90°,AB=AC==1,。是棱CC】的

中点,P是AO的延长线与4G的延长线的交点。若点。在直线上,则下列结论正确的是()。

A、当点。为线段与P的中点时,。QJ•平面

B、当点。为线段B|P的三等分点时,。Q_L平面4也5

C、在线段与P的延长线上，存在一点。，使得DQ1平面&BD

D、不存在点。，使OQ与平面垂直

二、填空题

13.已知直线/：x—y+l=0与圆C：/+y2-4x-2y+I=0交于A、3两点，则|AB|=

14.设抛物线C：产=2*(2＞0)的焦点为产，准线为/，点A为抛物线C上一点，以f为圆心,E4为半径的

圆交/于3、。两点，若=的面积为2方,则p=

15.如图，直三棱柱ABC-4gG中，则棱长为2,AC=BC=1,ZACB=90°,。是A©的中点，下是8名上的

动点,DF交于点E。要使AB】_L平面G。/,则线段与F的长为—。

3

16.已知广、心是双曲线「一当=1(4>0,8>0)的左、右焦点，过K作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为

ab

点A,交另一条渐近线于点8,且4马=g,则该双曲线的离心率为一。

三、解答题

22

17.(10分)已知椭圆C：0+当=1(。>6>0)的四个顶点组成的四边形的面积为20,且经过点

ab

(1,—)«过椭圆右焦点F作直线/与椭圆C交于A、8两点。

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若。4,03,求直线，的方程。

18.(12分)如图,四边形A3CO为正方形,E、F分别为A。、3c的中点。以。尸为折痕把ADFC折起,

使点C到达P的位置，且J_8产。

(1)证明：平面尸所，平面ABED；

(2)求OP与平面ABFD所成角的正弦值。

4

19.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，%)是椭圆C：土+匕=1上的一点,从原点。向

圆R：。-*0)2+0-%)2=8作两条切线,分别交椭圆于点2、。。

(1)若R点在第一象限，且直线OP、0Q相互垂直，求圆R的方程；

(2)若直线0P、。。的斜率存在,并记为《、与，求的值。

5

20.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中,AB=BC=2jI,B4=P8=PC=AC=4,O为AC的中点。

(1)证明：POJ•平面A5C：

(2)若点M在棱上，且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面R4M所成角的正弦值。

6

JT

21.（12分）如图甲，直角梯形A3CO中，A3〃CO,ZDA8=—，点M、N分别在A3、CO上，且

2

MN±AB,MC1CB,BC=2,MB=4，现将梯形ABC。沿MN折起,使平面AMNO与平面MNC5垂直（如

图乙）。

⑴求证：AB/mDNC-.

⑵当DN的长为何值时，二面角。—5C—N的大小为30°?

乙

7

22/y

22.(12分)已知椭圆C：鼻+表■=1(。＞匕＞0)的离心率为与，且过点(0,1)。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P(2,0)且不垂直于y轴的直线/与椭圆C相交于A、8两点，若5点关于x轴的对称点为E,证明直

线AE1与x轴相交于定点。

专题12选择性必修第一册综合练习

一、选择题

1.已知X、yeR,则“a=l”是“直线or+y-1=0与直线x+to，+l=O平行”的()。

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

【参考答案】C

【解析】若直线以+〉一1=0与直线x+到+1=0平行，则有/=1,即4=±1,

8

且'4a=—\时，两直线重合，舍去,「・a=1,

即a=l是直线"+y-1=0与直线x+a），+l=O平行的充要条件，故选C。

-*—*—♦—»——.-*■»—»—*―

2.已知。=3加一2"一42w0/=（x+l）机+8〃+2yp,且〃？、〃、p不共面，若。〃氏则x+）=（）。

A、-13B、-5C、8D、13

【参考答案】B

【解析】:且〃%=入白，即（%+1）机+8"+2yp=3入加一2九〃一4九p,

又了、/%不共面,；.U=V=§，则x=T3,y=8,故选B。

3.双曲线一一机）,2=i的实轴长是虚轴长的2倍，则机=（）。

A、—B、一C、2D、4

42

【参考答案】D

［解析】^-my2=\可化为/一g=1,则/=1方=_1,实轴长是虚轴长的2倍，

1m

m

cc4

...加=2x%,即.即。2=462,即1=—,二.m=4,故选口。

m

4.给定下列命题：①若a是平面a的斜线，直线b垂直于a在a内的射影，则②若a是平面a的斜

线，平面0内的一条直线6垂直于a在a内的射影，则aJ_8；③若a是平面a的斜线4ua,且b垂直于a在

另一个平面内的射影，则a_L人；④若a是平面a的斜线,。ua,且b垂直于。在a内的射影，则其中,

正确的个数是（）o

A、0B、1C、2D、3

【参考答案】B

【解析】①6必须在a内才满足，错，

②〃必须在a内,不能在0内，错，

③b应垂直于a在a内的射影，错,则④对，故选B。

5.已知抛物线一=-4岔y的焦点与双曲线上+—=l（aeR）的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程

a4

为

（）°

A、y=±:xB、y=C、y=±2xD、y=±4x

【参考答案】C

22

【解析】抛物线后y的焦点（0,-石），则双曲线三+匕=l（aeR）的一个焦点为（0,-括），

a4

9

则。＜0,焦点在y轴上，且=。+4=5,则a=-l,双曲线的方程为2-一』=1,

4

其渐近线方程为y=±2x,故选C»

6.如图所示，在棱长为1的正方体ABC。-AgGA中,以和N分别为A"和BBi的中点，那么直线AM与

CN所成角的余弦值是()。

出Vio

A、B、

~T~io-

32

C、D、

55

【参考答案】D

【解析】如图，将AM平移到B.E,CN平移到B7,

则NEB7为直线AM与CN所成角，棱长为1,

7.已知直线/：x+少一I=O(aeR)是圆C：/+/-4工-2二1=0的对称轴,过点4(-4,a)作圆C的一

条切线，切点为3,则|钻1=()。

A、2B、4A/2C、6D、2VHi

【参考答案】C

(解析］圆C的标准方程为(x-2K+(y-1产=4,圆心C(2,l)，半径为r=2.

•:直线/是圆C的对称轴,二圆心C(2,l)在直线/：x+ay-l=0±JU=-l.

/./：彳一丁一1=0,过点4(-4,-1)作圆。的一条切线,切点为8.

则AABC为Rtb.NABC=90°.

则|AB\=J|AC|2-|BC|2=2)2+㈠-1)2—4=底=6，故选C。

8.如图所示，二面角的棱上有A、8两点，直线AC、8。分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于

A3,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2)万，则该二面角的大小为()。

A、30°B、45°

C、60°D、90°

【参考答案】C

【解析】由条件知曰•而=0.而•前=0,而=曰+诟+而,

10

..........

ICDI2=|CA|2+1AB\L+\BD'i+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2x6x8cos<C4,BD>=(2Vn)2,

...cos<G4,BD>--,,即<CA^BD>=120°，，二面角的大小为60°,故选C。

2

9.如图所示，空间四边形ABCO中,E、F分别为AC、中点，若CO=2AB=2,E尸，⑷3,则成与CO

所成的角为（）。

A、30°

B、45°

C、60°

D,90°

【参考答案】A

【解析】取中点G,连接EG、FG「；E、F分别为AC、BQ中点,

EG//CD,且EG=-CD=\.尸6〃AB,且FG=-AB=~,

222

EF±AB.AB//FG,：.EFLFGJ；EGIICDS.NGE尸是EF与CD所成的角,

在RtAEFG中，,:EG=1,FG=LEFLFG,：.NGEF=30°,

2

即Eb与CO所成的角为30°,故选A。

10.已知。为坐标原点，尸是椭圆C：++斗=1（。>/?>0）的左焦点,A、8分别为椭圆C的左、右顶

ab

点,P为椭圆C上一点，且P尸，尤轴。过点A的直线/与线段尸尸交于点M,与y轴交于点E。若直线8M

经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（）。

1123

A、一B、一C、一D、一

3234

【参考答案】A

［解析】作图曲题意得4一。,0）、8（a,0）、F（-c,0）,

设E(0,m)，由PFHOE得小妇=上"]，则|MF\=皿")①

\OE\\AO\a

又由OE//MF狷21竺!=侬!，则।MF\=血°+C[②

\MF\|BF|2a

1c1

由①②得a-c=—(a+c),即。=3。,则6=—=—,故选A。

2a3

11.已知双曲线二-与=1（4>0,方>0）,过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、8两点，若双曲线的

ab

11

右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）。

3

A、（1,-）B、（1,2）C、(-,+oo)D、(2,+oo)

2

【参考答案】B

,2

【解析】以为直径的圆的半径为r=.，

a

双曲线的右顶点C（a,0）到以A5为直径的圆的圆心F（-c,0）的距离为d=a+c.

则a+c>—，化筒得a2+ac>b2=c2-a2,

a

令a=1,则e=c,则1+e>e?-1.

即e2-e-2<0.(e-2)(e+])<0,

即-l<e<2,乂e>1,则1<e<2,故选B。

12.如图，在三棱柱ABC-AB©中，侧棱A4,±底面AAG，NBAC=90°,A3=AC=441=1,。是棱CC｛的

中点,P是AO的延长线与AG的延长线的交点。若点。在直线gP上,则下列结论正确的是（）。

A、当点Q为线段BE的中点时,。。，平面

B、当点。为线段81P的三等分点时,OQ_L平面A8O

C、在线段男尸的延长线上，存在一点。，使得OQ_L平面

D、不存在点。，使DQ与平面4瓦）垂直

【参考答案】D

【解析】以A为原点,AM、4G、4A为x轴、y轴、z轴建系,

由已知可得A(0,0,0),B](1,0,0).8(1,0,1).D(O,l,g),P(0,2,0),

则46=(1,0,1),丽=(0,1,g).庭=(-1,2,0).西

n-A1B=x+z=0

设平面A3。的法向量为"=(x,y,z),则.-----।

n-\D=y+—z=0

取z=-2,则x=2,y=l,则1=（2,1,-2）,

设在直线MP上存在一点Q，使得DQ，平面^BD,

设则。（西,必，马）,且丽=入庭=入（一1,2,0）=（—九,2九,0）,

8]Q=（X]-1,M，Z1）=（-A,,2Q0）,则X]=1-九，y=2九，Z]=0,

则加=（1-九,2九-1,—g）,若。。，平面A8。,则丽与7共线,

12

l-X221-1一不1

则，此时X无解，故不存在点。，使得OQ-L平面A3。，故选D。

二、填空题

13.已知直线/：x—y+l=O与圆C：x2+y2-4x-2y+l^0^A,B两点，则|45|=—。

【参考答案】2行

【解析】•••圆C的圆心C(2,l)，半径为2,圆心C到直线/：x—y+1=0的距离为d=|2~1+11=夜，

V1+1

：.\AB|=2,4-(扬2=272

14.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为/，准线为/，点A为抛物线C上一点，以F为圆心,E4为半径的

圆交/于8、。两点，若/瓯=120",AABD的面积为2石，则p=

【参考答案】1

【解析】•；ZBFD=120°,|BF|=||=|AF|=2/2,/.NBDF=/DBF=30°,

又•；|FF'\=p.：.\BF\=\DF\=\AF\=2p,\BD\=2尺,

A到准线l的距离d=|Ab|=2p,

；•SMBo=gxdx|8O|=；*2p*26p=2gp2=26，解得p=］。

15.如图，直三棱柱ABC-A禺G中,则棱长为2,AC=BC=1,ZACB=90°,Q是A用的中点,F是BBt上的

动点，他I、DF交于息E。要使J_平面G。尸，则线段与尸的长为一。

【参考答案】-

2

【解析】以G为原点,GA为A-轴,为y轴,c。为z轴，建立空间直角坐标系,

由题意A(1,0,0),(0,1,0).Z)(pp0).G(o,o,o).A(l,0,2),

设尸(0,1,t),0<t<2,

---*11-------

CtD=(-,-,0).A修=(-1,1,-2),C,F=(0,1,r),

AB.QD=0

,/AB,，平面G。/7，，｛_'_L，

AB「GE=0

13

，-2，=°,解得，.•线段叱的长为］

16.已知6、居是双曲线毛-4=l(a>0/>0)的左、右焦点，过B作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为

a~b~

点A,交另一条渐近线于点民且AB则该双曲线的离心率为

3

【参考答案】逅或石

2

【解析】(1)当正=g9时，设ZF2OA=a.则ZAOB=2a.设a=L

由题意可知Q4=a=L。8=c=e,伍=6,监=36,

b4b

则AB=Ab.tana=—=。，tan2a=—=4b,

aa

小、,门八2tana2b

代入得tan2a=-----z—=----=A4Ib,

l-tan2a1-b72

即2=4—4/,解得＞=变，贝ije=c=，/+/1^1=立,

2V22

-------1.

(2)当为A=§心8时，设/8OA=a.ZAO8=B.设a=l,

则N5OBna+p./KOBuTt-g+B),

由题意可知OA-a=\,OF2—c—e,AF2—b.BF2=3b.

1r\t

则AB=2h,tana=—=/?,tanp=—=2b,

aa

则tanZF}OB=tan[冗-(a+P)]=-tan(a+P)=tana,

/c、tana+tanB

则niltan(a+P)=----------=-tana,

1-tanatanp

代入得上±也=一8,即3=2/>2—i,解得人;行则e=c=J7万=百,

\-b-2b

故填：四或6•

2

三、解答题

22

17.(10分)己知椭圆C：［+［=1(4>〃>0)的四个顶点组成的四边形的面积为2后，且经过点

ab

(1,亭)。过椭圆右焦点/作直线/与椭圆C交于A、3两点。

(1)求椭圆C的方程；

⑵若08,求直线/的方程。

14

【解析】(1)四边形的面积为Lx2ax20=2亚，・・・"=血，

2

又点(1,冬在C：%+1=1上，则**=1.

.，.a2=2.b2=1、.,.椭圆的方程为二+y2=l：

2

(2)由(1)可知椭圆C的右焦点尸(1,0),

①当直线/无斜率时，直线/的方程为x=l.

则、8(1,—.。4_L08不成立，舍，5分

②当宜线I有斜率时，设宜线方程为将y=-X-1),

代入椭圆方程，整理得(1+2々2n2_4/x+2(k2_1)=0,A>0恒成立,

4k22伏2一1)

设%)B5,%)，则%+々=7分

T72F-X|~\+2k2

2

又y•%=炉【玛•Xj_a1+々)+1]=一k

1+2?1

04,08=＞而而=0=均・电+%・%=0,

即嚼?一昼=W=°'解得人士3'9分

则直线/的方程为：y=+V2(x-l),10分

18.(12分)如图,四边形A3CO为正方形,E、尸分别为A。、3c的中点。以。口为折痕把ADFC折起,

使点C到达P的位置，且PFA.BF.

(1)证明：平面PEE,平面ABED；

(2)求OP与平面ABF£>所成角的正弦值。

［解析】(1)证明：由题意，点E、F分别是AD、1分

•.•四边形A3C。为正方形,...EF1BC,2分

■：PFLBF、EFCPF=F,：.3尸，平面PEF.3分

15

又BFu平面ABED,.•.平面尸ERL平面ABFD；4分

(2)如图，作PH工EF,垂足为H.

由(1)得,P"_L平面ABED,以"为坐标原点，如图建系，5分

由(1)可得.DELPE,又DP=2.DE=L；.PE=6又PE=l.EF=2,

PE工PF,；.PH=旦.EH=3.则4(0,0,0),P(0,0,—).D(-l,--,0),7分

2222

DP=。，|岑)，所=(0,0,*)，又HP为平面ABED的法向量，8分

——2

设OP与平面ABED所成角为。，则sin0=|"竺|=^=—,11分

\HP\\DP\V34

...OP与平面ABED的夹角的正弦值为口。12分

4

19.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x(),此)是椭圆C：三+5=1上的一点,从原点。向

圆R：(x—x0)2+(y—%)2=8作两条切线，分别交椭圆于点P、Q。

(1)若R点在第一象限，且直线OP、OQ相互垂直，求圆R的方程；

(2)若直线OP、OQ的斜率存在,并记为《、&,求％•总的值。

22

则四边形为正方形，则OR=叵RM=4,则需+4=16,又能+"=1.2分

又点在第•象限，则％>0,%>0,解得与=20\%=2近，3分

...圆R的方程为(x-2啦)2+(y--2jI)2=8；4分

(2)设直线O尸、OQ的方程分别为y=5、y=k2x,

•.,直线OP、OQ与圆/?都相切,二—6分

ji+片

两式两边同时平方可得(ktxQ-%)2=8(1+《)，(&%—%产=8(1+M),7分

展开化简得:(君-8)片-2/y(内+(韬一8)=。,(君一8)代-2xQy0k2+(第一8)=0,8分

冗、k2可以看做关于左的一元二次方程(其-8)42一2与加：+(赤-8)=0的两个根,10分

16

则k「k,=卑R，又•.•点R(%为)在椭圆C上，则巨■+走=1,

XQ-82412

化简得必=12-g岩.

11分

12-；,-8j

、12分

:.k1K2=——宕I---8---=——2

20.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中,45=3c=2式，F>A=PB=PC=AC=4,0为AC的中点。

(1)证明：POL平面ABC；

⑵若点M在棱3c上，且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面P4M所成角的正弦值。

【解析】（1）证明：连接30,："=8。=2后.0为AC的中点，1分

80_1_4。,且80=2,又％=/>8=/>。=4。=4,2分

二PO±AC,PO=2百，则PB2=PO2+BO2,3分

则PO±OB,'：03nAe=O.二PO，平面ABC；4分

(2)建立以。坐标原点,03、OC、0P分别为x、y、z轴的空间直角坐标系如图所示,

则A(0,-2,0),P(0,0,26),C(0,2,0).8(2,0。)，5分

BC=（一2,2,0）,设丽=入反=（-2入,2九,0）.0〈九<1,6分

则祠=丽一或=（-2九,2九,0）—（一2,-2,0）=（-2X+2,2入+2,0）,7分

则平面尸AC的法向量为蔡=（1,0,0）,8分

设平面MPA的法向量为i=（x,y,z）Jii]M=（0,-2,-2V3）,

则>9=一2）—275z=0,>南=（2—2入）x+（2A,+2）y=0,

令z=l,则y=_6,x=（九+?石，即7=（（九：]6,_后1）,10

分

•:二面角M—PA—C为30°,8S30°=|cos<nw>|=|FL|=—,

\m\-\n\2

17

.(X+1)V3

，解得九1或A,=3舍

即1—九==(),

(^1^)2+(-73)2+1-123

1-X

则平面MP4的法向量n=(2V3,-V3,1).PC=(0,2,-273),

-273-273^73

则PC与平面PAM所成角的正弦值sin0=|cos<PC,n>|=|12分

Jl6,J164

7T

21.（12分）如图甲，直角梯形A8CO中，AB〃CD,ND48=-，点V、N分别在43、CO上，且

2

MN±AB.MCrCB,BC=2,M3=4,现将梯形ABC。沿MN折起,使平面AMNO与平面MNCB垂直（如

图乙）。

⑴求证：AB/mDNCx

（2）当DN的长为何值时，二面角。―5C—N的大小为30°?

B

甲

【解析】（1）：MB〃NC、MB0平面DNC、NCu平面DNC、

：.M3〃平面DNC.同理,MAH平面DNC,

又M4nMB="，凶4、"Bu平面M4A.•.平面版W〃平面DNC.3分

又A8u平面MAB.：.AB/mDNC；4分

⑵如图，以点N为原点，如图建系，

在图甲中，过点C做CG,AB,垂足为G,则GM=CN.MN=CG,

RtMCM中,BC=2.BM=4.NBCM=90。,；.CM=26

S.CM=-BCCM=-CG-BM，解得CG=BC'CM-="之"=拒

MCM22BM4

则MN=CG=6CN《CM?-MN?=J12-3=3,6分

18

设。V=a,则£>(0,0,a),C(0,