四川省专升本(高等数学)模拟试卷6(题后含答案及解析)

四川省专升本（高等数学）模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题4.解答题5.综合题6.证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．当x→0时，与1－cosx比较，可得()A．是较1－cosx高阶的无穷小量B．是较1－cosx低阶的无穷小量C．与1－cosx是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D．与1－cosx是等价无穷小量正确答案：B解析：因为=∞，所以是1一cosx的低阶无穷小量．故选B．2．设函数f(x)=在x=0处连续，则a等于()A．2B．C．1D．一2正确答案：C解析：由于=1，f(0)=a，f(x)在点x=0连续，因此f(x)=f(0)，故a=1，应选C．3．设y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且f″(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()A．凹B．凸C．凹凸性不可确定D．单调减少正确答案：A解析：由于y=f(x)在(a，b)区间内有f″(x)＞0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选A．4．等于()A．+CB．+CC．一cotx+CD．cotx+C正确答案：C解析：由dx=－cotx+C可知应选C．5．设有直线，则该直线()A．过原点且垂直于x轴B．过原点且垂直于y轴C．过原点且垂直于z轴D．不过原点也不垂直于坐标轴正确答案：B解析：将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量s=(1，0，－2)，而y轴正方向上的单位向量j=(0，1，0)，s.j=1×0+0×1+(－2)×0=0．因此s⊥j，即所给直线与y轴垂直．故选B．6．设z=x2y2+3x，则=()A．2xy2+2x2y+3B．4xy2+3C．2xy2+3D．2xy2+2x2y正确答案：A解析：由于z=x2y2+3x，所以=2xy2+3+2x2y．7．设区域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，则x2dxdy化为极坐标系下的二重积分的表达式为()A．r3cos2θdr．B．r3cos2θdr．C．r2cos2θdr．D．r3cos2θdr．正确答案：B解析：因为D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤θ≤π，则r3cos2θdr．8．幂级数anxn在点x=3处收敛，则级数(一1)nan()A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性与an有关正确答案：A解析：因为anxn在x=3处收敛，即｜an｜＜，所以由常数级数中几何级数q=＜1，知(一1)nan是绝对收敛的．故选A．9．已知y1=ex，y2=xex为微分方程y″+py′+qy=0的解，则()A．p=－2，q=1B．p=－1，q=1C．p=3，q=2D．p，q不能确定正确答案：A解析：由y1=ex，y2=xex知，微分方程y″+py′+qy=0的特征方程r2+pr+q=0的解是两个相等的实根λ1=λ2=1，故p=－2，q=1．10．设A为3阶矩阵，｜A｜=1，则｜－2AT｜=()A．一8B．一2C．2D．8正确答案：A解析：｜－2AT｜=(一2)3｜AT｜=－8｜A｜=－8，故选择A．填空题11．设f(x+1)=4x2+3x+1，g(x)=f(e－x)，则g′(x)=__________．正确答案：－8e－2x+5e－x解析：∵f(x)=4(x－1)2+3(x－1)+1=4x2－5x+2，∴g(x)=4e－2x一5e－x+2，则g′(x)=－8e－2x+5e－x．12．=__________．正确答案：e解析：本题考查的知识点为极限的运算．注意可以变形，化为(1+3形式的极限．13．若函数f(x)=在点x=0处连续，则a=__________．正确答案：一1解析：∵=－1，∴a=－1．14．级数的收敛区间为__________．正确答案：(－∞，+∞)解析：因为ρ===0，所以R=∞，即收敛区间为(一∞，+∞)．15．微分方程y″+y′+y=0的通解为__________．正确答案：y=(其中C1，C2为任意常数)解析：特征方程为r2+r+1=0，解得所以通解为(其中C1，C2为任意常数)．解答题解答时应写出推理、演算步骤。16．计算正确答案：解法一利用洛必达法则：解法二利用等价无穷小量代换：当x→0时，ex一1～x，可得解析：本题考查的知识点为利用洛必达法则求“”型极限，或利用等价无穷小量代换简化求极限运算．17．计算xlnxdx．正确答案：(e2+1)．解析：本题考查定积分的计算，可利用分部积分法．18．设z=f(u，v)，而u=x2y，v=，其中f(u，v)存在偏导数，求正确答案：由复合函数的链式法则得由于所给z=f(u，v)为抽象函数，而于是解析：本题考查的是抽象函数求偏导数的方法．题中已给出u=x2y，v=，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可．19．求不定积分正确答案：令1+ex=t，则dt=exdx=(t一1)dx，dx=解析：本题主要考查求不定积分的方法之一——换元法的应用．设x=γ(t)是单调可导函数，γ(t)′≠0，又设f[γ(t)]γ(t)′有原函数，则有换元公式∫f(x)dx=∫f[γ(t)]γ(t)′dt．利用不定积分公式即可求解．20．计算二重积分ydxdy，其中D为曲x=y2+1与直线x=0，y=0，y=1所围成的区域．正确答案：作出积分区域D的草图，如图所示，则积分区域可以用不等式0≤x≤y2+1，0≤y≤1表示，故解析：解二重积分最好先根据题中所给的区域D画出草图，以便定出积分上、下限．注意此题只能先对x积分．21．求微分方程y″+y′一2y=0的通解．正确答案：方程的特征方程为r2+r一2=0，可解得特征根为r1=－2，r2=1，所以微分方程的通解为y=C1e－2x+C2ex．解析：本题考查求二阶常系数齐次线性微分方程的通解．22．将函数f(x)=展开成x－1的幂级数，并指出其收敛区间，正确答案：由于的收敛区间=(－2，4)，(一1)n.的收敛区间=(一1，3)，所以f(x)的收敛区间为(一1，3)．解析：然后将上式右边逐项展开即可．23．已知非齐次线性方程组有三个线性无关的解．(1)证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解．正确答案：(1)容易看到r(A)≥2，此外，由于所给的非齐次线方程组有三个线性无关的解，记为α1，α2，α3，则α1一α2，α1一α3是对应的导出组的解，且线性无关．由此可知，导出组的基础解系中至少包含两个线性无关的特解，从而r(A)≤4—2=2．因此r(A)=2．(2)对系数矩阵A施行初等行变换：于是，由r(A)=2得解之得a=2，b=－3．对a=2，b=－3的增广矩阵B施行初等行变换：由此可知，导出组有基础解系(一2，1，1，0)T，(4，一5，0，1)T，此外，非齐次线性方程组有解(2，一3，0，0)T，所以所给非齐次线性方程组的通解为(x1，x2，x3，x4)T=C1(一2，1，1，0)T+C2(4，一5，0，1)T+(2，一3，0，0)T，其中，C1，C2是任意常数．解析：本题加在方程组上的条件为“有三个线性无关的解”，要求确定的是“a，b的值及方程组的通解”．综合题24．设平面图形是由曲线y=和x+y=4围成的，求此平面图形绕z轴旋转而成的旋转体的体积Vx．正确答案：由曲线y=和x+y=4围成的图形如图阴影部分所示．求两条曲线的交点，解方程得交点(1，3)与(3，1)．于是解析：首先画出草图，求出交点后，利用体积公式计算求得结果．25．求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小．正确答案：如图所示，设曲线y=lnx在区间(2，6)内一点为x0，所围面积为S(x0)，则过点(x0，lnx0)的切线方程为y—lnx0=(x—x0)，即y=lnx0一1+故令S′(x0)=0，得x0=4．又因为当x＜4时，S′(x0)＜0，当x＞4时，S′(x0)＞0，所以x0=4为极小值点，根据题意也就是最小值点，故曲线y=lnx在区间(2，6)内取点x=4时，使该点的切线与直线x=2，x=6及曲线y=ln