高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinwx+φ的图像与性质2省公开课一等奖新名师获奖PP

1.8

函数y=Asin(ωx+φ)图像与性质(二)1/51【知识提炼】函数y=Asin（ωx+φ）(A>0)性质定义域R值域［-A，A］周期T=对称轴方程令ωx+φ=，求得x=2/51对称中心令ωx+φ=_________,求得单调性递增区间由≤ωx+φ≤求得递减区间由≤ωx+φ≤求得kπ,k∈Z3/51【即时小测】1.思索以下问题(1)函数y=Asin(ωx+φ)最小正周期是T=吗?提醒:不是.应为T=.4/51(2)求函数y=Asin(ωx+φ)在[α,β]上值域，当x1=α,x2=β时函数值是函数最值吗？提醒：不一定，若区间[α,β]是函数单调区间，当x1=α,x2=β时函数值是函数最值，当区间[α,β]不是单调区间时，应将ωx+φ看作一个整体，结合图像求最值.5/512.函数y=2sin图像两条相邻对称轴间距离为(

)

【解析】选B.故两条相邻对称轴间距离为.6/513.函数y=cos最小正周期为,则ω=

(

)A.10B.5C.-10D.±10【解析】选D.由

解得:ω=±10.7/514.函数y=sin一个递增区间是(

)A.[-π,0] 【解析】选B.因为

所以

当k=0时,显然8/515.函数y=sin2x在区间上值域为______.【解析】因为x∈,所以2x∈,结合图像可得函数值域为.答案:9/51【知识探究】知识点函数y=Asin(ωx+φ)性质观察如图所表示内容,回答以下问题:问题:怎样借助正弦函数性质得到y=Asin(ωx+φ)性质?10/51【总结提升】对函数y=Asin(ωx+φ)性质两点说明(1)借助周期性:研究函数单调区间、对称性等问题时,能够先研究在一个周期内单调区间、对称性,再利用周期性推广到全体实数.(2)整体思想:研究当x∈[α,β]时函数值域时,应将ωx+φ看作一个整体θ,利用x∈[α,β]求出θ范围,再结合y=sinθ图像求值域.11/51【题型探究】类型一函数y=Asin(ωx+φ)值域【典例】(·衡水高一检测)已知函数f(x)=2sin.(1)求f(x)最小正周期.(2)求f(x)在区间上最大值和最小值及取得最值时x值.12/51【解题探究】怎样求函数y=Asin(ωx+φ)在定区间上值域?提醒:先求出ωx+φ在定区间上范围,将ωx+φ看作一个角,依据正弦函数图像写出值域.13/51【解析】(1)f(x)最小正周期

(2)当

所以

故-1≤2sin≤2,故函数值域为[-1,2].当x=-时,函数取最小值-1;当x=时,函数取最大值2.14/51【延伸探究】若本例条件不变,试求函数在区间上值域.【解析】当

故

故函数值域为[-,2].15/51【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)+b值域(最值)求解策略(1)x∈R时:把“ωx+φ”视为一个整体,结合函数y=Asinx+b中sinx有界性求其值域.(2)x∈[a,b]时:把“ωx+φ”视为一个整体,先依据x∈[a,b],求出“ωx+φ”范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域求法,结合函数单调性或函数图像求解.16/51【赔偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)该函数所表示曲线上一个最高点为(2,),由此最高点到相邻最低点间曲线与x轴交于点(6,0).(1)求f(x)函数解析式.(2)求函数f(x)单调区间.(3)若x∈[0,8],求f(x)值域.17/51【解析】(1)由曲线y=Asin(ωx+φ)一个最高点是(2,),得A=,又最高点(2,)到相邻最低点间,曲线与x轴交于点(6,0),则=6-2=4,即T=16,所以

此时

代入得

所以这条曲线解析式为

18/51(2)因为

解得x∈[16k-6,2+16k],k∈Z.所以函数递增区间为[-6+16k,2+16k],k∈Z,因为

解得x∈[2+16k,10+16k],k∈Z,所以函数递减区间为:[2+16k,10+16k],k∈Z.19/51(3)因为x∈[0,8],由(2)知函数f(x)在[0,2]上是增加,在[2,8]上是降低,所以当x=2时,f(x)有最大值为,当x=8时,f(x)有最小值为-1,故f(x)值域为[-1,].20/51类型二函数y=Asin(ωx+φ)性质综合应用【典例】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<

)图像在y轴上截距为1,它在y轴右侧第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+π,-2).(1)求f(x)解析式.(2)若存在m∈R,任意x∈

使f(x)≤m2-3m-2成立,求m取值范围.21/51【解题探究】(1)怎样确定周期和A值?提醒:由最大值点、最小值点能够确定周期和A值.(2)不等式恒成立意义是什么?提醒:不等式恒成马上f(x)max≤m2-3m-2成立.22/51【解析】(1)因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)图像在y轴右侧第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+π,-2).所以T=2π,即ω=1,A=2,所以f(x)=2sin(x+φ),又因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)图像在y轴上截距为1,23/51所以函数图像过(0,1),所以sinφ=,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=(2)f(x)=在x∈时函数最大值为2.所以2≤m2-3m-2,解得:m≥4或m≤-1.24/51【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)综合应用注意点(1)对于平移问题,应尤其注意要提取x系数,即将ωx+φ变为ω后再观察x改变.(2)对于对称性、单调性问题应尤其注意将ωx+φ看作整体,代入普通表示式解出x值.25/51(3)对于值域问题一样是将ωx+φ看作整体,不一样是依据x范围求ωx+φ范围,再依据图像求值域.(4)对于奇偶性问题,由φ来确定,φ=kπ(k∈Z)时是奇函数,φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数.26/51【变式训练】(·冀州高一检测)函数y=3sin图像为C,下面结论中,错误是(

)A.图像C关于直线x=-对称B.图像C关于点对称C.函数f(x)在区间内是增加D.由y=3cos2x得图像向右平移个单位长度能够得到图像C27/51【解析】选C.A,B经验证可知正确,C中当不是正弦函数单调区间,错误;D中y=3cos2x得图像向右平移个单位长度能够得到y=3cos因为

正确.28/51【赔偿训练】已知函数f(x)=2sin

(ω>0)最小正周期为π.(1)求函数f(x)递增区间.(2)将函数f(x)图像向左平移

个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)图像,求y=g(x)在区间[0,10π]上零点个数.29/51【解析】(1)由周期为π,得ω=2,得f(x)=2sin,由正弦函数递增区间得

得

所以函数f(x)递增区间为,k∈Z.30/51(2)将函数f(x)图像向左平移个单位,再向上平移1个单位得到y=2sin2x+1图像,所以g(x)=2sin2x+1,令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),所以函数在每个周期上恰有两个零点,[0,10π]恰为10个周期,故g(x)在[0,10π]上有20个零点.31/51类型三三角函数性质及应用角度1:函数y=Asin(ωx+φ)单调性【典例】(·淮北高一检测)函数y=sin递减区间是(

)32/51【解题探究】求函数单调区间时需要对函数解析式做怎样变形?提醒:利用诱导公式将函数解析式变为

33/51【解析】选C.函数

令

解得

角度2:函数φ=+kπ,k∈Z奇偶性与对称性34/51【典例】(·哈尔滨高一检测)函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是R上偶函数,则φ值是(

)

35/51【解题探究】若函数为偶函数,则φ普通表示式是什么?提醒:若函数为偶函数,则φ普通表示式为φ=+kπ,k∈Z.【解析】选C.若函数为偶函数,则φ=+kπ,k∈Z,因为0≤φ≤π,故φ=.36/51【拓展延伸】若函数y=sin(2x+φ)

图像关于x=

对称,则φ=________.【解析】由题意

答案:-37/51【方法技巧】1.关于函数y=Asin(ωx+φ)对称性与奇偶性(1)将ωx+φ看作整体,代入到y=sinx对称中心、对称轴表示式能够求出函数y=Asin(ωx+φ)对称中心、对称轴或求φ值.(2)若函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=π+kπ,k∈Z,若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=

+kπ,k∈Z,函数y=Asin(ωx+φ)奇偶性实质是函数对称中心、对称轴特殊情况.38/512.求解函数y=Asin(ωx+φ)

单调区间四个步骤(1)将ω化为正值.(2)依据A符号确定应代入y=sinθ单调增区间,还是单调减区间.(3)将ωx+φ看作一个整体,代入到上述单调区间中解出x范围即为函数在R上单调区间.(4)假如要求函数在给定区间上单调区间,则给k赋值求单调区间.39/51【变式训练】(·安徽高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)最小正周期为π,当x=

时,函数f(x)取得最小值,则以下结论正确是(

)40/51【解题指南】求出函数f(x)解析式,利用正弦函数图像和性质进行判断.41/51【解析】选A.因为函数f（x）=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)最小正周期为π,所以T==π⇒ω=2,所以f(x)=Asin(2x+φ)，当x=时,所以

当

时函数f(x)取得最大值.42/51下面只需要判断2,-2,0与最近最高点处对称轴距离越大,函数值越小.当k=0时,当k=1时,当k=-1时,所以

43/51【赔偿训练】把函数y=cos向左平移m(m>0)个单位,所得图像关于y轴对称,则m最小值为(