2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

2024年高考数学二轮复习【举一反三】重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】【新高考专用】题型梳理题型梳理 2 3 4 6 7【题型6多次使用基本不等式求最值】 命题规律命题规律它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在知识梳理知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】,再用基本不等式求最值.【知识点2基本不等式的实际应用】【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略▶▶举一反三A.2B.3【解题思路】用基本不等式求解即可.A.-2B.0C.1【解题思路】由基本不等式求得最小值.【变式1-2】(2023上·山东·高一统考期中)函(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【变式1-3】(2023下-江西-高三校联考阶段练习)(1+4x²)的最小值为()A.9v3B.7+4v²C.8y3【解题思路】依题意可得,再利用基本不等式计算可得.)的最小值为7+4v3.【题型2【题型2配凑法求最值】的最小值为()A.8B.9C.10【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1,时取等号，即a=5时取A.6B.8C.10【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.最小值为()A.7B.8C.14【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2,所以x-2>0,的最小值为15,重重A.6+2v6B.4+6γ2C.2+4v6【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.的最小值为6+4V2.【题型3【题型3常数代换法求最值】【解答过程】由题意得a>0,b>0,,若若,取等号，故B,取等号，故B项正确.【变式3-1】(2023-河南·校联考模拟预测)已知正实数a,b,值为()即a=3,b=6时，等号成立.则的最大值为()【解题思路】根据等式计算得出1,再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【变式3-3】(2023·重庆·统考一模)已知a,b为非负实数，且2a+b=1,则的最小值为()A.1B.2用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a+b=1,且a,b为非负实数，b≠0,则b=1-2a>0,解得0,2a=1-b≥0,解得0<b≤1,【例4】(2023上江苏高一校联考阶段练习)已知正数x,y满足3~*=9°,则的最小值为_12,, 求得,结合基本不求得,结合基本不故a+2b的最小值为13,故答案为：13.事事【题型5【题型5构造不等式法求最值】【例5】(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0),A.ab的最大值为8C.a+b有最小值3+√2D.a²-2a+b²-4b有最大值4下列说法正确的是()成(a-1)(b-2)=2,即可,即B正确；不等式变形可,利用由x+y+xy-3=0,x>0,y>0,可且0<y<3,一一【变式5-2】(2023上·江苏.高一专题练习)下列说法正确的是()D.若x>1,y>0,x+y=2,3,则xy的最小值为1【解题思路】选项A:将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，但题设条件中x>2,故函数最小值取不到3,故A错误；,,时不选项D:x+y=2,(x-1)+y=1,最小值可取到3+2V2,故D正确.【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A,当且仅当x=y=1时取等号，故A正,【题型6【题型6多次使用基本不等式求最值】则a+b的最小值为()【解题思路】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出(a+b)²≥列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a>0,b>0,a+b>0.当且仅当即2a=3b时等号成立.当且仅当,即时，两个等号同时成立.A.2√2-1B.2v2+1C.V2-1, 得最小值4得最小值4,,A.√2B.2-γ2C.3-γ2所l,,不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.(2≤x≤6)(2)根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室。隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰.现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元.设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5).无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功),若存在，求出t满足(2)由题意知，(2)由题意知，,当且仅当即存在实数0无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.【变式7-3】(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm²的矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形),为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm,设(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x并求出此时宣传栏的最大面积.【解题思路】(1)根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.(2)根据(1)利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时|AD|和|CD|的值.【解答过程】(1)根据题意|DC|=xcm,矩形海报纸面积为36000cm²,可使用宣传栏总面积最大为25000cm².【题型8【题型8与其他知识交汇的最值问题】2acosAcosB(A≤B).(2)表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】(1)由已知和正弦定理可得：所以sinC=sin2AcosB-sinBcos2A=sin(2A-B)>0.故△ABC面积的最小【解答过程】(1)由题可知圆C的圆心为C(0,0),半径r=3.(2)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=,可得k=1;A.x+y≤1C.x²+y²≤2D,,,满足等式，但是x²+y²≥1不成立，所以D错误.C.log₂a+log₂b≥-2【解题思路】根据a+b=1,结合基本不等式及二次函数知识近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8【解题思路】因为(),可得双曲线的渐