人版八年级数学（下册）电子书-第十一章三角形

第七章三角形

章

第七

三m

三龟形是一种A本的儿何图形.从古埃及的金字塔到现代的飞机,

从宏伟的建筑物（如图中的香港中很大度）到微小的分子结构,处处

都有三角彩的形象.

为什么在工程建筑，机械制造中经常采用三角形的结构呢？这与

三角形的性堵有关.在小学我们通过测量•得知.“三角形中三个内角的

和子于180°”.但三角形有无数多个.要说明任意一个三角形三个内向

的和都是180°就不能只靠测量，而必须通过推理论证.另外.一个三

角形有三条边，三个角，那么三条边的大小有什么关系呢？三个角还

有别的什么关系吗？……要了解这些.就需要对三角取作进一步的

研究.

三角形是最前止的平面图形,也是认识许多其他图形的取应.本

章将学习与三角形有关的线段和向.并借助三角形中三个角的和等于

i8（r探究多边形的内向和.学习本章后.不仅可以进一步认识三角

%,而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思想方法.

7.1与三角形有关的线段

即与三角形有关的线段

7.1.1三角形的边

在本章引言中•我们提到许多三角形的实际例子.

由不在同条衣纹上.的•:条线段首陋顺次相接所组成人

的图形叫做：(triangle).

在图7.1-1中，线段A8.3C,CA是三角形的边./\

点A,8.C是三角形的顶点./A./B./('是相邻两B"C

边组成的用，叫做三角形的内角.简称三角影的角.图“I

顶点是A.B,C的三角形，记作“△ABC”，读作

“三角形ABC'.

△ABC的三边,有时也用°,6,c来表示.如图7.1-1.顶点A所对的边

HCJ|J«表示，顶点13所对的边AC]\]b表示•顶点C所对的边ABJlk衣示.

我们知道.按照三个内用的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三

角形和钝ffj三角形.那么，如何按照边的关系对：角形进行分类呢？

以“有几条边相筹”，可以将三角形分为三类:

三边都相等的：珀形叫做写边：角形(如图7.1-2(1))；

仃两条边相等的三角形叫做等腰三角形(如图7.1-2(2»；

加都不相等的：角形叫做不等边：角形(如图7.1-2(3)).

在等腰三角形中.相等的两边都叫做腰,另•边叫做底.两腰的夹角叫做

顶角,腰和底边的夹角叫做底角.

第七章角形63

等边；角形是特殊的等腰■:角形•即底边和腰相等的等腰•:角形.

综I：.三角形按边的相等关系分类如F：

不等边三角形

■:角形〈公问.〃，「底边和腰不相等的等腰：角形

等腰二角图等边三角形

卜面探究：角形：边之间的大小关系.

任意画一个△ABC,假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬

到点C,它有几条战路可以选择？各条段路的长一样吗？

对尸任意一个ZMBC,如果把其中任意两个顶点（例如/3.C）看成定

点，由“两点的所有连线中.线段最短“可得

AB^AOBC.①

同理有

AC+BOAH.②

AB+BOAC.③

一般地.我们行

三角形两边的和大于第三边.

用一条长为18cm的细绳闱成一个等腰51形.

（1）如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?

（2）能围成有边的长为4cm的等腹三角形吗?为什么？

（1）设底边长为丁cm.则腰长为2工cm.

.r-2jr+2x=18.

解得了=3.6.

所以.三边长分别为3.6cm.7.2cm.7.2cm.

（2）因为氏为1cm的边可能是腰.也可能是底边,所以需要分情况讨论.

如果1cm氏的边为底边.设腰K为.rem.则

4+21=18,

64第七章.角形

7.1.2三角形的高、中线与角平分线

解得.r=7.

如果1cm长的边为腰•设底边长为.rcm.则

2X44-T=18,

解得.r=10.

因为4+IV10,出现两边的和小「笫三边的情况，所以不能闱成腰长是

•Icm的等腰三角形.

由以匕讨论可知.可以可成底边长是4cm的等腰三角形.

练习

1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

2.(口苏)下列长度的三条线段能否组成三角影?

为什么？

(5

3)6.10.

7.1.2三角形的高、中线与角平分线

我们巳经学过三角形的鸟.如图7.1-3.从△ABC

的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线.垂足

为D,所得线段AD叫做AABC的边BC上的(ahi-

tude).

图7.13

我们再来再两种与三角形有关的线段.

如图7.1-1,连接ZXABC的顶点A和它所对的边

BC的中点D.所得线段AD叫做AABC的边BC上的

k(median).

第七章：用影I65

AA

0

羊练习

丰1.如圉.(1)(2)和(3)中的三个NB有什么不同？这三个ZiAB('的边伙•上

的尚AD在各自三角形的什么位见？你能说出其中的规琼吗？

聿

丰

丁

羊

丰

聿

2.填空：

丰

(1)如图(1).AD.BE.CF是ZiABC的三条中线.财人8—2.BD-

丰

不(2)如图(2)•八D.BE.CF是AABC的三条角平分线.时/I

・ZACB=2_

丰N3T

壬

壬

聿

(第2版)

66|第七章：角形

7.1.3三角形的稳定性

图7.18

四边形的不稔定性也有广泛的应用,图7.1-9表示其中四例子.

下列曲形中哪些具有稳定性？

68第七章：用心

复习巩固

I.图中有几个三角形?用符号我示这些•:角形.

长为10,7,5.3的四根木条,选其中三根组成三角形.有几种选法?为什么?

对卜卜面每个三角形.过顶点八画出中线.角平-分线和高.

(2)

(第3收)

如图.在△.入»(•中，AE是中线..W是向平分线，AF昆高.填空।

(1)HE——/__।

(2)ZB.AD=一;

(3)NAFB--90%

⑷S&wc=•

选择廖

下列图形中外稳定性的是()

(A)正方形.(B＞长方形.

(C)直角三%形.(D)平行四边形.

一个•:角形有两条边槽等.周长为20cm.三角形的•边氏6cm.求共他两边长.

第七章：角形

信息技术应用

（1）已知等腰形的边等于5.•边等j6.求它的周氏:

⑵巳知等腹三角形的一边等于4.一边等『9.求它

的周长.

如图.AAftC中.AB-2cm.cm.AABC的

高AD与CE的比足多少？

（提示：利川三角形的面积公式.）

拓广探索

如图・AD是△ABC的角平•分线.DE〃AC.DE交

Ali^E.DF^AIi./”•'交AC于F.图中Nllj

N2有什么美系？为什么？

耍使四边形木架011I根木条钉成）不变形.至少

信息技术应用

F选学

画图找规律

i.在计算机上用《几何西城J，软件西一个任意三角形.再昌出它的三条中线.你发

现了什么说琼？然后随愈改变所豳三角影的形状，看舟这个规律是否改变.三角影的三条

高有这个规律吗？三条用平分级呢？

70第七章三角形

2.在计算机上用（几何西扳，软件百任意一个三角形.量出它的各内角并计算它们

的和.然后随意改变所&三角形的形状.再宠出变化后的各内角.计算内角和.由此.你

能得出什么转论？

3.在计算机上用《几何露板。软件区任意一个四边学.量出它的各内角并计算它们

的和.然后隘港改变所画四边形的影状.再量也变化后的各内向.计界内用和.由此.你

能得出什么结论？

第七章三角形|71

7.2与三角形有关的角

国与三角形有关的角

7.2.1三角形的内角

我们已经知道.任意一个三角形的三个内角和等「180°.怎样证明这个

结论呢？

通过度量的方法，可以验证•些具体的三角形的内角和等「180°.但是.

由于形状不同的二角形有无数个,我们不可能用的量的方法一验证所有三角

形.J•是,我们需要J•找一种能证明任意•个三角形的内角和等于180°的方法.

在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个

平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？

上面的拼合中，有不同的方法.你用了图7.2-1中的哪种方法?

在图7.2-1(1)/B和/(,分别排在/A的左右,三个角合起来形

成一个平角.出现条过点A的直线-移动后的/B和NC各有一条边在2

上.思•微•/与ZVWC的边有什么关系？由这个图你能想出证明••三角

形内角和等J：180"'的方法吗?

72第七章：角形

由I•.述拼介过程得到启发，过△八3（,的顶点八作代A

5

线/平行于△ABC的边BC（图7.2-2）.那么由平行线

的性质与平角的定义就能得到证明./\

三角形内角和定理"/--------

已知：AABC<187.2-2）.国。22

求证：/A+/B+/C=180°.

如图7.2-2.过点A作直线L使2〃BC.

因为1//HC.

所以/2=/4（两H线平行，内错角相等）.

同理/3=/5.

因为/I，N4,N5组成平角・

所以/~/4+/5=180°（平•角定义）.

所以N】一/2+N3=180"（等鼠代换）.

从以上推导过程可以何出•证明是由题设（已知）出发,经过一步步的推

理.最后推出结论（求证）正确的过程.

I如图7.2-3.（,岛在八岛的北偏东50”方

向.〃岛在八岛的北偏东80°方向.（'岛在8岛的北

偏西10°方向.从C岛看A,8两岛的视角/ACB是

多少度？

A,8,C三岛的连线构成△ABC,所求图7.23

的/人（方是/VWC的一个内角.如果能求出/（小乩/ABC.就能求出

ZACB.

/CAB=/8/W)/('人/)=80°50°=30*.

HlAL)//HE,可得

/B八/)一/人8E=180".

所以

ZABE=180°Z/MD=180°80°=100",你还能想出其

/AHC=/ABE/EB('=100°-IO°=6O°.他解法吗？

在/VWS('中.

/ACli=180°/八8C/CAli

=180°60°30°=90°.

第七章.角形73

阅读与思考

选学

为什么要证明

李老师：小明.我们知道三角形的内角和是180'.你能根据

已学的知识证明这个结论吗？

小明：我们现雇任意一个三角影.量出它的内角.都能用出

它的内角和等于180°.为什么还麦•证明这个帖论呢？

李老师：通过琬条、试脸等可以寻找规律•但是由于观察可

能有误是.试脸可能受干扰.考察对象可能不具一般件等原因.

一般说出现察、试脍等所产生的“蚣论”未必正确.附加.让一

个班的学生母人任意离一个三角形.再量出它的每个内角.计算

三个内角的和.得到的结果未必全是】80",可能有的会比180°

大些.有的会比180°小些.

小明,《，果观察细致.彳义思相喻,不产生误房.还需要证明吗？

李老帅：仅通过观察、试验等就下结论有时也蝶乏说服力.例如,

即使不考虑误差等因素.当上面观察的所有怙果仝•是180°时.人们还会

有疑问：“不同形状的三角形有无数个.我们自出并验证的只是其中有

限个.其余的三的影的内角和是多少呢？娓对所有三角形都遂行胎证

吗？”步实上.不管我们经历多长时间.禹出多少个三角形.现裕、

试脸的对靠也是有限个.因此.要礴认“三角形内角和等于180'”.

就不能依蠡度量的手段和现匏、试脸、脸证的方法.而必然遗行推理

论证从道理上科出“无论三角形的具体形技如何.它的内向和一

定等于1805.

小明：完觉什么是证明？它起什么作用？

李老师：一个命题是否正碟.需要经过理由充足，使人信服

的执理论证才舱得出触论,这样的推理过程叫做“证明”.现察、

试脸等是发现规律的立要途任.而证明则是瑜认规律的必.曼步JR.

78|第七章二角形

7.2与三角形有关的角

答：从C岛看A,8网岛的视角NACB是901

练习

1.如图.从A处现测C处时仰角NCAD-30".从8处现测C处时仰角

Z<B/；-l5,.从（•处现测八.H两处时视南NACB走多少？

（第I电（第2心

2.如图.一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCZ）.其中NA-150*.

N8=ND-m*.求NC的度数.

7.2.2三角形的外角

如图7.2-1.把AABC的边B如延长,得到

/ACQ像这样,：珀形的一边。力一边的延长线

组成的角.叫做；.

W7.24

如图7.2-5./MBC中./A=70°./B=

60°./AC/）是zM皮、的一个外角.能由/A.

/B求出/A（7）吗？如果能./A（Y）与/A,

/B有什么关系？

任意一个三角形的一个外角与它不相邻的

两个内角是否都有这种关系？

74第七章.角形

・般地•牙卜面的结论（请同学们自己给出证明）:

三篇形的一个外角等于与它不相辅的两个内维的和.

由上面的结论.可以得到：

三蒯形的一个外角大于与E不相邻的任何一个内角.

如图7.2-6,//ME.ZCBF,NACD是

△ABC的三个外角.它们的和是多少？

如图7.2-6,

因为N8AE=/2+/3,/（'8尸=/1十/3.

/ACD=/】+/2（三角形的一个外角等J：和它不[87.2-6

相邻的两个内角的和),

所以/BAK+/CBF+/AC/)=2(/l+/2+

Z3).

因为/1-/2+/3=180°,

所以/8八£+/。“；一/八('/)=2><180°=360°.

第七章.角形75

■即2

复习巩固

求出卜列图中上的值:

（第1曜）

（1）个W角形最多狗儿个直用？为什么？

（2）一个三加形故多行儿个钝来？为什么？

⑶克角三角形的外角可以是锐角吗?为什么?

△ABC>|>.ZB-ZA-h10\NC=NB+IO°,求

的各内角的度数.

InS，AD±BC,Nl=N2.NC=65’.超BAC

综合运用

如图，八8〃（力，ZA-450.NC-NE,求NC

76第七章：角形

如图.，处在A处的南偏西156方向,C处在A处的南偏东15°方向.的处在3处

的北偏东80°方向.求ZACR

如图.D贬AB上,点.卜：是AC匕•点.BE.CD播交F点E/八一620・

NACD-35\ZABE-20*.求/8DC和/8FQ的度数.

拓广探索

如图.AB//CD.NBAE-NDCE-45：填空:

因为AH//CD.

以

所

Nl+45*+N2+45°=...

以

所

N1+N2N.

为

因

】+

以NN2+NE=.

所

ZE-・

n）如图,CE是△ABC的外角NACD的平分线.且CE交5A的小长线F点E,证

WZBAOZB.

第七章三角形77

阅读与思考

阅读与思考

选学

为什么要证明

李老师：小明,我们知道三角形的内角和是180、你能根据

已学的知识证明这个结论吗？

小明：我们现亲任通一个三角形.量出它的内向.都能捋出

它的内角和等于出0:为什么还要证明这个结论呢？

李老师：通过观察、认脸等可M寻找规律.但是由于规格可

能有误展.试龄可能受干扰.考察时却可能不具一般性孑原因.

一般说由观察、试脸等所产生的“结论”未必正确.例如,让一

个班的学生毋人任意豳一个三角影.再量出它的每个内角.计算

三个内向的和.挣到的结杲未必全是1801可能有的会比180°

大些.有的会比180,小些.

小明：未果现察细致.仪器枕瑜.不产生误基.还需要证明吗？

李老师：仅通过观•家、试验等就下结论有时也块乏说服力.例如,

即使不考虑误差等国*.当上面现察的所有结果仝是180°时,人们还会

有疑问：“不同形状的三角学有无效个.我们画出外脸■证•的K是其中有

限个.其余的三角影的内角和是多少呢？能对所有三角形都it行验证

吗？”手实上.不管我们经历多长时间.画出多少个三角形.观察、

试胎■的对望也是有限个.因此.要稿认“三角形内角和等于180°”.

就不能依靠度量的手段和现尽、试懿.脸证的方法.而必须遗行推理

论证从道理上纤出“无论三角影的具体形状如何.它的内向和一

定等于180f.

小明：竞克什么是证明？它起什么作用？

李老帅：一个命题是否正碎，需要经过理由充足.使人信服

的推理论证才能件出站论.这样的推理过狸叫做“证明”.现法、

试脸等是发现规律的支要途径,而证明则是确认妮律的必要步獴.

78|第七章三角形

7.3多变形及其角和

郎多边形及其内角和

7.3.1多边形

你能从图7.3-1中找出几个山些线段附成的图形吗?

田

图7.31

我们学过三角形.类似地./E平面内•由一些线段首尾顺次相接组成的图

形叫做(|x>lygon).

多边形按组成它的线段的条数分成三

角形、四边形、五边形……三角形是最笳

唯的多边形.如果一个多边形山»条线段

组成.那么这个多边形就叫做，，边形.如

图7.3-2,修故底面的边缘可以设计为六边

形.也可以设计为八边形.

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.图7.3-3中的/八.NB.

/C/〉/E是花边形A8CDE的5个内角.多边形的边与它的邻边的延

长线组成的角।叫做多边形的外角.图7.3-4中的/I是五边形A8CDE的一个

外角.

第七章：角形79

图7,3-3五边形ABCDE

连接多边形不相邻的两个顶点的线段.叫做多边共有几条对角然/请

形的(diagonal).图7.3-5中，AC,AD是五包出它的其他对角线.

边形ABCDE的两条对角线.

图7.3-6

如图7.3-6(D,廊出四边形ABCD的任何•条边(例如(TO所在直线,

蛾个四边形都在这条酉线的同•侧.这样的四边形叫做凸四边形.而图7.3-6(2)

中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(DtDC)所在宜线,整

个四边形不都在:这条H线的同一侧.类似地,画出多边形的任何一条边所在if

线，如果整个多边形都在这条直线的同•侧,那么这个多边形就是凸多边形.

本节只讨论凸多边形.

我们知道,正方形的各个角都相等,各条边都相等.像正方形这样.各个

角都相等.各条边都相等的多边形叫做(regularimlygon).图7.3-7是

正多边形的•些例子.

图7.37

80第七章：角形

—m

练习

;

对角线

的全部

多边形

出下列

I.画

u

IK)

(HS1

-

发.

点出

个顶

的一

边形

从五

形？

三角

几个

分成

边形

将四

角线

条对

的一

边形

2.西

形？

个三角

分成几

五边彩

它们将

线？

条对角

离出几

可以

和

内角

形的

多边

2

7.3.

和

内角

形的

长方

形、

：正方

180°

等于

角和

的内

角形

.三

知逋

我们

呢？你

60''

等于3

否也

和是

内息

形的

四边

一个

任意

么，

0°.那

于36

部等

？

60°吗

箸干3