余弦定理、正弦定理的应用 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册（2022年）

11.3余弦定理、正弦定理的应用

一、单选题

1.（2021•全国高二单元测试）在AABC1中，若奶=2j§asinB，cosA=cosC，贝（1AABC形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】

首先利用正弦定理化边为角求出sinA的值，再结合A=C,以及三角形的内角和即可求出反C,进而可

得正确选项.

【详解】

由正弦定理知：&=27?sinB,a=2RsinA,

则3b=26asin3可化为：3x2Rsin8=2百x2HsinAsin8.

因为0。<3<180°

所以sinBwO,

所以sinA=走，可得A=60'或120°，

2

又因为cosA=cosC,

所以NA=NC

所以A=6（）lC=60SZB=1800-60-60s=60%

所以△A6C为等边三角形.

故选：C.

2.（2021.江苏高一课时练习）学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m,4=

30°,则其跨度A8的长为（）

A.12mB.8m

C.2GmD.4Gm

【答案】D

【分析】

利用余弦定理求得A3.

【详解】

由于三角形ABC是等腰三角形，所以BC=4C=4,且NA=N8=30。,NC=120°,

由余弦定理得AB=742+42-2x4x4xcosl20°=•

故选：D

3.（2021•安徽高三一模（文））如图，在“8C中，生，点。在线段BC上，ADLAC,—

3CD4

则sinC=（）

A.旦B.叵C.叵D.叵

141477

【答案】B

【分析】

在△A8D中利用正弦定理得tanC=—,结合平方关系求解即可

5

【详解】

8。AOsin。CO卜it?C+cos2c=1

在△ABO中，7=五万=sin（一，解得tanC=^，又sinC_6所以sinC=11l

6.匕J5/忑=14

故选：B.

4.（2021・江苏高一课时练习）从高出海平面〃米的小岛看正东方向有一只船俯角为30。，看正南方向一只

船俯角为45。，则此时两船间的距离为（）

A.2/z米B.米

C.57米D.2曲米

【答案】A

【分析】

由图可得8C=6〃，AC=〃，，进而可得结果

【详解】

如图所示，BC=，AC=〃，：.AB=13沫+沫=2〃

故答案为：A

5.（2021•江苏高一课时练习）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CO的顶端C对于山

坡的斜度为15。，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45。，若CZ）=50m,山坡对于

地平面的坡度为仇则cos，等于（）

【答案】C

【分析】

在AABC中，由正弦定理得AC=10()G,再在AADC中，由正弦定理得解.

【详解】

AfiAC

在AABC中，由正弦定理得-------

sin30sin135

.,.AC=100V2.

CD

在AADC中，—————

sm(9+90°)sin15"

cos9=sin(9+90°)="八>匕=0_].

CD

故选：C

【点睛】

结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素(边和角)，且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，

放到其它三角形中求解.

6.(2021•陕西榆林市•高三二模(文))我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”

里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲

知为田几何.”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺

为1步，1尺=0.231米，则该沙田的面积约为()(结果精确至IJ0.1,参考数据：415.82=172889.64)

A.15.6平方千米B.15.2平方千米C.14.8平方千米D.14.5平方千米

【答案】D

【分析】

根据由海伦公式S=dp(p-a)(p-b)(p-c)即可得到沙田面积.

【详解】

由海伦公式S=小p(p_a)(p_b)(p_c)其中〃=g(a+〃+c),a,>,c分别为三角形三边长，

可得：该沙田的面积=421x8x7x6x(300x6x0.231)2=84x415.82

=84x172889.64=14522729.76平方米句4.5平方千米，

故选：D

7.(2021•全国高一课时练习)如图，设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同

侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为机，ZBAC=a,4ACB=B，则A，8两点间的距离为

()

msinasina

A.B，sin(a+/?)

sin/3

msin0〃zsin(Q+B)

C.

sin(a+/?)sina+sin£

【答案】C

【分析】

在AABC中，由已知的条件直接利用正定理求解即可

【详解】

在aABC中，AC=m,ZBAC=a,NBCA=0.

NABC=TI—a—(3.

sinZABC=sin(TC—a—p)=sin(a+p).

ACAB,得阵煞叫.

由正弦定理

sinZABCsin尸

故选：c

Ab+r*

8.（2021•全国高一课时练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos?—=----,则4

22c

ABC是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】

用降基公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状.

【详解】

,,,Ab+cb,,1+cosAb1,b

在AAABC中，因为cos--=,所以---------=F一,所以cosA=—.

22c22c2c

由余弦定理，知--,所以b2+c2—a2=2b2,即a2+b2=c2,所以AABC是直角三角形.

2hc

故选:A.

二、多选题

9.（2020•全国高三专题练习）在锐角△ABC中，边长。=1,。=2,则边长c可能的取值是（）

后

A.V2B.2C.272D.江

2

【答案】BD

【分析】

根据c边最大边或匕最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解.

【详解】

若C边为最大边，则cosC>（）,

>0,c<加>

lab

若b边为最大边，则cos8>0,

.Y+c2一户

>0,c〉百，

2ac

所以G<c<6,

所以边长c可能的取值是2、士.

2

故选：BD

【点睛】

本题考查了余弦定理的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

10.（2020.河北张家口市.高三月考）在△至。中，角A、B、C的对边分别是。、b、C.下面四个结论

正确的是（）

A.a=2,4=30°,则△ABC的外接圆半径是4

B.若，一=—^一,则A=45。

cosAsinB

C.若/+从〈d，则aABC一定是钝角三角形

D.若A<8,贝ijcosAccosB

【答案】BC

【分析】

根据正弦定理可求出外接圆半径判断A,由条件及正弦定理可求出tan4=1,可判断B,由余弦定理可判断

C,取特殊角可判断D.

【详解】

由正弦定理知，-=4=2R,所以外接圆半径是2,故A错误；

sinA

由正弦定理及-"=一夕一可得,把4=包_g=1,即tanA=l,由0cAe不，知A=45。，故B正

cosAsinBcosAsmB

确；

『+h2-r2

因为cosC=L?—―<0,所以C为钝角，AABC一定是钝角三角形，故C正确；

2ab

7171

若A=一,B=_,显然cosA>cos故D错误.

64

故选：BC

ccqAh

11.（2020•全国高三专题练习）已知AABC的三个角A，B,C的对边分别为4,b,C,若-----=一，

cosBa

则该三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】

cosAhccqAsinA?

在AA5c中，根据「三=二,利用正弦定理得「y=J",然后变形为sin24=sin2B求解.

cosBacosBsinA

【详解】

在AMC中，因为笔上，

cosBa

〜十44口cosAsinB

由正弦定理得-----=-----,

cosBsinA

所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

所以2A=28或2A=»—23,

71

解得A=6或A+8=u.

2

故AABC是直角三角形或等腰三角形.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12.（2020.江苏南京市.高二月考）如图，ZsABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,Z

ABC为钝角，BD1AB,cos2ZABC^~,片2,人=苧，则下列结论正确的有（）

A.sinA=--B.BD=2

5

4

C.5CD=3DAD.△C8。的面积为不

【答案】AC

【分析】

由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosZABC的值，利用余弦定理求得c的值，再计算sinA,由同角

的三角函数关系求出cosA,根据直角三角形边角关系求出A£>,BD，CO的值，再计算MCD的面积

从而得解.

【详解】

77

解：由cos2^ABC=---,得：2cos—1=----,

2525

又角NA3C为钝角，

3

解得：cosZABC=--,

643

由余弦定理,2=a2+c2-2accosNABC，得：—=«2+4-4«（--）,

解得。=2,可知AABC为等腰三角形，即A=C,

所以cosNABC=-cos2A=—（1一2sin?,

解得sinA故A正确，

5

可得cosA=-sin2A=>

在RAAB。中，£=COSA,得AD=B可得BDNAD,-AB”=&-4=1，故B错误,

AD

r厂一3—

CD=b_AD=2_^=里,可得"=工=3,可得5诙=3函，故。正确，

55DA455

所以ABC。的面积为5.8=[.X。>5皿。=3*2乂乎哼=3,故。错误.

故选：AC.

【点睛】

利用正弦、余弦定理解三角形，利用%cL^xCOxsinC求三角形的面积.

三、填空题

13.（2019・上海嘉定区•）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CO的高度，。为楼顶，线段A3的

长度为600m,在A处测得ZDAB=30°，在5处测得ZDBA=105°，且此时看楼顶D的仰角NDBC=30°，

已知楼底C和A、8在同一水平面上，则此楼高度8=一根（精确到1相）

【答案】212

【分析】

先由正弦定理求得AB和BD,根据RtaBCD中因为N03C=3O°，可得CD=JBD=1500=212.

【详解】

BD_AB

在4ABD中，由正弦定理，得：贰帝飞胃80』5匚30）由AB=6。。，

得：BD=600—30.=30072.在RiaBCD中，因为ZD8C=30°，

sin45

所以CD=~BD=15072-212,

故答案为212.

【点睛】

此题考查正弦定理，熟练掌握正弦定理即可，属于简单题目.

14.（2021•江苏高一课时练习）如图，A,B,C,。都在同一个与水平面垂直的平面内，B,。为两岛上的

两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得8点和。点的仰角分别为75。，30°,于水面C处测得B点和。

点的仰角均为60。，AC=0.1km.若贝ijB,。间距离为km.

372+76

【答案】

20

【分析】

在aABC中，应用正弦定理求AB,由BD=AB,即知B,D间距离.

【详解】

在aABC中，/BCA=60°,NABC=75°-60°=15°,AC=0.1km,

ABAC

由正弦定理，得:

sinZBCAsinNABC

:.A8=°」xsm60°=3>/^+"又BD=AB,

(km)；

sin15020

BD="*娓km.

20

3&+C

故答案为:

20

15.（2021•全国高一课时练习）如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏

东60。方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30。方向，海轮改为北偏东60。的航向再行

驶80分钟到达C点，则P,C间的距离为海里.

【答案】4077

【分析】

由等腰三角形得AP，然后用余弦定理求得BP，再用勾股定理求得PC.

【详解】

因为AB=40,ZBAP=120°,ZABP=30°,所以/APB=30°,所以AP=40,

所以BP2=AB2+AP2-2AP-AB-cos120°=402+402-2x40x40x(-g)=402x3,所以BP=4()VL

又NPBC=90°,BC=80,所以PC2=BP2+BC2=(40&)2+802=11200,

所以PC=40j7海里.

故答案为：4077.

16.(2021•山东潍坊市•高三一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖

杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形Q钻的半径为1(),ZPBA=ZQAB=60,AQ=QP=PB,若

按此方案设计,工艺制造厂发现,当OP最长EI寸,该奖杯比较美观,此时ZAOB=.

【分析】

作OM_LQP交QP于M，交A8于C，且0CLA3,设NA0C=6»,求出A6、0C，设

AQ=QP=BP^x,作QE，A8交48于E，PE_LAB交AB于尸，可得出x=10sin。,

OM=OC+CN=10cos6+56sin6，由勾股定理可得

OP-=OM2+MP2=(10cose+56sin+(5sin0)2然后求最值可得答案.

【详解】

作OMJ_QP交QP于M，交A3于C,且OCL4B,设NAOC=6，

则AB=20sin6»,0C=lOcos。，

设AQ=QP=8P=x,作。E_LA8交A8于E，所上■交刊^于尸，

因为NPBA=NQAB=60°,所以AE=BE='x,CM=PF=-x.

22

EF=QP=x,所以AB=2x,所以AB=2()sin8=2x,即x=10sin。，

OM=OC+CM=10cos^+—x=10cos^+5>/3sin^，

2

所以OP?=0河2+“p2=(]0cos，+5Gsin，『+(5sin6『

=100cos?6+75sin2。+1006sin8cos6+25sin?6=100+50百sin2^，

因为sin26»e[-U],所以当sin26=l即夕=§时。尸最大，

71

也就是OP最长时ZAOB=-.

2

rr

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查了用三角函数解决几何问题，关键点是作出辅助线利用勾股定理求出OP?,考查了学生分析问题、

解决问题的能力.

四、解答题

17.(2020.陕西汉中市.高二月考)在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且

2a2=(2b-c)b+(2c-b)c.

(I)求角A的大小；

(II)若6=2ccosA,试判断△A6C的形状.

【答案】(I)A=60。；(II)等边三角形.

【分析】

(1)由己知三边关系，结合余弦定理即可求角A；

(2)由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin(A-C)=O,结合(1)的结论即可知AABC的

形状.

【详解】

(I)V2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,整理得加、=〃+。2,

A=60°.

(II)由正弦定理，WsinB=2sinCeosA,而B=%—(A+C),

sin(A+C)=2sinCeosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,

sin(A—C)=0,A=C,

:.A-B-C—60°,

...AABC为等边三角形.

【点睛】

本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断

三角形形状，属于基础题.

18.(2020.江苏苏州市.南京师大苏州实验学校高三月考)如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船。

监控河流南岸相距150米的A、B两处(A在8的正西侧).监控中心C在河流北岸，测得NA5C=45°，

NB4C=75°，A8=120祈m，监控过程中，保证监控船。观测A和监控中心C的视角为120°.A,B,C,

。视为在同一个平面上，记AADC的面积为S,NDAC=6.

c

（1）求AC的长度;

（2）试用。表示S,并求S的最大值.

【答案】⑴240m；（2）S=48073[2sin（20+30°）-1],480V3m2.

【分析】

（1）在△ABC中，利用正弦定理解三角形即可得AC.

（2）由（1）知4C的长度，利用正弦定理求AO的长度，结合/D4C=6,利用面积公式即可.

【详解】

(1)在△ABC中，ZABC=45°.NBAC=lS，所以NACB=60°.

ARAQ

因为A6=120#m，所以，由正弦定理得-----7=-------r，所以AC=240m；

sm60sin45

(2)在△AOC中，设/D4c=6,则/ACD=60°—e，

74rAD

由正弦定理得嬴五而

sinZACD

所以AD=16073sin(60°-0).

所以S=；xACxADsin。；x240x160\/3sin(60,-6>)sin0.

=480x/3(V3sin26+cos26-1)=4806[2sin(2^+30°)-1]

因为0°<6<60°.

所以当6=30°时，S取到最大值480Gm2.

答：AC的长度为240m,S=480百[2sin（26+30°）—1],S取到最大值480Gm?.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题.

3兀

19.（2021•广东湛江市•高三一模）如图，在平面四边形A8CO中，AO_LCD,ZBAD=—,2AB=BD=4.

4

DC

(1)求cos/ADB；

(2)若8C=后，求CD

【答案】⑴cosNAD8=巫；⑵8=3夜

【分析】

(1)△A8D中，利用正弦定理可得sin/AZM,进而得出答案;

(2)△BCD中，利用余弦定理可得CD.

【详解】

2

ABBD--------五，解得sin/AO8=立，故

(1)△A3。中，------,即sin/AOB

sinNADBsinNBAD

4

(2)sinZADB=—=cosZCDB

4

△BCD中，cosZCDB^BD2+CD2-BC2,即1Cg42一晔

2BDCD42-4CD

化简得(CD_38)(CO+0)=O,解得CO=30.

20.(2021•全国高二单元测试)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山

顶。在北偏西45。的方向上，仰角为a,行驶300米后到达B处，测得此山顶在北偏西15。的方向上，仰角

为夕，若£=45。，则此山的高度CD和仰角a的正切值.

D

【答案】300后，V3-1,

【分析】

设山的高度CD=x,在△ABC中，利用正弦定理求得CB,AC,在Rt△BCD中，由/CBD=45°得CD=CB=300

CD

,然后在Rt^ACD中，由tana=—求解.

AC

【详解】

设山的高度CD=x米,

由题可得/CAB=45。，ZABC=105°,AB=300米,ZCBD=45°.

在AABC中，得：ZACB=180°-45o-105o=30°,

AnCBAC

利用正弦定理可得一^.」

sm30°sin45°-sin105。'

所以小*萨=3。皿八300xsin105,「rr\

FF-EO（遥+外

在RtABCD中，由NCBD=45。得CD=CB=3000,

CD300后

在Rt△ACD中可得tana=——回1

AC150（V6+V2）

21.（2021・上海高一）已知平行四边形ABC。，证明472+友）2=2（/止2+4）2）

【答案】证明见解析

【分析】

在三角形ABC和三角形曲中，分别用余弦定理求出AC?和再相加可证结论.

【详解】

在平行四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD,NABC+NDAB=%,cosZABC+cosZDAB=0,

在三角形ABC中，由余弦定理得AC?=482+802