高考数学一轮复习第六篇数列（考点梳理+考点自测+揭秘高考+集训）理新人教A版

第六篇数列③

第1讲数列的概念与简单表示法

【2014年高考会这样考】

1.考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项.

2.考查由数列的递推关系求数列的通项公式.

»抓住3工考点必考必记夯基固本

对应学生

80

考点梳理

1,数列的概念

(1)定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位

的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项.

(2)数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…，〃｝)为定义域的函数&=『(〃)，

当自变量按照从小到大依次取值时所对应的一列函数值.

反过来,对于函数尸Ax),如果来/(，=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数

列f(l),F⑵,f(3),…，

(3)数列的通项公式

如果数列｛&｝的第〃项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这

个数列的通项公式.

2.数列的递推公式

如果已知数列｛a〃｝的第1项(或前〃项),且从第二项(或某一项)开始的任何一项为与它的

前一项8一(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列｛&｝的递

推公式.

3.%与S,的关系

[5,n=l,

若数列｛a｝的前"项和为S,则&=一、

IS-ST,A22.

【助学•微博】

两类特殊问题

(1)解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数列的周期.

(2)求数列最大项的方法：①判断｛a｝的单调性；②解不等式组,求数列最小

.为三国+1，

项依此类推.

三种方法

由递推式求通项a,,的方法：

(1)a”+i—a”=f(〃)型，采用累加法；

(2)%=7•(〃)型，采用累乘法；

311

(3)a,+l=pa,+(7(p^0(bg#0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决.

考点自测

1.(2013•珠海模拟)设数列｛4｝的前〃项和$=//+〃，则用的值为().

A.13B.14C.15D.16

解析37=5-^=49+7-36-6=14.

答案B

2.在数列｛a〃｝中，ai=l,an—2a„-t+l,则a$的值为().

A.30B.31C.32D.33

解析.as—2ai+1=2(21a)+1)+1=2?&+2+1=23a+22+2+1—2lai+23+22+2+l=::

31.

答案B

3.(2012•浙江)设S是公差为d(挣0)的无穷等差数列｛a｝的前n项和，则下列命题错

误的是().

A.若dVO,则数列｛£｝有最大项

B.若数列｛£｝有最大项,则”0

C.若数列｛£｝是递增数列，则对任意〃eN”，均有$>0

D.若对任意〃GN*,均有S>0,则数列｛S｝是递增数列

解析A、B、D均正确，对于C,若首项为-1,d=2时就不成立.

答案C

4.下列关于星星的图案个数构成一个数列，则该数列的一个通项公式是().

,nn~1

A.a„—n2-n-\-1B.a,,=--------

n〃+1nn+2

C.&=QD.3f)=Q

解析从图中可观察星星的构成规律,

〃=1时，有1个；〃=2时，有1+2=3个；〃=3时;有1+2+3=6个；〃=4时，有1

+2+3+4=10个；…

an—1+2+3+4+,,,+n--.

答案C

5.(2013•苏州模拟)函数7=/期〉0)的图象在点(a,给处的切线与*轴交点的横坐标

为a+”其中代N*.若d=16,则a+8+备的值是_______.

解析y=/上点(a«,a。处的切线方程为y—a：=2a*(x—a*),令尸。可得x=1a*,即a

+i=ga.,即可得数列｛aj是首项为16,公比为上的等比数列，贝ija+a；+左=16+4+1=

21.

答案21

021突破3个考向研析案您考回突破

对应学生

81

考向一已知数列的前几项求通项公式

【例1】》根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)2,0,2,0,•••；

,、13715

⑵亍4'于I?…；

(3)...-」一----」一....

皿1X2'2X3'3X4'4X5''

(4)7,77,777,7777,….

［审题视点］通过分析各数列已知项的数字特征的共性，及常见的描述方法写出各数列的

通项公式.

解(1)所给数列可改写为1+1,-1+1,1+1,-1+1,--可以看作数列1,-1,1,

-1,…的各项都加1,因此所给数列的通项公式a,,=(-l)f+1.

所给数列也可看做2,0,2,0,…周期性变化，因此所给数列的通项公式a.=

(2〃为奇数，

io〃为偶数.

9"—1

(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列2'曾2a2",…，所以a=丁.

(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数

项为正，所以它的一个通项公式为&,=(-1)^匕一.

nn+i

7777

⑷所给数列7,77,777,7777,…可以改写成不、9,-X99,-X999,-X9999,…，可

yyyy

7777

以看作(lo-D,-xdoo-1),-x(iooo-i),-x(loooo-D,因此所给数列

7

的通项公式为a〃=gX(10"-l).

方法锦囊》根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分

成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征.若关系不明显时，应将部分项作适当的

变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来.

【训练1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)1,—3,5,—7,9,

/、1925

(2)~,2,8,—,…；

(3)0.8,0.88,0.888,0.8888,….

解(1)4=(-1).(2〃—1).

2

小11

(2)

考向二由数列的前〃项和求通项公式

【例2】A

已知下面数列｛4｝的前n项和S,求｛a｝的通项公式：

Z,

(1)S=2/Z—3〃；(2)Sn—3+b.

[审题视点]当〃=1时，山d=S,求&；

当〃22时，由a=S-ST消去S,得as与a的关系.转化成由递推关系求通项.

解(l)ai=S=2—3=—1,

当时，a„—S,—S„-\

—(2n—3n)—[2(/?—I)2—3(/7—1)]=4/7—5,

由于团也适合此等式，.•.a”=4〃-5.

(2)a=S=3+6,

当时，a尸SLS“T=(3"+。)-(3"-1+6)=2•3j.

当6=—1时,囱适合此等式.

当时，4不适合此等式.

.•.当6=-1时，a“=2・3"T；

3+6,n=\,

当―1时，&°„_,

[2•3n〃》2.

方法锦囊》数列的通项a,,与前〃项和$的关系是a〃=S'"i、当〃=1时，a、

[S-ST,〃22.

若适合S„—S„-i,则n=l的情况可并入时的通项a„；当n=lB寸，ai若不适合S„-S„

则用分段函数的形式表示.

【训练2】已知各项均为正数的数列｛a.｝的前”项和满足S„>1,且6s=(a.+l)(a.+2),

〃GN*.求回｝的通项公式.

解由a=S=J(ai+l)(团+2),

6

解得演=1或a=2,由已知a=S>l,因此a=2.

又由3n+1SR1Sn

=<(&-1+1)(&ru+2)—(&+2),

66

得a+i一品-3=0或an+\=~atl.

因为&>0,故a+i=—a不成立，舍去.

因此a〃+i—3=0.

即为+i—a〃=3,从而｛4｝是公差为3,首项为2的等差数列，故｛品｝的通项为a=3〃-L

考向三由递推公式求数列的通项公式

【例3】》⑴在数列｛4｝中，已知a=L当时，有a=ai+2/7—1(e2),求数列

的通项公式；

(2)在数列｛4｝中,已知&=1,­(〃+1)&(介2),求数列｛4｝的通项公式.

[审题视点]观察递推式的特点可知利用累加法或累乘法求通项公式.

解(1):&="1+2〃-1(〃22).

a-1=2)—1(〃22).

,a%―a=3,

aj-a2=5,

则有V包一融=7,

、为一a-i=2〃-1.

上述〃一1个式子的等号两端分别相加可得：&一国=〃2—晨

..an=

又,.•&】也满足上式，所以a

/c、—13,n—2及

(2)an=---•----•----~•a\

ELn-\3n-2a一332a\

nn—1n—2322

X----X——rXXXX1=

n+1nn—\"43z?+l

2

又也满足上式，

n+1

方法锦囊》由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a0+i=a“+f(〃)或a,+i=

An)•a,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上

面两类数列的通项公式，如第(2)题.注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式

的等价变形，转化为特殊数列求通项.

【训练3】⑴在数列｛a｝中,切=1,前〃项和$=用三&.求｛4｝的通项公式.

O

⑵已知国=1,a〃+i=3<a〃+2,求

解⑴由题设知,囱=1.

w,〃+2/?+1

7J1H'J,3n=Sn-5L-1=-~-cifl-—~~cin-1.

OO

.&〃+1

•二=^1・

3n3,-\as改力+1n43nn+1

..&=---•7-t,•一•a尸7XoX-••X-XyXl=----—

Qn—ia/j—2a2a\n-1n~2.

(2)丁区+i=3&+2,a〃+i+l=3(a,+1),

,色生1=3,.•.数列仿〃+1｝是以4+l=2为首项，公比g=3的等比数歹U，

&十1

；・a+1=2•3"I:・an=2•31—1.

03」揭秘a年高考权威解读真题展示

对应学生

82~

规范解答9——高考中对S,与a的关系的考查

【命题研究】一知a“与S的关系式求通项公式是高考中的常见题型，既可以考选择、填

空题，也可以考解答题.就考查形式来看，有些题目很容易看出4与S的关系式，但有

时可能需要我们去抽象出一个新数列的和与项之间的关系，比如@+2全+38+…+〃③

=),此时我们可以把卜一式看成数列｛〃%｝的前〃项和为方来求解.

【真题探究】》(木小题满分14分)(2012•广东)设数列｛a,,｝的前〃项和为$,数列｛$｝

的前〃项和为北，满足A=2S-〃2,〃eN*.

(1)求国的值;

(2)求数列｛&｝的通项公式.

［教你审题］第1步赋值〃=1,可求以；

第2步当〃22时,由S,=7L—7；-,a,=S—S-找出与劣的关系式；

第3步变形.

［规范解答］解⑴令〃=1时，7；=2S—1,

**,7i—6i=—2Si—1,=(2分)

⑵当〃22时，7；T=2S,T—(“一I)',

则S“=T„—Tn-\=2Sn~n-［2Sn-i—［n—1)'］

=2(S,—S,-i)—2〃+\—2a„—2n+1.

因为当n=1时，&i=S=l也满足上式，

所以S,=2a„—2〃+l(〃》1),(8分)

当时，Sn-i—2an-t—2(n—1)+1

两式相减得a„=2a,；—2a,r-1—2,

所以a"=2a”-i+2(〃22),所以&+2=2(a-i+2),

因为ai+2=3r0,

所以数列｛a+2｝是以3为首项，公比为2的等比数列.

所以a〃+2=3X2"T,.*.a“=3X2"T-2,

当〃=1时也满足上式；

所以a“=3X2"7-2.(14分)

［阅卷老师手记］(1)有的考生思维定势，只会使用&=£一S-("22),未想到S“=T"一

*(介2)致使出错;

(2)在使用a“=S-S一求a时，不少考生漏掉了这一前提条件，有的对〃=1的情

况也没有验证，应引起注意.

模板构建》解决由S与a的关系求&问题的步骤可归纳为：

第一步：令〃=1,由S,=f(a〃)求出国；

第二步：令〃》2,构造a“=S—S-i,用当代换SL或用S—S-i代换当,这要结合

题目特点)，由递推关系求通项；

第三步：验证当〃=1时的结论适合当〃，2时的结论；

如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示；

第四步：写出明确规范的答案；

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点，易忽略对〃=1和

分两类进行讨论，同时易忽视结论中对二者的合并.

3

【试一试】在数列｛a｝中，51=1,前〃项和为S,且S+1=]S+1（〃£N"）,求数列｛4｝

的通项公式.

33

解由S+i=：S+l,知当〃22时，，S=5&-i+l,

••S+1-s=5（s：-SJ-I）f

日口3.—+i3

即4+i=7；a〃，・・---=小

23n2

3

由a=L得$=:囱+1=&+4，

.3.&3

=

・・氏=：2，--aT29-

二数列｛a,,｝是首项为1,公比为楙的等比数列.

041限时规范训练■眇梯训练能大型L

对应学生

~273

A级基础演练（时间：30分钟满分:55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

=

1.在数歹（!｛4｝中，功=1,4=5,3n+2dn+l—（〃仁N*）,则000等于（）.

A.1B.-1C.2D.0

解析法一由a=l,4=5,&+2=a+1一aN*）,可得该数列为1,5,4,—1,—5,

—4,1,5,4,•••.

由此可得此数列周期为6,故4。。=—1.

法.&+2=品+1-a”&+3=品+2-8计1，

两式相加可得4+3=-Hn,3n+f）=3nf

••dlOO=dl6X6+4=既=-1.

答案B

2.已知£是数列｛a〃｝的前〃项和，S,+S+I=&+K/7GN*）,则此数列是（）.

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

解析,.,S+$+i=a„+i,.,.当时，Sn-i+S„—a„.

两式相减得a“+a„+i=a„+i—a,„a„=0(〃22).

当n~-1时，<31+(3\+<32)==32f・•4=0,

・・・a〃=O(〃eN*),故选C.

答案C

3.(2013•北京朝阳区一模)已知数列｛4｝的前〃项和为S,且S=2a—1(〃£N*),则次=

().

A.-16B.16C.31D.32

解析当刀=1时，S=&=2&-1,=1,

又ST=2AT—1(z?22),/.Sn—Sn-｝=an=2(an—an-1).

・,•工=2.，a=lX2"T,・・・&=2'=16・

3n—1

答案B

4.（2013•山东省实验中学测试）将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为梯形

数，根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差即aOH-5=（）.

A.2020X2012B.2020X2013

C.1010X2012D.1010X2013

解析结合图形可知，该数列的第〃项a=2+3+4+…+（〃+2）.所以念。“-5=4+5

4----卜2016=2013X1010.故选D.

答案D

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.数列｛a〃｝的通项公式为=-4+10/;+11,则该数列前项的和最大.

解析易知&=20>0,显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求

数列｛a｝的最末一个非负项.令a“却,则一〃'+10〃+1120,-1W.W11,可见，当〃

=11时，311=0,故a”是最后一个正项，a“=0,故前10或11项和最大.

答案10或11

6.（2013•杭州调研）已知数列｛a｝满足4=1,且a,,=〃（a.+i-a”）（〃CN*）,则a?=；

a„—

a„+\n+1

解析由3n=n(,3n+i-a),可得

a„n

3.n—13〃-2或nn—1n—22,

则a产&■---------•-----------a\=-----rX------X------X•••XrX1=7?,•.4=2,4=〃.

3，n—I一？a-3an—\n—2/?—31

答案2〃

三、解答题（共25分）

7.（12分）在数列｛a｝中，ai=l,白金=:为一i+J（〃22）,求｛&J的通项公式.

1Li4力

解•.*a”=；a-i+4("22),

1•乙4J

・.a〃=34—1+4,•・a〃+2=3(a〃-i+2).

又向+2=3,故数列｛4+2｝是首项为3,公比为3的等比数列.・・・a+2=3〃，

即a=3"-2.

8.(13分)(2013•西安质检)若数列｛&｝的前〃项和为S”且满足a+2ssi=0(〃22),a

=2,

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列｛a｝的通项公式.

(1)证明当时，由&+25$7=0,

得S,—S-=-2SST,所以9一，一=2,

又9=工=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.

5ia

(2)解由(1)可得g=2〃，

5nZn

当〃22时，

___1_]________n—\~n_____]

&=S「--产场刀一1=2刀〃_]=~2nn-1,

当〃=1时，句不适合上式.

fl

.27=1,

故&=<]

-7---------；-,〃22・

I2nn—1

B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.在数列｛为｝中，若矛1=1,Xn+1=1，则至013=().

为+1

11

A.-1B.—­C.-D.1

解析将小=1代入乂+】=—1,得*2=一再将及代入为+1=—^77—1,

XnI1LiXnI1

得*3=1,所以数列区｝的周期为2,故X2O13=X1=1.

答案D

2.定义运算“*”，对任意a,6£R,满足①赤。=/;*3；②a*O=a；(3)(d*，)*c=c*(d6)+

(界c)+(c*b).设数列｛&｝的通项为品=建4(),则数列｛a｝为().

n

A.等差数列B.等比数列

C.递增数列D.递减数列

解析由题意知&=(/7^*0=0]〃・：+(??*0)+['))=1+/?+：,显然数列｛4｝

既不是等差数列也不是等比数列；又函数y=x+：在[1,+8)上为增函数，

所以数列储,,｝为递增数列.

答案C

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.(2013•合肥模拟)已知/Q)为偶函数，/•(2+x)=f(2—x),当一2W后0时，f(*)=2',

若〃eN*,a=/(〃)，则&oi3=_____.

解析・・・F(x)为偶函数，，/.(x)=f(—才)，

/.f(x+2)=f(2—x)=f(x—2).

故/，(x)周期为4,

・・・&O】3=F(2013)=AD=/(—1)=2~'=1.

答案2

3—ax—3xv7

4.(2012•太原调研)设函数f(x)=i-，数列｛&｝满足a=F(〃)，ne

[a,x>l,

N*,且数列｛&｝是递增数列，则实数a的取值范围是.

解析；数列匕“｝是递增数列，又a,产/•5)(〃©N*),

3—a〉0,

a>l,=>2<a<3.

8>f7

答案⑵3)

三、解答题(共25分)

5.(12分)(2013•杭州模拟)设数列｛a｝的前〃项和为S,.已知d=a(ar3),a”+i=S,+3",n

GN*.

(1)设b十S“T”,求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a“+i2a„,/?eN\求a的取值范围.

解(1)依题意，S+i—S=&+i=S+3",

即S,+i=2S,+3",由此得S,+i-3"+i=2(S=3"),

又S—3'=a—3(aW3),故数列｛S「3"｝是首项为a—3,公比为2的等比数列，

因此，所求通项公式为4=S-3"=(a-3)2"T,/7FN*.

(2)由(1)知S=3"+(a-3)2"7,

于是，当时，&=5一£一尸3"+(。-3)2"7—3"-1一(@-3)2"7=2乂3"-'+3-3)2"-2,

当〃=1时，a\—a不适合上式，

Ja,/i=1,

故『2X3"-/a-32”T,庐2.

5/H-I—a〃=4X3"』(a—3)2""

=2〃一112・(|)T+a—3,

当〃22时，。「'+<3—320<=>82—9.

又32~~H-3>ai.

综上，所求的a的取值范围是［-9,+8).

6.(13分)(2012•山东)在等差数列｛a“｝中，a+a+a=84,a=73.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)对任意4*,将数列｛aj中落入区间(9“9与内的项的个数记为求数

歹IJ伉｝的前小项和S国.

解(1)因为｛a｝是一个等差数列，

所以aiH-a.5=3ai=84,即ai=28.

设数列｛aj的公差为d,则54&一&=73-28=45,故d=9.

由a=d+3"得28=4+3X9,即4=1.

所以a„—a\+(/?—1)1+9(n—1)=9〃-8(/?GN*).

(2)对勿GN*,若9ya”<9”,

则9"+8<9〃<92"+8,因此9"T+1W〃W92I,

故得儿=921一旷’.

于是Sr=力+囱+/>■!+…+6”

=(9+94…+9?i)-(1+9+…+D

9X1—8、1一9"

1-811-9

产一］0X951

80

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片-、文档等各种电子资源见《创新设

计•高考总复习》光盘中内容.

第2讲等差数列及其前〃项和

【2014年高考会这样考】

1.考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前〃项和公式解决等差数列的问题.

2.在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题.

»抓住4个考点必考必记夯基固本

对应学生

83~

考点梳理

1.等差数列的定义

如果一个数列从第幺项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母之表示.

数学语言表达式：a--a,,=d(〃GN*),d为常数.

2.等差数列的通项公式

(1)设等差数列｛&｝的首项是a”公差是d,则其通项公式为a,,=〃+(〃-1)》

(2)通项公式的推广：&=&+(〃一加)d(〃,勿£N*).

3.等差数列的前〃项和公式

na\+ann—1

S,—ft=〃旬'2d.

4.等差数列及前〃项和的性质

o-L

(1)如果4==，则力叫做a,6的等差中项.

(2)若｛aj为等差数列，且而+z?=〃+q,则a"+a〃=a,,+a“(必,n,p,geN*).

(3)若｛a｝是等差数列，公差为4贝Ua,a+•,a+加，…(k，wGN*)是公差为型的等差数

歹11.

(4)数列1$»,SILS.,S.一£»,…也是等差数列.

(5)SL尸(2/?—l)a„.

(6)若〃为偶数，贝US偈一S布=竽；

若n为奇数,则SLS产a中(中间项).

【助学•微博】

•个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前〃项和公式：

S,—ai+a+asH----Fa”①

Sn=an+----1-51,②

①+②得:S.=n寸.

两种方法

等差数列的两种证明方法：

(1)定义法：证明&+1一&="或a-&—i=d(〃22)；

(2)中项公式法：证明2a=a+1+&-](〃22).

提醒：以上两种证明方法的关键是〃的范围，即是否包括了比一国也是相同的常数.

考点自测

1.已知｛a｝为等差数列，4+备=12,则备等于().

A.4B.5C.6D.7

解析4+叁=2今，**•^)—6.

答案C

2.(2011•江西)已知数列｛a｝的前〃项和S满足:5+£=备用,且a=l.那么a(>=().

A.1B.9C.10D.55

解析由S+£=S+e,得S+S=S()naio=So—W=S=a=L

答案A

3.(2012•重庆)在等差数列｛a｝中，4=1,4=5,贝心为｝的前5项和&=().

A.7B.15C.20D.25

5—1

解析数列｛a｝的公差"=h=2,则a=-1,a=7,可得W=15,选B.

答案B

4.(2011•全国)设S为等差数列｛a｝的前〃项和，若国=1,公差d=2,£+2—£=24,

则〃=().

A.8B.7C.6D.5

解析由5I=L公差d=2得通项a〃=2〃-1,又S+2—S=&+i+&+2,所以2k+l+2k

+3=24,得k=5.

答案D

5.(2012•广东)已知递增的等差数列｛a｝满足a=l,我=m—4,则为=.

[<21=b

解析设等差数列｛a｝的公差为4由已知得,,

1&=a\+a2—4,

d]=1,C4=1,

即「一一,2』解得」…由于等差数列｛&｝是递增的等差数列，因

,l+2rf=\+d—4,[d=±2.

a=1,

此，

d=2,

所以&=&+(77—1)d=2n—l.

答案2/7-1

»突破3个考向研析案例考向突破

对应学生

83

考向一等差数列的判定与证明

【例1】》(2012•陕西)设｛a〃｝是公比不为1的等比数列，其前〃项和为S,且如&,

&成等差数列.

(1)求数列｛a｝的公比；

(2)证明：对任意AGN+,S+2,S,成等差数列.

［审题视点］(1)利用等差数列的定义得到关系式2a3=a5+a”代入等比数列的通项公式

求得9；(2)利用等差数列的判断方法进行证明.

(1)M设数列面,｝的公比为gSWO,gWl),

由金，a-i,&成等差数列，得2a：；=&+&,

即2ai/=aq'+aM,

由。［#0,4^0得g?+Q—2—0,解得q=-2,Q=1(舍去)，所以Q——2,.

⑵证明法一对任意AGN+,

S+z+S+i—2£=(S+2—£)+(5i+i—£)

=a*+1+a*+2+a*+1

=2a*+i+a*+i•(—2)=0,

所以，对任意AGN+,6+2,S,S+i成等差数歹I.

法二对任意回+,2"包/

士［2(E-

含(，+T)=°,

因此，对任意x£N+,£+2,£,£+1成等差数列.

方法锦囊》等差数列的判定方法有以下四种：

⑴定义法：as-a产d(常数)(〃GN*)；(2)等差中项法：2/+尸a.+a+2(〃GN*)；⑶通

项公式法：a„=an-\-b｛a,5是常数，〃eN*)；(4)前〃项和公式法：S„=an+bn(a,b为

常数).但如果要证明•个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.

311

【训练1】在数列｛a｝中，d=£,a=2一一(〃22,AGN*),数列｛4｝满足4=-7(/7

a„-ia„—1

GN*).

(1)求证：数列｛4｝是等差数列；

(2)求数列3,,｝中的最大项和最小项，并说明理由.

(1)证明Va„—2——(/?>2,〃GN*),b„——.

cln—13，n1

113n—l1

2c.1A*1-1di-1an-i-l

又4=日i5

2,

5

.••数列｛&｝是以一5为首项，1为公差的等差数列.

712

(2)解由(1)知，b„—n--,则为=1+工=1+^---

乙bnAn—(

2

设函数AX)=1+5三，

易知/U)在区间(一8,习和E+8］内均为减函数.

二结合函数f(x)的图象可得，当〃=3时，a,,取得最小值一1；当〃=4时，a“取得最大值

3.

考向二等差数列基本量的求解

【例2】》设&,d为实数，首项为a，公差为d的等差数列｛a,,｝的前〃项和为S,满足

W&+15=0.

⑴若(=5,求&及a；

⑵求d的取值范围.

［审题视点］第(1)问建立首项&与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项国与公差d的

方程，利用完全平方公式求范围.

一15

解(1)由题意知&=~7-=—3,戊=&-1S=-8,

05

[5ai+10^5,

所以

瓜+54=-8.

解得&=7,所以S=—3,51=7.

(2)因为W&+15=0,所以(5a+10"(6向+154+15=0,即24+9力】+10/+1=0,

故(4国+9由2=——8,所以才28.

故d的取值范围是(-8,-272]U[2^2,+8).

方造鲤2(1)等差数列的通项公式及前〃项和公式，共涉及五个量国，&,d,n,S”知

其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.

(2)数列的通项公式和前。项和公式在解题中起到变量代换作用，而a和d是等差数列的

两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

【训练2】(2011•福建)在等差数列｛a｝中,a=1,a=-3.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

⑵若数列｛4｝的前左项和$=-35,求女的值.

解(1)设等差数列的〃｝的公差为d,则a=a+(〃-1)4

山a=l,,=—3,可得l+2d=-3.

解得rf=-2.从而，1+(4一1)X(―2)=3—2刀.

(2)由⑴可知&=3-2〃

「匚l、lC〃[1+3—2/7]C

所以Sn==2〃-n2.

进而由£=—35可得2k—我=-35.

即炉一24—35=0,解得k=l或A=-5.

又女£N+,故衣=7为所求.

考向三等差数列及前〃项和性质的应用

【例3】》在等差数列｛a｝中：

(1)若囱+句7=20,求So；

⑵若共有〃项，且前四项之和为21,后四项之和为67,前〃项和5=286,求〃.

[审题视点]利用前〃项和公式s,="及等差数列的性质:若m+n=p+q,则

%+an=aP+为解题.

解(1)由等差数列的性质知己+骸=a+g，

20/i、20/।、20

/.So=—(<31+520)=­(Si+<317)=—X20=200.

=

(2)依题意知：句+&2+京+4=21,an-\-asr-1+afl-2+afl-367.

由等差数列的性质知：＜31+a=a2+an~\=痣+an-2=a+a—3,工4(a+a》=88,a+an

=22.

n/7i+z/,.nX22.

又Sn—1-),L、|J286—,,，»•n—26.

方法锦春》一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质

运用的条件，如"+〃=夕+仍则&+a=&+/(%，〃，p,g£N*),需要当序号之和相等、

项数相同时才成立.

【训练3】(1)已知等差数列｛&｝中，&=9,&=36,则4+a+徐=.

(2)已知等差数列｛&J中，企2=-16,囱+呆=0,则其刀项和S,=________.

解析(1),・,｛4｝为等差数列，

:&—S,$一关成等差数列，

/.2(&—W)=W+(£—W).

.•・己7+呆+4=5)—W=2($—W)—53=2(36—9)—9=45.

(2)因为为+a=&+2,则铀&=-16,为+&=0,

所以必=4,4=-2或8=-4,d=2.

所以数列的前刀项和是9〃或S=一万'+9〃.

答案(1)45(2)//—9〃或一4+9〃

03»揭秘3年高考权威解送真题展乏

对应学生

84

方法优化8——整体思想在等差数列解题中的应用

【命题研究】通过近三年的高考试题分析，考查等差数列的定义与性质、通项公式、前

〃项和公式，其中常常将求和公式S=2咛^与等差数列的性质“若m+n=p+q,

则&+a=%+&”结合来命题，考查形式主要是选择题、填空题，难度为中等.

【真题探究】＞(2012•辽宁)在等差数列｛a｝中，已知a,+a=16,则该数列前11项和

■Sit—().

A.58B.88C.143D.176

［教你审题］思路1求出首项与公差的关系式,再代入前〃项和公式.

思路2利用等差数列的性质从整体上求解.

［•般解法］设数列｛a/的公差为〃，则囱+a=16,即ai+3d+&+7d=16,即国=8—

5d,所以$尸11&+旦夕坦d=n(8-5"+55d=88-55d+55d=88.

［优美解法］由科+旬］=&+戊=16,得

C11昂+外11&+a11X16ccwn

Si=2=2=2=88.siB.

［答案］B

［反思］优美解法就是突出了整体思想，整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要

求学生要灵活掌握等差数列的性质及其前〃项和公式.

【试一试】在等差数列｛4｝中，已知s=/»,s微=nt赭m,则$4•尸.

解析设｛4｝的公差为d,则由S=勿，£=〃，

n〃一1

S尸ns\+d=m,

①

得《

mm—1②

Sa=max+------------d=n.

m+n—l,

②一①得5r~h)ci\+—~——--------------•d=n—/n,

/n+n-1

m=rn,，a\+---------<7=—1.

.八7.x,m+n/n+n—1,

・・£+〃=\m+n)&+---------------------------d

=（加+n）（团+-------dj=—（7+n）.

答案一（〃/+〃）

M1限时规范见练打梯训练能力提过

对应学生

-275~

A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2012•福建）等差数列｛4｝中，"+桀=10,a产7,则数列｛4｝的公差为（）.

A.1B.2C.3D.4

解析在等差数列｛&J中，•.•@+徐=10.・・.2念=10,・・.a=5,又囱=7,，所求公差为

2.

答案B

2.（2013•山东实验中学诊断）设S为等差数列｛4｝的前〃项和，已知4+2+外=6,那么

5»=（）.

A.2B.8C.18D.36

解析设等差数列的公差为4则由2+四+&|=6,可得3国+124=6,.•・必+4d=2=金.

4+口9X9

r---=9悬=9义2=18.

答案C

3.已知｛&｝为等差数列，@+&+a=105,4+4+8=99,则骸等于（）.

A,-1B.1C.3D.7

解析两式相减，可得3rf=-6,d=-2.由已知可得3主=105,与=35,所以念o=a+

17d=35+17义（-2）=1.

答案B

4.（2012•东北三校一模）在等差数列｛&｝中，S5>0,S6<0,则使&,>0成立的〃的最大值为

（）.

A.6B.7C.8D.9

解析依题意得Sy-a”=15国>0,即备>0；Sei「厂=8（a,+a16）=8（备

+ag）〈0,即匈+&<0,加〈一备<0.因此使4>0成立的〃的最大值是8,选C.

答案C

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.（2012•江西）设数歹（HaJ,｛4｝都是等差数列，若a十打=7,&+