第09讲 空间几何体的结构与直观图高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

第09讲空间几何体的结构与直观图（核心考点讲与练）

1.空间几何体的结构特征

（D多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

A

D1D'

图形

ABSAB

AB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点,但不一定相

侧棱平行且相等延长线交于一点

等

侧面形状平行四边形三角形梯形

（2）旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

a厦

图形

1

互相平行且相等，

母线相交于一点延长线交于一点

垂直于底面

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形回

侧面展开

矩形扇形扇环

图

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

E£

侧面展开图缁/£jA//21r用

侧面积公式S圆柱侧=2nriS或锥恻=兀rlS例］台例=n（方+热）1

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何

柱体

S表面积=S侧+2S底V=s&h

（棱柱和圆柱）

锥体

S表面积=SRIJ+S底

（棱锥和圆锥）O

台体

，=；（s上+S下+4鬲）力

S表面积=S（w+S上+S下

（棱台和圆台）O

仁尹4〃.

球S=4冗♦

3—

题型一：柱体

一、单选题

1.（2021・上海•位育中学高二期中）给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得

到四面体、四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（）

A.五棱柱、七面体B.五棱柱、六棱锥

C.六棱锥、七面体D.以上答案都不正确

【答案】A

【分析】根据正方体的几何结构特征，分别取46,4。，4张4口的中点££昂不即可得

到一个直五棱柱，即可求解.

【详解】如图所示,分别取耳,AR的中点E,F,E“K，

分别连接EEE&,尸&与K，

可得几何体BCDFE-B£RF昌为一个直五棱柱，且为七面体.

故选：A.

2.（2021・上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的是（）

A.棱柱的所有侧面都是平行四边形

B.将矩形ABC。绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；

C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；

D.将直角三角形AOB绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.

【答案】D

【分析】由棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确；

对于B：由圆柱的定义得将矩形A8CZ）绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱，故B

正确；

对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确；

对于D：将直角三角形AOB绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确，

所以假命题的是D选项，

故选：D.

3.（2021.上海市建平中学高二期中）以下关于多面体的命题种，真命题为（）

A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥

B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱

C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体

D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体

【答案】A

【分析】直接利用正棱柱和正棱锥体的定义判定A、B、C、D即可得出答案.

【详解】解：对于A：所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥，故A正确；

对于B：所有侧面均为正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定为正方形，故B错

误；

对于C：所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体，也可能为正四棱锥，故C错误；

对于D：所有侧面均为正方形的多面体是直棱柱，故D错误.

故选：A.

4.（2021・上海市进才中学高二期中）下列四种说法中：

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的儿何体叫棱柱：

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.

正确的个数是（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】A

【分析】直接根据棱柱的定义，平面图形和直观图的应用，圆锥的定义即可判断出正误.

【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相

平行，

这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足①中条件，却不是棱柱；故①错误；

对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边

形，故②错误；

对于③，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故③错误.

故选：A.

5.（2021.上海市实验学校高二期中）如图，为正方体，任作平面a与对角

线AC'垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S,

周长为/,则（）

A.S为定值，/不为定值

B.S不为定值，/为定值

C.S与/均为定值

D.S与/均不为定值

【答案】B

【分析】将正方体切去两个正三棱锥A-ABD与C-DBC后，得到一个以平行平面4比＞与

QZ.C为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一

条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱4否剪开，展开在一个平面上，得到

一个平行四边形A2£A，考查E'的位置，确定5」

【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥A-A'BD与C'-O'B'C后，得到一个以平行平面

A'BO与DAC为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W

的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱4Z’剪开,展开在一个平面上,

得到•个平行四边形A88M，如图所示

B'CC'Bi

E'K

D4

而多边形W的周界展开后便成为一条与A'A平行的线段（如图中E&）,显然，EE]=AAt,

所以/为定值，

当E.位于A乃中点时，多边形W为正六边形，而当E'称到A,时，卬为正三角形，则当周长

这定值/的正六边形与正三角形面积分别为且尸，丑尸，所以S不是定值，

2436

故选：B

6.（2021•上海市第三女子中学高二期末）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于

底面的四棱锥为阳马，设AA是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为

顶点，以4A为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】先找出包含AA的底面矩形，再根据图形特征，逐个计数即可.

【详解】如图，

DA

若包含AA,的底面矩形为AAA。，则顶点可以从5,4，G，c中选取，故有四个不同的

阳马；

若包含AA的底面矩形为44出田，则顶点可以从C1,c,。中选取，故有四个不同的

阳马；

若包含刈的底面矩形为A4,£C，则从8，4，Dt,。中任取一个作为顶点，都不符合阳

马，故舍去.

综上可知，以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个.

故选：B.

7.（2021・上海•曹杨二中高二期末）在如图所示的棱长为20的正方体ABC。-ABCR中，

点M为C。的中点，点P在侧面AORA上，且到4Q的距离为6,到4A的距离为5,则过

点尸且与AM垂直的正方体截面的形状是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】B

【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求

解.

【详解】如图所示，过点尸作E/〃AR分别交4%力。丁点E,尸，因为4R_LA。，可得

EF,

在正方体48C£）-A81GA中，C£>_L平面AORA，所以EFLCD

又CODA。=。，所以平面MDA,,A,Dc平面MD\，所以A。1EF

过户作PK_LAA交于AQ点K，则PK=6,设XF=x

FKKPx6

则AE=AF,所以高-=——,即——=--,511]x=6

E4,A^EA^EA^F

所以A1K+KF=5+6=11

在正方形A4GA中，取G"的中点连接何।

则VAMR与VZ）£N,则N04M=ND[C]

所以NNRM]+=NNDM+ZDiAiMi=90。.即人陷1D、N

取8c的中点N,过尸作尸”//。。交友G于点“，连接D,N,则AM】J.FH

又M%_L平面所以MMJL/77.由MMcAM=陷

所以尸“_L平面A幽幽，所以

又EFcFH=F,所以AMI平面EFH

连接8G，过H作HG//Bq,由BCJ/AA,则//FE,所以HG//FE（且HGwFE）

连接EG,则四边形瓦HG为梯形，所以平面EFHG

所以截面的形状为四边形边形比HG.

故选：B.

8.（2021•上海青浦•高二期末）如图，正方体ABC。-A内GR中，E、尸分别是AB、8C的

中点，过点2、E、f的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为

KM（乂<%），则匕：匕=（）

【答案】C

【分析】如图所示，过点。，E,尸的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个

小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.

【详解】

设正方体的棱长为2a,

则过点O1，E,F的截面下方体积为：v；=y^-3a-3a-2a-1-aa^-2=^a3,

2547

••.另一部分体积为V2=8/-乎3=力3,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了几何的割补问题，还考查了空间想象的能力，属于中档题.

二、填空题

9.（2021•上海・闵行中学高二期中）①直四棱柱一定是长方体；

②正方体一定是正四棱柱；

③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；

④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

⑤直棱柱的侧棱长与高相等；

以上说法中正确的命题有（写出正确的命题序号）

【答案】②④⑤

【分析】根据直棱柱、正四棱柱、平行六面体的概念和结构特征依次判断①②③④⑤，即可

得正确答案.

【详解】①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.

底面如果不是长方形或正方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；

②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱,

但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；

③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱

柱，故③错误；

④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，

所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；

⑤直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑤正确.

故答案为：②④⑤.

10.（2021•上海市西南位育中学高二期中）在直三棱柱中，

NAC3=9O°,AC=12,3C=CG=2VL点尸是直线BG上一动点，则AP+PC的最小值是

【答案】10>/2

【分析】连接AB,沿将△CBG展开与VA8G在同一个平面内，在BG上取一点与4c

构成三角形，由三角形两边之和大于第三边，可知4尸+PC的最小值是AC的连线，再利用

余弦定理可得解.

【详解】连接沿8孰将△CBG展开与VABG在同一个平面内，在5c上取一点与AC

构成三角形，

由三角形两边之和大于第三边，可知AP+PC的最小值是AC的连线，

因为直二棱柱ABC-AB|G中，ZACB=90.AC=12,BC=CC,-2A/2,

所以矩形BCQB,是边长为2夜的正方形，则8G=4,

又在矩形48瓦4中，AB\=AB=2BB1=2叵,则48=4后，

XA.C,2+BC-=A.B2,所以NA£B=900,!）li]Z4C,C=135°,

在VAC1C=135°中，利用余弦定理可得：AC|=JAC：+C。-2AG•£Ccosl35°

=^122+（272）2-2xl2x2>/2cosl350=10^

故答案为：10®

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了棱柱的结构特征及两点之间的距离公式，其中将

△C3G沿BC,展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间的距离公式的问题是解答的

关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

11.（2021.上海市延安中学高二期中）如图，长方体ABCD-A4GQ中，AB=4,BC=10,

M=3,P为AB上的一个动点，则AP+PC的最小值为.

【答案】2屈

（分析】将半平面AR4,沿\B翻折到EBA且平面EBA,与平面ABC。位于同一平面,连接EC

与A出交于点P,此时EC即为AP+PC的最小值，再利用余弦定理求出EC即可；

【详解】解：如图

5G

为

C

AB

将半平面ABA,沿AtB翻折到EB4且平面EBA,与平面A^BCD,位于同一平面，截面图如下所

示：连接EC与AB交于点尸，此时EC即为AP+PC的最小值，

22

因为钻=4,BC=10,AA=3,所以EB=4,A,B=y/AAl+AB=5,sin=^=|,

3

所以cosNEBC=cos(NABE+90°)=-sin4BE=-g

所以EC?=@+BC?-2BE•8CcosNEBC=4?+10?-2x4x10x(-J164

所以EC=2"7

故答案为：2向

12.（2021.上海市控江中学高二期中）在棱长为6的正方体ABCD-A8Gq中，E是棱A8

的中点，过E2G作正方体的截面，则该截面的面积是.

Q1

【答案】y

【分析】先确定截面为等腰梯形。E^G，画出平面图形CE尸G，计算即得解.

【详解】如图，在正方体ABCD-A4GA中，E是棱AB的中点，过E,D，G作正方体的截

面为等腰梯形DEFC-画出平面图形DEFG,过点E作E”J_£>G,垂足为H.

因为6。=6Q，EF=3日DE=GF=*，所以竽，

所以截面。"G的面积为J_（6夜+3忘）=出

222

0I

故答案为：—

13.（2021・上海•复旦附中高二期中）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（O<x<l）

的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的某条对角线，则液面边界周长的最小值为

【答案】2石

【分析】根据正方体的截面性质，将AAGA绕GR旋转1时，根据两点间线段最短求得

即可.

【详解】解：当液面过。与0寸，截面为四边形4N0G,将AB©、绕CQ,旋转此时

与N=8；N如图所示：

则DN+B\N=DN+B：N>DB：=V1+4=#）,当DNB：共线时等号成立，

故周长最小值为（QN0cz“=2（07+4'q“而=2石.

故答案为：2小.

【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的空间想象力和计算能力，属于中档

题.

14.（2021•上海•位育中学高二期中）已知长方体的表面积为24cm一过同一顶点的三条棱

长之和为6cm,则它的对角线的长为cm.

【答案】26

【分析】设出长宽高，表示出表面积和棱长之和，得到关系式即可求解.

【详解】设长方体的长、宽、高分别为“，b,c,

则由图可得+b（：:砒）一24,可得/*从+C2=]2,

所以长方体的体对角线为，？+万+C?=26■

故答案为：2G.

15.（2021.上海徐汇.高二期末）如图，在正四棱柱A8CO-A4CQ中，AB=\,例=6,

点E为AB上的动点，则RE+CE的最小值为.

【答案】M

【解析】将平面ABGR与平面相8延展至同•平面，由C、E、2三点共线可求得

RE+CE的最小值.

【详解】如下图所示，将平面ABGP与平面"CD延展至同一平面,

:CD=\,山勾股定理可得CR=J『+32=713.

由图形可知，当c、E、。三点共线时，OE+CE取得最小值

故答案为：M.

【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一

平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

三、解答题

16.(2021•上海宝山•高二期末)如图，在正四棱柱ABC。-AEG。中，AB=2,CC,=4,

M为棱Bq的中点

(i)求三棱锥M-AAA的体积；

(2)求直线与平面A/G2所成角的正弦值.

【答案】3)(2)走.

33

【分析】⑴在正四棱柱ABC。-ABC闽中求出点M到平面ADRA的距离即可作答;

(2)连8d,证得是直线RM与平面所成角，再经计算即得.

【详解】(1)在正四棱柱ABC。-44GA中，连AM,如图，

AB，平面ADDA，平面ADDA,则棱8片的中点M到平面AAA的距离就是

AB=2,

所以%-他4至出0]，AB=1-4-2・2=]；

3312Jo3

(2)在正四棱柱ABCO-AAGR中，84，平面4q62,连8Q，

则B画是RM在平面AAGR内射影，/MC4是直线与平面所成的角,

而AB=2,CG=4,则=20,

因此，在R/AA〃)4中，RM="*：+8m2="20『+22=26,

Px.DBtM26

十ZBE得asinNMD[8]==—尸=--，

所以直线RM与平面ABCQ所成角的正弦值为立.

3

题型二：棱锥

一、单选题

1.（2021.上海.华师大二附中高二期中）几何体「的表面上有三条线段AB、CD、EF,有

AB.CD、E厂所在直线两两异面，则在①棱柱；②棱锥；③圆柱；④圆锥；⑤球中，「有

可能是（）

A.①®@B.①②④C.①③④D.③©©

【答案】A

【分析】根据异面直线的定义以及几何体的结构特征即可求解.

【详解】由图可知，「有可能是棱柱，

由图可知，「有可能是棱锥,

由图可知，r有可能是圆柱,

由于圆锥侧面上的直线都相交于一点，

所以不可能存在三条两两异面的直线，故r不可能为圆锥；

球的表面不存在直线，故故r不可能为球.

故选：A

2.（2021•上海市延安中学高二期末）下列结论正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.所有几何体的表面都能展开成平面图形

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥

D.一个直角三角形绕一边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥

【答案】C

【分析】对于A、B、D举出反例即可判断，C选项假设正六棱锥，推出矛盾即可.

【详解】A：如图，各个面均是三角形，但不是三棱锥，故A错误；

B：球不能展开为平面图形，故B错误；

C：若六棱锥的所有棱长都相等，则底面是正六边形，由过中心和顶点的截面可知，若以正

六边形为底面，侧棱长必然大于底面的边长，所以该棱锥不可能是正六棱锥，故C正确；

D：直角三角形绕其斜边旋转一周形成的几何体是一个由两个圆锥构成的组合体，故D错误,

3.（2021.上海.闵行中学高二期中）在棱长均为2G的正四面体A8C。中，M为AC中点，

E为A3中点，P是。0上的动点，。是平面ECZ）上的动点，则AP+PQ的最小值是（）

A.色坟1B.百+亚C.->/3D.2G

24

【答案】A

【解析】在正四面体A8C3中，由AB_L平面找出DM在平面上的射影OG,再沿

DM展开平面ADM，使之与平面GDM重合,此时,AP+PQ的最小值即为点A到DG的距离,

最后，结合数据解三角形即可.

【详解】由题知，在正四面体A8CO中,E为A8中点，

ABLDE,ABLCE,

，AB_L平面CZ>£

设CE中点为G,连MG,

•.•M为AC中点，

：.MG//AE，且MGJAE=R

22

MGJ•平面COE,

£>G即为DM在平面COE上的射影，

沿DM展开平面ADM.使之与平面GDM重合，

此时.AP+PQ的最小值即为点A到0G的距离，

故过点A作AQLOG于点Q,

又DM=^AD'-AM-=3，

.人〜MG6人〜733

sinNMDG=-----=——,/.cosNMDG=，

MD66

・・・ZADM=30\

・•.sinZADQ=sin(ZADM+ZMDG)=—x^+叵x-=3+叵、

626212

A4Qc=AADn-sin/Z\.ADQ=c2VFi33+—>/3—3=G----+--A-/-F-T--,

故选:A.

【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题，需要学生有较强的空间想象和思维能力，综

合性较强.在解决此类最值问题时，一般采用侧面展开的形式，将立体问题转化为平面问题解

决.

二、填空题

4.（2021•上海市复兴高级中学高二期中）将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段,

使三段长分别为3cm、4cm、5cm,则原铁丝的两个端点之间的距离为cm.

【答案】5夜

【分析】将所折铁丝用空间几何体表示，可得各侧面均为直角三角形的三棱锥，进而求原铁

丝的两个端点之间的距离.

【详解】由题意，:段分别为AB=3cm,BC=4cm,CO=5cm,如卜图示，

AB±BC,BC±CD,ABLCD,又BC1AB=B,即00_1面48。,

又ACu面ABC,故CD_LAC,

AD=^AB'+BC'+CD1=5缶m-

故答案为：5五

5.（2021・上海•格致中学高二期中）已知在正四棱锥P-ABC。中，底面是边长为1的正方

形，棱锥的高为正，则该四棱锥的侧面积等于.

2

【答案】G

【分析】由正四棱锥的性质结合已知条件求出正四棱锥的侧棱长，可知其侧面为等边三角形,

从而求得侧面积.

【详解】如图，由正四棱锥的性质知，POJ•平面A3CO

在直角△POC中，尸。=等，co=；4+F=与,则尸+［等）=1

所以该正四棱锥的侧面为边长为1的等边三角形，

1n

所以侧血积S=4x—xlxlxsin60°=2x^^=>/3

22

故答案为：G

6.（2021•上海市宝山中学高二期中）在正四棱锥尸-A8CO中，底面A8c。的边长为4,侧

棱BP与底面所成角的大小为60。，则该四棱锥的高等于.

【答案】2能

【分析】根据正四棱锥的性质，将求高转化到一个直角三角形内求.

【详解】

设点在P在底面ABCD的投影为O.

根据正四棱锥的性质，。为AC和8。的交点，APOB为直角三角形，NPOB=90

由题意可知，ZPBO=60,BO=~BD=^x4y/2=2y/2.

22

所以正四棱锥P-4BC。的高，PO=tanZPBOOB=^x2V2=2>/6.

故答案为：2瓜

7.（2021•上海市进才中学高二期中）如图所示，在侧棱长为2分的正三棱锥V-A8C中,

ZAVB=ZBVC=ZCVA=40,过A作截面AEF,AAEF周长的最小值为.

【解析】将三棱锥V-ABC沿岩“4剪开，将侧面以8、VBC、心延展至同一平面，计算

出AA,的长，即为“回周长的最小值.

【详解】如图，将三棱锥V-A8C沿侧棱E4剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，

则线段4A的长即为所求AAEF的周长的最小值.

V

CB

取AA的中点O，连接VO,则丫£＞，M，ZAVD=60.

在中，AO=VA.sin60'=2后x且=3，则的=24。=6,

2

即AAEF周长的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或楼展开，转化为平面

上两点间的最短距离问题.

三、解答题

8.（2021•上海・高二专题练习）正四棱锥尸-"8的底面正方形边长是3,。是在底面上的

射影，PO=6,。是AC上的一点，过。且与小、BO都平行的截面为五边形

（1）在图中作出截面EFG）企，并写出作图过程；

（2）求该截面面积的最大值.

【答案】⑴见解析：（2）9.

【解析】（1）根据题意，作辅助线，过。作QG〃尸A且过点E作即//PA,交PB

于点尸，过点L作HL//PA交PD于点H,连接FG,GH,FH,即可得出截面EFGHZ,；

（2）由题意可知，PAH截EFGHL,即//截面EFGHL,根据PO_L平面ABCD,利用

线面垂宜的性质和判定，可证出B/）J.平面PAC,则比＞_LP4,进而得出EF_LEL,所以截

面EAG/也是由两个全等的直角梯形组成，设EQ=X,则QL=X,截面EAG/"面积为S,

根据S=（£F+QG）EQ,代入计算，最后利用二次函数求得最大值.

【详解】解：（1）山题可知，。是AC上的一点，过。且与24、30都平行的截面为五边形

EFGHL,

过。作矶//8O,交点E,交ADT点、L,

过。作QG///%,交PC于点G,

再过点E作所//P4,交PB于点、F,

过点L作HL//P4交尸。于点H,连接尸G,G〃,FH,

:.EF//PA,HL//PA,GQ//PA,

:.EF//HL//GQ,

所以E,EG,H,L共面，。日平面我/叱才比，

EL//BD,EZ,u平面EFGHL,

••5。//平面EFGHL,同理PA〃平面EFGHL.

所以过Q目.与PA、8。都平行的截面EFG乩如卜图:

(2)由题意可知，PA〃截面EFG/4，6£>//截面

PA//EF,PAUHL.PA//GQ,BD//EL,BD!IFH,

而。是在底面上的射影，PO=6,

.•.PO_L平面力BCD，BDLAC,

s.POLBD,且ACfW=O,

所以BO_L平面PAC,则8D_LB4,

:.EF±EL,

又•：FH//BD,P-MCD为正四棱锥，

PH=PF,故△PFG三△P”G,

于是GF=GH,

因此截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，

因EL//BD,则LAEL为等腰直角三角形，

设EQ=x,则。乙=》，

3&

EFBEOQ~^~x

所以，莉一诙=诟=?可，

-2~

EF=\--xPA,同理得，QG=l--xPA,

I3JI6J

又因为=JPO'+O*=2夜,

2

设截面ER%也面积为S,

所以S=（EF+QG）EQ=2x）呼x，

即：S=_/2+9&x=_|（x_0『+9,

当且仅当x=3时，S有最大值为9.

所以截面EFGHL的面积最大值为9.

【点睛】本题考查根据线面平面的性质进行作图和截面的面积最大值的求法，还涉及线面平

行和垂直的性质和判定定理，考查空间想象能力和计算能力.

题型三：棱台

一、单选题

1.(2021•上海•闵行中学高二期中)两个体积分别为匕，匕的几何体夹在两个平行平面之间，

任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，邑，则

”=匕"是"=5」的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由祖啕原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解.

【详解】解：根据祖晒原理，

①由5=邑，得到匕=%，二必要性成立，

②由匕=匕，则、，邑不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，..・充分性

不成立，

./=匕是5=星的必要不充分条件，

故选：B.

二、填空题

2.(2021•上海市控江中学高二期中)若正四棱台的上底边长为2,下底边长为8,高为4,

则它的侧面积为.

【答案】100

【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求

出斜高即可计算得解.

【详解】因正四棱台的上底边长为2,下底边长为8,高为4,则该正四棱台上底、下底面

边心距分别为1，4,

而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高”=〃2+(4-1)2=5,

因此，侧面积S=4x-^x5=100,

所以所求的侧面积为100.

故答案为：100

三、解答题

3.(2021.上海•曹杨二中高二阶段练习)如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm,

两底面对角线EG、EQ的长分别为14cm、62cm,水深为12cm.

(1)求正四棱台的体积；

(2)将一根40cm长的玻璃棒/放在容器中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GQ上，求

/没入水中部分的长度.(容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计)

【答案】(l)26176(cm》(2)20cm

【分析】(D根据题意，结合台体的体积公式，即可求出结果.

(2)设玻璃棒在GG上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NPLEG,交EG

于点P,过点E作EQ1Eg,交E,G,于点。，推导出EE£G为等腰梯形，求出耳。=24cm,

3

&E=40cm,由正弦定理求出sin/GEM=g,由此能求出玻璃棒/没入水中部分的长度.

(1)

解：由题意可知，下底面正方形的边长为美cm,上底面正方形的边长为趣cm,

所以下底面面积为£=(=98(cm2)，上底面的面积反=(卷]=1922(cm2).

又台体的高为32cm,

所以正四棱台的体积

V=1/2(S,+52+VV5；)=1X32X(98+1922+798x1922)=26176(cm3)

(2)解：设玻璃棒在GQ上的点为“，则EM=40cm,玻璃棒与水面的交点为N,在平面

EEG。中，过点N作NPLEG,交EG于点P,过点E作EQLE；。，交后£手点0,

•.•EFG”-EEGd为正四棱台，

EE]=GG],EG//gG[,EGwE^G},

E££G为等腰梯形，画出平面gGQ的平面图,

'/Eg=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP—12cm,

:.EQ=24cm,

2

由勾股定理得：EtE=yjE^+EQ=40cm,

443

...sinNEEG=-,sinNEGM=sinNEgG=-,cosNEGM

EMEG4014

根据正弦定理得：sinNEGM-sin/EMG'-4-sinZEMG，

5

724

「.sinNEMG=—,cos/EMG=——,

2525

「.sin/GEM=sin(ZEGM+/EMG)

3

=sinZEGMcosZEMG+cosZ.EGMsin/EMG=—,

5

5

.•.玻璃棒/没入水中部分的长度为20cm.

题型四：圆柱

一、填空题

1.（2021.上海市松江二中高二期中）已知一个圆柱的底面直径为4,其表面积等于侧面积

3

的则该圆柱的轴截面周长为.

【答案】16

【分析】设圆柱的高为〃，根据已知条件可得出关于九的等式，求出力的值，即可得解.

【详解】设圆柱的高为〃，该圆柱的衣面积为2乃x2?+2万x2〃=8;r+4;r〃，侧面积为4万6，

由题意可得8%+4I〃=3X47Z7?,解得〃=4,

2

因此，该圆柱的轴截面周长为4x2+2/7=16.

故答案为：16.

2.（2021・上海・位育中学高二阶段练习）已知圆柱的底面半径为1,母线长为4,为母线,

则A绕圆柱侧面两周到达B点经过的最短路程为

【答案】4A/NV

【分析】将圆柱侧面展开即可求得结果.

【详解】由圆柱的侧面展开图可知，A绕圆柱侧面两周到达B点经过的最短路程为

j4，+（2x2;r）2=4,1+%2.

故答案为：4川+乃2.

3.（2021•上海市中国中学高二阶段练习）圆柱底面半径为3,母线长为5,一只小蜘蛛从某

条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行一周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短

路程为.

［答案］J25+36后

【分析】把圆柱侧面展开后得一矩形，矩形对角线长为所求最短距离.

【详解】沿这条母线展开圆柱侧面是一矩形，矩形的长是圆柱的底面周长为2万x3=6;r,矩

形的宽为圆柱的母线长5,矩形的对角线长为j5?+（6万f=,25+36米,即为所求最短距离.

故答案为：，25+36乃2

4.（2022•上海民办南模中学高二开学考试）若一圆柱的侧面积为6万，则经过圆柱的轴的截

面积为______

【答案】6

【分析】根据圆柱的侧面积公式得关系式，再根据圆柱的轴的截面积求结果.

【详解】设圆柱的底面面积半径为，高为/?,则6万=2乃即附=3,

因此圆柱的轴的截面积为24=6

故答案为：6

【点睛】本题考查圆柱的侧面积与轴截面积，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.（2019•上海市金山中学高二阶段练习）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各

取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度

是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个

大圆；其中正确命题的序号是

【答案】②③

【分析】根据圆柱母线垂直于底面的特点可知①错误，③正确；由圆锥的特点可知②正确；

当两点连线为球的直径时，可知④错误.

【详解】①若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误;

②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母线长度，②正确；

③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；

④若两点连线为球的直径，则过两点有两个大圆，④错误.

故答案为②③

【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，属于基础题.

题型五：圆锥

一、单选题

1.（2021.上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的是（）

A.棱柱的所有侧面都是平行四边形

B.将矩形A8C。绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；

C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；

D,将直角三角形AO8绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.

【答案】D

【分析】由棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确；

对于B：由圆柱的定义得将矩形ABCD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱，故B

正确；

对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确；

对于D：将直角三角形AOB绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确，

所以假命题的是D选项，

故选：D.

2.（2021.上海市南洋模范中学高二期中）分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为

轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为匕、匕、匕，则（）

A.%=%+%B.+4

1_111_11

C年=可+可口.%=%+可

【答案】C

222

【分析】设直角三角形的三边分别为a、b、c,a+b=c,即。为斜边，分别求得匕、了2、匕

的值，可得结论.

222

【详解】设直角三角形的三边分别为。、b、c,a+b=c,即c,为斜边，

则以边c所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为匕，

则,、、2，

匕=3兀（y）■c=：兀层,炉,

以边。所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为匕，则，

.a

以边b所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为匕，则，

匕=：nd2--b

•••六=忘+会

故选：C.

二、填空题

3.（2022.上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）圆锥的高为1,底面半径为6,则

过圆锥顶点的截面面积的最大值为

【答案】2

【分析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值.

【详解】如图，SAB是圆锥轴截面，SC是一条母线，

设轴截面顶角为。，因为圆锥的高为1,底面半径为百，所以tan（=G,9e（0,乃），

设圆锥母线长为/,则/=#+（扬2=2,

截面SBC的面积为S=；SB.SCsinZBSC=1/2sinZBSC,

2

因为NBSCe(O,与］,所以NBSC=£时，Smax=^x2=2.

故答案为：2.

4.（2021•上海市西南位育中学高二期中）若一个圆锥的底面半径为1,其侧面展开图的圆心

角大小为子，则该圆锥的高为.

【答案】2&

【分析】设圆锥的母线长为/，由已知得2万=告1,求得/=3,由勾股定理可得解.

【详解】圆锥的底面半径为I,故圆锥的底面周长为2万，设圆锥的母线长为/

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2T=与1,解得：/=3

所以圆锥的高A==百-『=2&

故答案为：2夜

5.（2021・上海・华东师大附属枫泾中学高二期中）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为胃,

底面周长为Tcm,则这个圆锥的侧面积为cm2.

【答案】v

【分析】求出圆锥母线长和底面半径后可得.

【详解】设圆锥母线长为/，底面半径为,，

则2万厂=万，r=g,又g/=万，/=-|,

所以侧面积为S=Q/"XH=寻.

224

4•1依心/3冗

故答案为：—.

4

6.（2021・上海・华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，一圆锥形物体的母线长为3cm,一

只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的

最短路程为36cm,则圆锥底面圆的半径等于