初一数学《有理数的混合运算》知识点精讲

知识点总结

知识点1常规计算

有理数混合运算的运算顺序：

1、先乘方，再乘除，最后加减；

2、同级运算，从左到右进行；

3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺

序依次进行.

【方法总结】

根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可.本题主要考查有理数

的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键.

注意：绝对值符号有括号的作用.

知识点2运算律、规律计算

有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘

法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.

【方法总结】

本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和

（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算

律的使用是解本题的关键.

知识点3求代数式的值

重要结论：

互为相反数的两数和为0,相反数等于自身的数是0;

互为倒数的两数积为1,倒数等于自身的数有T,1,倒数等

于自身的自然数是1;

最大的负整数是-1,最小的正整数是1,绝对值最小的有理

数是0;

有理数的混合运算:

1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级

运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运

算。

2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程

得到简化。

有理数混合运算的四种运算技巧：

(1)转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三

是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算.

(2)凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相

同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组

求解.

(3)分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形

式，然后进行计算.

(4)巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往

使计算更简便.

知识要点

1.计算的基本法则：包括：有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方

①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，取

绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相

加，仍得这个数。

②乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；当负因数有奇数

个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，积就为零。

③除法：乘积为1的两个有理数互为倒数；.两数相除，同号得正，异号得负，

绝对值相除；除以一个数等于乘以这个数的倒数；0除以任何数等于0.0不能

做除数

④乘方：正数的任何次塞都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正

数.

2.运算的顺序：

①有括号，先算括号里面的；

②先算乘方，再算乘除，最后算加减；

③对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。

3.去括号法则：括号前是一

4.运算律与运算技巧：包括加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结合律；

分配律。小学阶段的所有速算巧算技巧仍然适用。

5.特殊的运算：包括分数的裂项运算、等差数列的运算、

♦特别强调：符号，符号，符号！！！

有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算

加减；如果有括号，要先算括号里面的；同级运算按从左

到右的顺序进行。

例1计算：

16+(_2『-4x(-3)■O

分析：算式中含有减法、乘除、乘方运算，应先算乘方，再算乘除，最

后算减法。但本题中(-2『与-4x(-3)可同时进行运算。

解：

原式=16+(-8)+2

=-2+12=10©

03

重视符号问题

有理数的运算都是先确定符号，再计算绝对值。

例2计算：

a

,(.3)+(_2^[(-3)-(-5)]o

分析：『是负数的偶次方，结果应为正，而(：3『前面还有一个“」，，故

3)2的结果应为负；『是负数的奇次方，结果应为负；中括号里面是两

个负数的减法运算，应转化为加法。

解：

原式=—9+(―8)+(―3+5)

=-9+(-8卜2=-9+(-4)=一13。

04

增强转化意识

有时要根据实际情况，将除法转化为乘法，将减法转化为加

法，将乘方转化为乘法，甚至还要将带分数转化为加法，将

乘方转化为乘法，甚至还要将带分数转化为假分数，将小数

转化为分数，以方便运算。

例3计算：

分析：先将-［化为--1a,-1.4化为一-1弓，再将除法转化为乘法后面的减法

转化为加法进行运算。

解：

原式一小斗.4+32

75

=-4x—x-+9=-5+9=4o

47

05

灵活使用运算律

有理数的运算律主要有：加法交换律、结合律，乘法交换

律、结合律和分配率。

例4计算：

2249

0.7xl9-+2-x(-14)+---14x3.25

9490

分析：这是一道有理数混合运算的综合题，数比较复杂，要注意寻找特

49”7

—0.7x-

征，设法运用运算律简化计算。注意到90可化为9,这样，分别出现

了公因数0.7和-14,逆用乘法分配率可分别提取。

解：

原式=0.7*（吟+3-14、（2（+3.25

=0,7x20-14x6=14-84=-70

难点：处理混合运算中的运算顺序，以及每一步运算的运算

符号

学法指导：混合运算出错主要是以下三种，一是运算顺序出

错，二是符号出错，三是计算出错，由于七年级学生已有了

小学六年的计算基础，所以第三种出错率很少，基本就是第

一种和第二种，即顺序出错或符号出错，那么我们在混合运

算中，主要就是围绕这两个易错点进行反复强化，练就过硬

的运算技能.

对乘方的意义理解不到位，导致运算顺序出错

【例1】计算：-22-(-3)2X(-l)3-(-l)4

偌误的解答..............................正确的解答。

—2^(—3yx—(—1/••・•・・................—2?13)2乂(——(—1)4

=4—9X(—1)—1..................................................4—9X(—1)—1~

—4—(—9)—1......................................................——4—(—9)—

=-6....................................................................=4。

剖析：出错的原因是把一2?当成了(-2)2,正确的方法应

该是先算2的平方，再算相反数；而这位同学是先算的2相

反数，再算一2的平方，从而造成的运算顺序的错乱，究其原

因是由于对乘方的意义理解不到位造成的.

应对策略：因为加减法是最低级别的运算，所以可以保留

加减法，留待最后计算，为此可以将加号或减号作为分界

线，将算式分成若干段，如图：

-r-c-sfxc-i^-c-i)4

计算3+22X(--)

解：原式=3+4x(—

3—3

=~=5

=11

■T

例1计算：18—6+(—2)x——

V3)

解：原式二18-(-3)x(--)

3

=18-1

=17

22,5

例2计算：(-3)x--+--

解法一：

解：原式=9x(一—)

=-11

解法二：「251

解：原式=9xq+(5)

=9x(-1)+9x(-t)

=一6+(-5)

=-11

计算：,、

-(八

8+(-3)2x(-2)100+(-2)--(-2)+--

解：解：',

8+(-3)2x(-2)100.(—2卜(―2)+j—1

=8+9x(-2)/3、

=8+(-18)=100+4-(-2卜1]

-—(18—8)=25-3

=—10=22

计算39X464646

787878

解:原式=39X案;案:

/O入1U1U1

46

=39X=23

78

计算

1998X199919991999-1999X199819981998

原式=1998X1999X100010001-

1999X1998X100010001

=0

计算18—6.(—2)x--

(1、

解:原式=18—(―3)x--

V3)

=18—1

=17

(2丫(

辨析:J-4-(-6)x1}

a

“)正确解法：

4

解源式=--4+2〃4r2>r1)

9解:原式二弓_--x-

3>

_4_2

-

149-9

V_2

-9

9(«、

计算(-3八--+--

JI力

(11}

解法一:原式=9x--

=-11

(2\，5、

解法二:原式=9x--+9x--

卜力kJ

=-6+(-5)

=—11

计算：

(2、

8+(-3)2X(-2)100+(-2『-(-2)——

I3J

解：解：

(

8+(-3)2X(-2)100.(-2)2—(—2).--

I3J

=8+9x(-2)(*

=8+(-18)=100+4-(-2)x--

I2J

=-(18-8)=25-3

=-10二22

18-6+(—2)x(—―)

解：18-6+(-2)x——

I3J

(

=18-(-3)x--

=18-1

=17

(-3)2X[-|+(-|)]

解法一(-3『x[一：+(一\)]=9x(一二)=一11

解法二(一3)2X[-；+(-，)]

25

=9x[——+(——)]

39

25

=9x(——)+9x(--)

39

=—6+(—5)=—11

6n5

算

计-X

524

6115

X•

53-2丁4

654

-XX

565

4

-

-一5

31

X--T

-164-8J

T3

=X8

同步习题

1Y

计算：—0.5?+—32+9+4-0.12

2;II

3

(n、/-.xlOO

计算：—32x--士(-0.5)2x-42x+(T)

I3J<-4y

1.填空

(1)(-L8)4-(-O.2)-(-2.3)

解：原式=-1.8-0.2+2.3=0.3；

⑵(一令2一(+盍1)+(5Y)

解：原式=____________

=；

(3)-3.8+1.2-(-7.2)

解：原式=_____________

(4)1.8+6.9-15.4+11.7-7.6

解：原式=_________________

(5)(—6)♦(—3)X(-2)

解:原式=_________________

(6)(—X(——?*)

000

解：原式=_________________

⑺(T)X(_1力+(_2»

解:原式=_____________

(8)(-14)-r(-o.25)X1.75

解：原式=_________________

小靖:一微地，同，运，应按从M___■■依次运算.

2.计算

(1)(-14

LtM0Lt

QXT11,2,,1.22

解：原式=-1yl-y+15=。n+5=写；

(2)(-8)+44-(-2)+(-2)X(-3)•.

解:原式=_________________=_________；

(3)3X(-4)+(-28)-r(-7)-(-2)X(+6)^B包括，

解：原式==J/"些运算，先

23(算什么？

(4)42X(—^")十(—^")+(—0.25)

解:原式==;

(5)34-(-7)Xy-(-y)X2

解：原式=_________________

(6)一个十苧+(-2)X(一

解:原式=____________

=I

(7)35X(—*)+(-，)+(一().25)

74

解：原式=________________

=।

(8)6-r(-3)+17XO-(-^)X(-5-)

□L

解:原式，________________

小艳:含有加、■、乘、除四种运算时,应先算，再尊.

7.<-',

3.计算

(1)3+23-32

解：原式=3+8-9-2；

(2)2X3-r(2)

解:原式-______________

(3)-24-r8x1

解:原式=

(4)3X1O3-2X1O4

解:原式=______________

(5)5X(-6)24-(-3)2X4

解:原式=5X36+9X4=

(6)2X(一3尸一3X(-2)'

解:原式=___________

解:原式=________________

(8)0.2+(-0.4)X(-0.5/+0・8+(-0.2)2

解：原式=.

小■:■■加■，、果、除方的海先，,再，

»«»_________________.

4.计算

(1)0+02+03+0，

解:原式==»

(2)0.1+0.1*12+0,F+0.V.

解：原式=____________________________

'=।

(3)0.5+0.52+0.5a4-0.545

解S原式=____________________________

(4)10+1024-103+101

解:原式==

(5)-14-(-1)2+(-1)3+(-1)<

解：原式==

解:原式==

(7)-5-X(4-)2X(—)3X(~)4

解:原式==

(8)(-y)-r(—"^-)2X(-y)3-i-(—y)4

解:原式=________________

思维导图

税的苻号：异号为-

同号为+

①ZE符同号取同m•取大号（大号：绝对值较为1口

代吟；

②定绝对值：同力碍减（同：同号两数相加，力口：绝对值相

法则力口；异：异号两数相加，减：绝对值相减）

、_交换律：a+b=b+a

运算律f-------------------

---------1结合律：，+（b+c）=（a+b）+c

加法同号先相加

同分母先拗口、

运算技巧互为相反数先相加

口物或者整十数的先相加

充分数叱为写分敖或者看做整数部分加真分数部分

法则减去一于力吐这个数的相反数

a-（七）=a+b切忌：记成'负负得正”

减法

减法规律a+(-b)=a-(+b)=a-b

a-b看做的『b,运用加法法则直接做

同号得正,，异号得负,

切忌：与加法法*清！

三个及以上密相菊判断结果的符号：奇负偶正

（奇偶：负的数的个数，正负：结果的符号）

axb=bxa

运算律克合律：ax(bxc)=(axb)XC

有分邨律：a*(b+c)=axb+axc

理①含有带分数的乘法，必须先化成假分数；

数②分子分母全瞰汾没了，结果是1,不是0；

注意③负号可以理解为上

的

混,除以擞

合''除法-----1——［便擞：女口果a禾口b的匹，另眩axb=1

运

一乘方：几个相同因数的积的运算

算——■｛寻：乘方的结果谷高

书写注意分数、鳗的乘方要加上括号（若不力嘴号/磁级了）

正数的嘉（底数为正数）正数的任何次募都是I璜?

负数的偶次幕（瞰为偶数）是正数

规律

^7?卜负数的奇次嘉是负数

0的寻0的任何I段级次募都是0

式：谏以1密n妨（1#|<10）

遇到亿"字，楂百以10的8次方（万'就是1。

的四次方），再把前面的数字移动〃康攵点，左