2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-全书综合测评

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

全书综合测评

(全卷满分150分,考试用时120分钟)

一、单项选择题体题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的)

1.已知a=(T,-2,1),b=(l,x,-2),且a•b=T3,则x的值为()

A.3B.4C.5D.6

2.在四面体0ABC中，E为0A的中点，而三方，若01=a,赤=b,0?=c,贝IJ前=()

.11.2„11.,4

A.-a--b_-cB._-a--b+-c

233233

C.--a+-b+-cD.--a+-b+-c

233233

3.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题

不再放回.在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为()

1213

----

4B.52D.5

4.设随机变量XN(5,。2),若P(X>10-a)=0.4,则P(X>a)=()

A.0.6B.0.4

C.0.3D.0.2

5.在长方体ABCD-ABCD中，|AB|=|BC|=1,|AAj=V5,则异面直线A%与DBI所成

角的余弦值为()

A-B.—

56

C.—D.—

52

6.若过原点的直线1与圆x2-4x+y2+3=0有两个交点，则1的倾斜角的取值范围为

()

A(建)

7.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日创立了画法几何学，推动了空间几何学

的独立发展,提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点

位于一个与椭圆同心的圆上，该圆被称为蒙日圆，且该圆的半径长等于椭圆长半

轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点

在椭圆争y'l的蒙日圆上,则b的值为()

A.±1B.±5

C.±V21D.±2V5

22

8.已知F是双曲线今-9=1(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过F作垂

直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点,若aABE是锐角三角形,则该双曲线的

离心率e的取值范围是()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(2,1+V2)D.(1,1+V2)

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

9.已知直线l:x-my+m-1=0,则下述正确的是()

A.直线1的斜率可以等于0

B,直线1的斜率有可能不存在

C.直线1可能过点(2,1)

D.若直线1在x轴与y轴上的截距相等,则m=±l

10.关于的展开式,下列说法正确的有（）

A.所有项的二项式系数和为128

B.所有项的系数和为1

C.常数项为70

D.二项式系数最大的项为第4项

11.已知圆C:x2+y2-kx+2y+^k2-k+l=0,则下列说法正确的是（）

A.k的取值范围是k>0

B.若k=4,过点M（3,4）的直线被圆C所截得的弦长为2V3,则该直线的方程为

12x-5y-16=0

C.若k=4,贝！J圆C与圆x2+y2=l相交

D.若k=4,m>0,n>0,直线mx-nyT=0恒过圆C的圆心,则三+马28恒成立

mn

12.我们通常称离心率为厚的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆

22

C邑+£=l（a>b>0）,A"A2分别为左、右顶点,B/2分别为上、下顶点,蚪足分别为

a2b2

左、右焦点,P为椭圆上一点，则下列条件中能使椭圆c为“黄金椭圆”的有

A.|A,F,|•|F2A2|=因6|2

B.NRBIA2=90°

C.PF」x轴，且PO〃AzBi

D.四边形AB2A2B1的内切圆过焦点Fi,F2

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

13.已矢口直线l,:3x+4y-8=0和12:3x-ay+2=0,且L//L,贝lj实数a=,直线

L与b之间的距离为.

14.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程

是.

15.西湖龙井素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同,

西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅"五个字号，某茶文化活动给西湖龙

井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的茶中任意选择三个字号的茶参加

展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶

前（不一定相邻），则不同的展出方法有种.（用数字作答）

16.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,P,Q分别是棱BC,CD上的动

点,BC=4,CD=3,CC，=2V3,直线CC'与平面PQC'所成的角为30°,则△PQC'的面积

的最小值是.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知G+2x）：neN..

(1)若展开式中第5项与第7项的二项式系数的和等于第6项的二项式系数的2

倍,求展开式中二项式系数最大项的系数；

(2)若展开式中前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.

18.(本小题满分12分)机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人

行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干路口监控设备所抓

拍的1月份到5月份这5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

月份12345

违章驾驶员人

1201051009580

数

(1)请利用所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的线性回归方程y=bx+a;

⑵预测该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数；

(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人,调查驾驶员不“礼

让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

是否“礼让行

不“礼让行“礼让行

人”

人”人”

驾龄

驾龄不超过1年2416

驾龄1年以上1614

能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关?

nn

AEXiVi-nxy&(和幻(力-mA_A_

参考公式:b=E,-=f------,a=y-bx,X2—n(ad-bc)2(其中

£xf-nx2区(和可(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)

i=i1

n=a+b+c+d).

19.(本小题满分12分)已知动圆过点F(0,2),且与直线1:y=-2相切.

(1)求动圆圆心M的轨迹方程；

(2)若过点F且斜率为1的直线与圆心M的轨迹交于A,B两点,求线段AB的长度.

20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,PA_L底面

ABCD,AB=AP,E为棱PB的中点.

(1)求直线PD与CE所成角的余弦值;

⑵求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；

(3)求二面角E-AC-P的平面角的余弦值.

21.(本小题满分12分)2020年1月10日,引发新冠肺炎疫情的C0VID-9病毒基因

序列公布后,科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的

研制需要科学的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做动物试验.已知

一个科研团队用小白鼠做接种试验,检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是:

每天接种一次,3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为今

假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.

⑴求一个接种周期内出现抗体次数k的分布列；

⑵已知每天接种一次花费100元,现有以下两种试验方案：

①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验,进行下一个接种周

期,试验持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为X元；

②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体,该周期结束后终止试验，已知试验

至多持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为Y元.

比较随机变量X和Y的数学期望的大小.

22

22.(本小题满分12分)已知0为坐标原点,椭圆C(a>b>0)的左、右焦点分

a2b2

别为R,F2,|F1F2|=2,P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过R,F2的圆与直线x=-V2

相切.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵已知直线1交椭圆C于M,N两点.

⑴若直线1的斜率等于1,求aOMN面积的最大值；

(ii)若丽•而=-1,点D在1上,OD±1.证明:存在定点W,使得|DW|为定值.

答案与解析

1.C由题意得a•b=-l-2x-2=-13,解得x=5,故选C.

2.D根据题意得,OE=^OA,CF=^CB,

：.EF=OF-OE=++1(OS-OC)]-

-OA=(OC+-OB--Oc}--OA=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.故选D.

2V33/2233233

3.C设事件A=”第1次抽到代数题”，事件B="第2次抽到几何题”，

贝(jP(A)=|,P(AB)=|X~=~,

6

则P(B|A)=今警善•=；,故选C.

4.A由随机变量X~N(5,。2),可知R=5.因为P(X>10-a)=0.4,所以P(X〈a)=0.4,

所以P(X>a)=O.6.故选A.

5.C如图所示，以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建

立空间直角坐标系，

贝ijD(0,0,0),A(1,0,0),Bi(1,1,®Di(0,0,8),

所以西=(-1,0,遍)，西=(1,1,8),

所以cos〈福,西>二AD^•DB7_-1+3_V5

\AD^\\DB^\2xV55

所以异面直线ADt与DB,所成角的余弦值为看故选C.

6.C由x2-4x+y2+3=0W(x-2)2+y2=l,则圆心为(2,0),半径r=l,

由题意得,直线1的斜率存在,

设直线1的方程为y=kx,

由直线1与圆（x-2）2+y2=l有两个交点,得段<1,

解得一彳

所以直线1的倾斜角的取值范围是［o,9U（詈

7.C椭圆白+y2=l的蒙日圆方程为x?+y2=4,由题意得该圆与已知圆相切，又两圆

圆心距为所以或解得b=±VH,故选C.

8.B根据双曲线的对称性，得|AE|=|BE|,

•:△ABE是锐角三角形，，NAEB为锐角，

.,.在RSAFE中，ZAEF<45°,|AF|<|EF|,

V|AF|=^=—,|EF|=a+c,

aa

22

-~~—<a+c,即2a2+ac_c2>0,BP2+e_e2>0,解得

a

又e〉l,J该双曲线的离心率e的取值范围是（1,2）.

故选B.

9.BD当m=0时,直线1的斜率不存在，

当mWO时,直线1的斜率为三,不可能等于0,

m

故A错误,B正确.

将⑵1)代入x-my+m-l=O,等式不成立,可知点⑵1)不在直线1上,C错误.

若直线1在x轴与y轴上的截距相等,则mWO,即l-m=—,解得m=±l,故D正确.

m

10.BD所有项的二项式系数和为26=64,故A错误；

令x=l,得所有项的系数和为(1-2)'I,故B正确；

的二项式通项为%尸《(-2)比丁，

令30,得厂2,.•.常数项为髭(-2)2=60,故C错误；

展开式有7项,二项式系数最大的项为第4项，故D正确.故选BD.

11.ACD对于A,由方程表示圆可得(-k)2+4-4Qk2_k+i)>o,

解得k>0,故A正确；

对于B,若k=4,则圆C的方程为(x-2)2+(y+l)2=4,

过点M(3,4)的直线被圆C所截得的弦长为2V3,则圆心C(2,-1)到直线的距离为

1,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,满足条件,故B不正确；

对于C,圆C:(x-2T+(y+l)2=4的圆心为C(2,T),半径n=2,

22

圆x+y=l的圆心为(0,0),半径r2=l,

而r「r2=l〈j22+(-1)2=2"+=2=3,故两圆相交,故C正确;

对于D,直线mx-ny-l=O恒过圆C的圆心,

所以2m+n=l,

所以工+“(工+(2m+n)=4+-+—^4+2I--—=8,

mn\mnJmnyjmn

当且仅当nW时取等号,故D正确.故选ACD.

42

12.BD由题意得A.(-a,0),A2(a,0),B,(0,b),B2(0,-b),F.(-c,0),F2(c,0).

对于A,若|AFil•|F2A2RFF2I2,贝！J(a-c)2=(2c)2,，a-c=2c,.■=!，不满足条件，

故A不符合；

2

对于B,ZF,B,A2=90°,AlA^l^lB.F,^+lB^I,

即(a+c)'=a2+a?+b;i,c2+ac-a2=0,e"+e-l=0,

解得e专或e夸(舍去)，故B符合；

对于C,VPF.lx^,

叱

P0//A2B1,...kpo=/cA2Bi，:•彳■工解得b=c,

Va2=b2+c2,/.a=V2c,

••・e中宣=今不满足条件，故C不符合；

对于D,四边形A,B2A2B1的内切圆过焦点F„F2,

即四边形AAA2B1的内切圆的半径为c,Aab=cVa2+b2,

：.c-3a2c2+a4=0,e4-3e2+l=0,解得e2=^(舍去)或e2=^,e=^,故D符合.

故选BD.

13.答案-4;2

解析由题意得|=fH"I，解得a=-4.

34-0

所以直线L与k之间的距离为空雪2.

14.答案(x-2)2+(y-4)2=20

解析由俄黑屋:可得后二:即圆心为⑵4),从而

r=J(2-0)2+(4—0)2=2遍,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.

15.答案51

解析当选出的字号中没有“狮、梅”时，共有Ag=6种展出方法；

当选出的字号中有且仅有“狮、梅”中任意一种时，共有玛玛Ag=36种展出方法;

当选出的字号中有“狮、梅”两种字号时,共有禺Ag=9种展出方法.

综上,共有6+36+9=51种不同的展出方法.

16.答案8

解析以C为原点,CD,CB,CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

标系,如图所示:

则C(0,0,0),C'(0,0,2百)，设P(0,a,0),Q(b,0,0),0<aW4,0<bW3,

PC=(0,-a,2V3),QC=(-b,0,2®CC=(0,0,2V3).

设平面PQC'的一个法向量为n=(x,y,z),

则，i•PC=0,即卜ay+2V3z=0,

(n,QC=0,\-bx4-2痘z=0,

令z=l,得n=

「sin30。3

2V3-Jjf+p+i

**,a2+b2=-a'b2^2ab,解得ab28(当且仅当a=b=2V^时等号成立),

a2b24

当ab=8时,Sa*=4,三棱锥C-PQC的体积最小.

•・•直线CC'与平面PQC'所成的角为30°,.•.点C到平面PQC'的距离d=27IXsin

30°=V3.

,**VC,-PQC=VC-PQC,,.,.^X4X2A/3=^,SAPQC",V3,SAPQC,=8.

nrr2rnr

17.解析：+2x)”的二项式通项为Tr+尸品Q)'•(2x)=2^C^x.(1分)

（1）由题意知2瑞=以+废，，n=14或n=7.（2分）

当n=14时，第8项的二项式系数最大,该项的系数为22X77（%=3432;

当n=7时,第4、5项的二项式系数相等且最大，（4分）

其系数分别为22x3-7C^=y,22X1牛70.（5分）

⑵由题意知第+C/鬣=79,

解得n=12或n=-13（舍去），.•・「+尸22”""'.（7分）

由

...展开式中系数最大的项为九=22*,2解2吗16896乂叱（10分）

18.解析（1）由已知数据可知,二三义（1+2+3+4+5）=3,

y=-X（120+105+100+95+80）=100,（2分）

5

所以鼠年空空二笔等2:一9,（3分）

£xf-5x255-45

i=l1

所以。二9-加=127,

故所求线性回归方程为y=-9x+127.（4分）

（2）由（1）可知，y=-9x+127,

令x=9,得y=-9X9+127=46.（7分）

预测该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数为46.

⑶由已知数据可得x3110.706,（10分）

40X30X40X30

故没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关.（12分）

19.解析⑴二•动圆过点F（0,2）,且与直线l:y=-2相切,

.•.点M到直线1的距离等于|MF|.

由抛物线的定义可知点M的轨迹是以F（0,2）为焦点,y=-2为准线的抛物线，（2分）

依题意,设点M的轨迹方程为x2=2py（p>0）,则g,解得p=4,（4分）

所以动圆圆心M的轨迹方程是x2=8y.（5分）

⑵依题意可得直线AB:y=x+2,设A（x>yj,B（x2,y2）,（6分）

联立?2=2'得y2-12y+4=0,则山+丫2=12,（9分）

所以线段AB的长度为yi+yz+p=16.（12分）

20.解析（1）设AD=2,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,1),

PD=(0,2,-2),CE=(-l,-2,1),(2分)

|cos<PD而访•函=卜6|二打

I'I\PD\\CE\2V2XV62'

所以直线PD与CE所成角的余弦值为当(4分)

(2)易知尼=(2,2,0),族=(1,0,1),CD=(-2,0,0),

设平面ACE的一个法向量为m=(xbybz,),

由jm•竺=2xi+2%=。，可得修：取X1=l,可得yi=Z1=-l,所以平面ACE

•AE=Xi+Zi=0,--Xi，

的一个法向量为m=(l,T,T).(6分)

设直线CD与平面ACE所成角为a,

贝！Jsina=|cos<m,而〉|=lZU_££!-_k£L-^I

I''|m||CD|V3X23'

所以直线CD与平面ACE所成角的正弦值为(8分)

(3)易得前=(2,2,0),而=(0,0,2),设平面PAC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),

由卜•竺=。，可得匿2:北取X2=l,则y2rZ2=0,

所以平面PAC的一个法向量为n=(l,-l,0),(10分)

/m•n2V6

cos<m,nK>=----=■—7==—,

|7n||n|A/3XV23

由题图可知,二面角E-AC-P为锐角，

所以二面角E-AC-P的平面角的余弦值为(12分)

21.解析(1)由题意可知,k~B(3，)，

故P(k)=《C?g)3-k(k=0,1,2,3).(2分)

则k的分布列为

⑵①设一个接种周期的接种费用为€元，则&的可能取值为200,300,(4分)

P(€=200)AP(^=300)=-,

44

所以Eg=200义工+300X8275.(6分)

44

所以三个接种周期的平均花费EX=3E€=3X275=825.(7分)

②Y的可能取值为300,600,900,

设事件A为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由(1)知,P(A)=99"(8

OO2

分)

所以P(Y=300)=P(A)=|,

P(Y=600)=[l-P(A)]XP(A)」，

4

P(Y=