陕西省汉中市国立第七中学高三数学理模拟试题含解析

陕西省汉中市国立第七中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数,若,则点所形成的区域的面积为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D2.圆上的点到直线的距离最大值是(

)(A)2

(B)1+

(C)

(D)1+参考答案：B略3.已知函数y=eax+3x有平行于x轴的切线且切点在y轴右侧，则a的范围为（）A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（﹣3，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，由函数y=eax+3x有平行于x轴的切线且切点在y轴右侧，得导函数对应的方程有解且a＜0，由此求得a的范围．【解答】解：由函数y=eax+3x，得y′=aeax+3，函数y=eax+3x有平行于x轴的切线且切点在y轴右侧，则y′=aeax+3=0（x＞0）有解，即＞0，a＜0．即有0＜﹣＜1，解得a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故选：A．4.中，角的对边分别为，若，则（

）参考答案：答案：解析：5.已知集合,,则(

)A． B． C． D．参考答案：C试题分析：因为，所以，故选C．考点：集合的交集运算．6.函数g（x）=2cos（x﹣）cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）的图象，设f（x）=x2+h（x），则f′（x）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】先研究函数的奇偶性知它是奇函数，从而排除两个选项，再由x=﹣时，f′（0）＞0，排除C，即可得解．【解答】解：∵g（x）=2cos（x﹣）cos（x+）=cos2x，∴将函数g（x）的图象上各点的坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）=cosx的图象，∴f（x）=x2+h（x）=x2+cosx，可得：f′（x）=x﹣sinx，∴可得：f′（﹣x）=（﹣x）﹣sin（﹣x）=﹣（x﹣sinx）=﹣f′（x），故此函数奇函数，排除B，D．又当x=﹣时，f′（0）=﹣+1=1﹣＞0，结合选项函数的图象，排除C．故选：A．7.设，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－2,4)，则它的离心率为(

)A. B.2 C. D.参考答案：A由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，，所以.故选A.

9.函数与的定义域分别为M，N，则M∪N=（

）A．(1,2]

B．(－∞,1]∪[2,+∞)C．[1,2]

D．(－∞,1)∪[2,+∞)参考答案：D由x－2≥0可得，x≥2，M=[2,+∞)，由1－x＞0可得x＜1,N=(－∞,1),所以M∪N=(－∞,1)∪[2,+∞)，故选D.

10.已知点O为△ABC内一点，且则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于

A．9：4：1

B．1：4：9

C．3：2：1

D．1：2：3参考答案：C,延长到，使,延长到，使，连结,取的中点，则所以三点共线且为三角形的重心，则，在△AOB’中，B为OB‘边中点，所以,在△AOC’中，C为OC‘边近O端三等分点，所以。在△B'OC'中，连BC'，B为OB‘边中点，所以，在△BOC'中，C为OC‘边近O端三等分点，所以，因为，所以△AOB：△AOC：△BOC面积之比为，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（n）=n2cos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），则a1+a2+…+a2n=

．参考答案：﹣2n函数f（n）=n2cos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），

a2k-1=f（2k-1）+f（2k）=-（2k-1）2+（2k）2=4k-1．

a2k=f（2k）+f（2k+1）=（2k）2-（2k+1）2=-4k-1．

∴a2k-1+a2k=-2．

∴a1+a2+…+a2n=-2n．

故答案为：-2n．

12.已知数列{an}，{bn}满足，，，则b1·b2·…·b2017=

．参考答案：∵，，∴，，∴，，归纳猜想：∴故答案为：

13.在中，若=°,∠B=°，BC=，则AC=____________.参考答案：略14.设,则函数的值域是__________.参考答案：答案：

15.（几何证明选讲）如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC是半圆O的切线BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则AE=

．参考答案：16.已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________．参考答案：X=—1略14.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为

．参考答案：试题分析：由题意得圆心半径因为点在圆内，所以，解得设到直线距离为,则又，当且仅当，即时取等号，因此，即或综上实数的取值范围为.考点：直线与圆位置关系三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求a+c的值.参考答案：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，因为，所以，即又，，所以.（Ⅱ）由已知，

由余弦定理得

，即，即，又所以.19.(本题满分14分)设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围．参考答案：【解】（Ⅰ）连接，因为，，所以，即，故椭圆的离心率

．．．．．．．．．．．．．．．．3分（其他方法参考给分）

（Ⅱ）由（1）知得于是,，

的外接圆圆心为），半径．．．．．．．．．．．．5分到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，所以，解得

．．．．．．．．．．．．．．．．7分所求椭圆方程为.

．．．．．．．．．．．．．．．．8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知,：

代入消得

因为过点，所以恒成立

设，则，

中点

．．．．．．．．．．．．．．．10分

当时，为长轴，中点为原点，则

．．．．．．．．．．．．．．．11分当时中垂线方程．

令，

．．．．．．．．．．．．．．．12分

，，可得

．．．．．．．．．．．．．．13分

综上可知实数的取值范围是．

．．．．．．．．．．．．．．14分20.如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．参考答案：【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出kMA?kMB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以kMA?kMB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．于是s1=|MA|?|MB|=?|k1|??|﹣|=．由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s2=|MD|?|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．21.（本题12分）已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.参考答案：22.计算下列各式的值：（1）；（2）．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算