平面向量的数量积教案高一下学期数学人教A版

第课时6.2.4向量的数量积第周本章节计划课时共课时的第课时备课时间年月日上课时间月日星期第节教学目标1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义2．会求平面向量的数量积重点求平面向量的数量积难点理解平面向量数量积的概念及其几何意义课型新授课主要教法合作探究教学用具班班通教学过程环节一创设情境，引出问题大家好，本节课的主题和向量的加减一样，也是向量的一种运算，同时，它也是在未来大家解决各种集合难题的重要工具，它叫作向量的数量积．“数量‘积’，听着很像乘法呢……，它和以前学的向量的乘法，有什么区别吗？”“之前学的，是实数和向量相乘，而数量积呢，可以看成是向量与向量‘相乘’”“呃……”环节二抽象概括，形成概念与的数量积：一个实数，注意：“”不能省略，也不能用别的符号替代如何计算一个实数“不考虑方向的向量运算，和咸鱼有什么区别”“咸鱼如何翻身？主要需解决如何表示向量的方向”1．向量的夹角与的夹角为与的夹角，与的夹角规定：与任何向量都垂直与的夹角为锐角与的夹角为钝角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作向量，，则叫作向量与的夹角．（2）显然，当时，与同向；当时，与反向．如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．（3）向量夹角的范围：，；，夹角的符号：<，>（4）向量的夹角必须是两个向量起点重合时形成的角2．向量的数量积与投影向量（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫作向量与的数量积（或内积），记作．即．规定：零向量与任一向量的数量积为．环节三例题练习，巩固概念【例1】如图，已知，，与的夹角为，求．【解析】【例2】如图，已知，，与的夹角为，求．．【解析】【小结】特别的：；．环节四小结提升，形成结构1．求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．2．特别地，与的夹角为，与（，是非零常数）的夹角为，（1）当时，；（2）当时，．环节五目标检测，检验效果【练1】等腰直角中，，则与的夹角的余弦值为（C）A)B)C)D)【练2】已知，，与的夹角为，则（D）A)B)C)D)环节六分层作业，应用迁移《学法大视野》第13页；预习教材第17~18页，完成《学法大视野》第14页题型二、三．课后记：第课时6.2.4数量积的几何意义及性质（1）第周本章节计划课时共课时的第课时备课时间年月日上课时间月日星期第节教学目标1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义2．会求平面向量的数量积重点求平面向量的数量积难点理解平面向量数量积的概念及其几何意义课型新授课主要教法合作探究教学用具班班通教学过程环节一创设情境，引出问题大家好，今天要讲的内容与影子有关．上节课我们学习了向量世界中的一个新运算，数量积，两个向量的数量积，学完了代数上的定义，接下来就要研究几何意义了．数量积的几何意义可以说非常巧妙，一但理解保证你有种融会贯通打通任督二脉的感觉．这节课我们就来说说数量积的几何意义以及三条重要性质．环节二抽象概括，形成概念1．向量的投影如图，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向量向投影，叫做向量在向量上的投影向量，显然．2．向量数量积的性质设，是两个非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则（1）．（2）．（3）当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．（4）．环节三例题练习，巩固概念【例2】已知，，与的夹角为．（1）求；（2）求在上的投影向量．【解析】（1）（2）在上的投影向量为【迁移1】在例题题设不变的情况下，求在上的投影向量【解析】在上的投影向量为【迁移2】把例题中“与的夹角为”换成“”，求【解析】设与的夹角为因为所以与方向相同或相反所以或当时当时环节四小结提升，形成结构任意的非零向量在另一个非零向量上的投影向量等于（为向量与的夹角）．环节五目标检测，检验效果【练1】已，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则__________．【解析】设与的夹角为因为所以因为在上的投影向量为，所以所以所以【练2】已知，，与的夹角为，求【解析】设与的夹角为，则环节六分层作业，应用迁移《课时作业》第191页；预习教材第20~22页，完成《学法大视野》第15页．课后记：第课时6.2.26.2.4数量积的几何意义及性质（2）第周本章节计划课时共课时的第课时备课时间年月日上课时间月日星期第节教学目标1．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算法则2．理解向量加法的几何意义重点掌握平面向量的加法的三角形法则和平行四边形法则难点向量加法在实际问题中的应用课型新授课主要教法合作探究教学用具班班通教学过程环节一课前练习，引出问题1．判断正误（对的打“√”，错的打“×”）．（1）向量数量积的运算结果是向量．（×）（2）向量在上的投影向量一定与同向（×）（3）在等边△中，向量与的夹角为（×）2．已知向量，，且，则与的夹角为（C）A)B)C)D)3．已知非零向量，，，则向量，，，，中，与向量相等的个数为（D）A)B)C)D)4．正方形的边长为，则为（B）A)B)C)D)5．化简：__________．【答案】环节二抽象概括，形成概念1．向量的投影在方向上的投影，为正在方向上的投影，为0在方向上的投影，为负2．向量数量积的几何意义，表示的模乘以在方向上的投影或的模乘以在方向上的投影3．向量数量积的性质（1）且（向量垂直数量积为0）（2）或（求向量模长）（3），（，）（求向量夹角）环节三例题练习，巩固概念【例1】已知，，当（1）//，（2），（3）与的夹角为时，分别求求【解析】设与的夹角为，（1）因为//，所以与同向或反向所以与的夹角或所以当时，当时，（2）因为所以与的夹角所以（3）因为与的夹角为所以．环节四小结提升，形成结构求平面向量数量积的两个方法（1）定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式求解．运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．（2）几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求．环节五目标检测，检验效果【练1】在等腰直角三角形中，，则__________，__________，__________．【解析】由题知，，，所以．，．环节六分层作业，应用迁移《课时作业》第192页；预习教材第20~22页，完成《学法大视野》第16页题型一．课后记：第课时6.2.4数量积的运算律第周本章节计划课时共课时的第课时备课时间年月日上课时间月日星期第节教学目标1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明重点掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式难点会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明课型新授课主要教法合作探究教学用具班班通教学过程环节一创设情境，引出问题化简：．生1：“与的数量积？”生2：“根据数量积的定义就是……”生1：“，，这一坨？？？”生2：“哇哦，看着就头晕呢……等等，这个式子，很像平方差公式，能不能使用平方差公式，把写成呢？”生1：“平方差公式不是对两个数成立吗？对两个向量也成立吗？”生2：“其实，只要弄清楚为什么对两个数，平方差公式成立，就可以研究向量中的平方差公式是否成立了”环节二抽象概括，形成概念目前遇到数量积，我们唯一的方法就是——死扣定义：数量的乘法的运算律向量数量积的运算律交换律：交换律：结合律：结合律：分配律：分配律：交换律：左边，，右边，，左边右边结合律：左边，，，右边，，左边右边注意：环节三例题练习，巩固概念【例1】设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①；②不与垂直；③④．其中正确结论的序号是__________【答案】①④【解析】①有向量数量积的运算规律可知，，故①正确②易知，故与垂直，②错误③当时，，③错误④，故④正确环节四小结提升，形成结构向量，的数量积与实数，的乘积有联系，同时也有许多不同之处．例如，由并不能得出或．特别是向量的数量积不满足结合律．环节五目标检测，检验效果【练1】对于任意向量，，，下列说法中正确的是（D）A)B)C)D)【练2】已知向量，的夹角为，且，，求向量与的数量积．【解析】因为向量，的夹角为，且，，所以因为，所以所以．环节六分层作业，应用迁移《学法大视野》第15页课前自主预习部分；预习教材第20~22页；完成《学法大视野》第16页题型二求向量的模．课后记：第课时6.2.4求向量的模第周本章节计划课时共课时的第课时备课时间年月日上课时间月日星期第节教学目标1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2．会利用向量数量积的有关知识求向量的模重点利用向量数量积的有关知识求向量的模难点利用向量数量积的有关知识求向量的模课型新授课主要教法合作探究教学用具班班通教学过程环节一创设情境，引出问题之前我们学习了数量积的各种运算律和性质，还求过各种各样的数量积，这节课，我们就要用逆向思维了，如果确定了数量积，我们能利用它做些什么？其中一个特常用的功能就是求模长，在学数量积的性质时，我们学过这样一条，，它就是求模长的强有力工具．那具体问题中是如何借助它来求模长呢？一起来看看吧环节二抽象概括，形成概念由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：（1）交换律：；（2）结合律：；（3）分配律：．由向量数量积的定义，可以发现下列数量积的性质：（1）；（2）或；（3），．环节三例题练习，巩固概念【例1】已知向量和的夹角为，且，，则__________．【解析】几何法代数法攻略：（先平方再开方）因为，，且和的夹角为所以，因为所以所以【答案】【例2】已知向量和的夹角为，且，，则__________．【解析】几何法代数法攻略：（先平方再开方）因为，，且和的夹角为所以，因为所以所以【答案】．【例3】已知向量和的夹角为，若，，则__________．【解析】因为所以所以，所以所以解得或（舍去）【答案】．环节四小结提升，形成结构见到“若干若干”这类的模长，先平方再开方，可以很好的把奇形怪状的向量模长转化成简单向量的数量积，而且这种方法，不只适用于处理结论，还可以处理条件，只要是模都可以平方．结合数量积求模长攻略：（①平方；②开方．）环节五目标检测，检验效果1．已知，，且向量、的夹角为，则（D）A)B)C)D)2．已知向量、的夹角为，且，，则（C）A)B)C)D)环节六分层作业，应用迁移《课时作业》第190页；预习教材第17~18页；完成《学法大视野》第13页新知梳理．课后记：第课时6.2.4向量的夹角与垂直问题第周本章节计划课时共课时的第课时备课时间年月日上课时间月日星期第节教学目标1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2．会利用向量数量积的有关知识求向量的模重点利用向量数量积的有关知识求向量的模难点利用向量数量积的有关知识求向量的模课型新授课主要教法合作探究教学用具班班通教学过程环节一创设情境，引出问题之前我们学习了数量积的各种运算律和性质，还求过各种各样的数量积，这节课，我们就要用逆向思维了，如果确定了数量积，我们能利用它做些什么？其中一个特常用的功能就是求模长，在学数量积的性质时，我们学过这样一条，，它就是求模长的强有力工具．那具体问题中是如何借助它来求模长呢？一起来看看吧