专升本高等数学二向量代数与空间解析几何模拟试卷2-真题(含答案与解析)-交互

专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷2(总分54,做题时间90分钟)1.选择题1.

设a、b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于()A

B

C

1D

a．b

该问题分值:2答案:B解析：向量a+λb垂直于向量b，则(a+λb)．b=0，则λ=．2.

设有单位向量a0，它同时与b=3i+j+4k，c=i+k垂直，则a0为()A

B

i+j—kC

D

i－j+k

该问题分值:2答案:A解析：a=c×b==i+j一k，又a0为a的单位向量，故a0=．3.

在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴的正向夹角分别为45°和60°，则向量a与Oy轴正向夹角为()A

30°B

45°C

60°D

60°或120°

该问题分值:2答案:D解析：由cos2α+cos2β+cos2γ=1，且cosα=，所以向量a与Oy轴正向夹角为60°或120°．4.

若两个非零向量a与b满足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，则()A

a与b平行B

a与b垂直C

a与b平行且同向D

a与b平行且反向

该问题分值:2答案:C解析：｜a｜+｜b｜=｜a+b｜，(｜a｜+｜b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜=(｜a+b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2ab=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，即cos〈a，b〉=1，故两向量平行，若二者反向则｜a｜+｜b｜＞｜a+b｜．不满足条件，故两向量平行且同向．5.

直线()A

过原点且与y轴垂直B

不过原点但与y轴垂直C

过原点且与y轴平行D

不过原点但与y轴平行

该问题分值:2答案:A解析：若直线方程为，令比例系数为t，则直线可化为本题x0=y0=z0=0说明直线过原点，又β=0，则y=0，即此直线在平面xOz内，即垂直于y轴，故选A．6.

平面2x+3y+4z+4=0与平面2x－3y+4z－4=0的位置关系是()A

相交且垂直B

相交但不重合，不垂直C

平行D

重合

该问题分值:2答案:B解析：2×2－3×3＋4×4=11，且两平面的法向量的对应分量不成比例，故两平面的位置关系是相交，但不垂直，不重合．7.

已知三平面的方程分别为π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z－9=0，则必有()A

π1与π2平行B

π1与π2垂直C

π2与π3平行D

π1与π3垂直

该问题分值:2答案:D解析：三个平面的法向量分别为n1=｛1，一5，2｝，n2=｛3，一2，3｝，n3=｛4，2，3｝，n1．n2=19，n2．n3=17，n1．n3=0，故π1与π3垂直．8.

平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夹角为()A

B

C

D

该问题分值:2答案:B解析：平面π1的法向量，n1=｛1，一4，1｝，平面π2的法向量n2=｛2，一2，一1｝，cos〈n1，n2〉=，故〈n1，n2〉=，故选B．9.

设球面方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为()A

(一1，2，一3)，2B

(一1，2，一3)，4C

(1，一2，3)，2D

(1，一2，3)，4

该问题分值:2答案:C解析：(x－1)2+[y一(一2)]2＋(z－3)2=22，所以，该球的球心坐标与半径分别为(1，一2，3)，2．10.

方程一=z在空间解析几何中表示()A

双曲抛物面B

双叶双曲面C

单叶双曲面D

旋转抛物面

该问题分值:2答案:A解析：方程一=z满足双曲抛物面=z(p和q同号)的形式，故方程=z在空间解析几何中表示双曲抛物面．11.

方程(z－a)2=x2+y2表示()A

xOz面内曲线(z－a)2=x2绕y轴旋转而成B

xOz面内直线z－a=x绕z轴旋转而成C

yOz面内直线z－a=y绕y轴旋转而成D

yOz面内曲线(z－a)2=y2绕x轴旋转而成

该问题分值:2答案:B解析：方程(z－a)2=x2+y2形式表示旋转后的曲面方程形式是h(z，)=0，其是xOz面上的曲线z－a=x绕z轴旋转得到的曲面方程，故选B．12.

下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是()A

=y2B

z2—1=C

D

x2＋y2一2x=0

该问题分值:2答案:D解析：A项表示的是正锥面，B项表示的是单叶双曲面，C项表示的是椭球面，D项可写为(x－1)2+y2=1，其图形为圆柱面，故选D．2.填空题1.

向量a=3i+4j－k的模｜a｜=________．

该问题分值:2答案:正确答案：解析：｜a｜=．2.

在空间直角坐标系中，以点A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)为顶点的△ABC的面积为________．

该问题分值:2答案:正确答案：解析：3.

(a×b)2＋(a．b)2=________．

该问题分值:2答案:正确答案：a2．b2解析：(a×b)2=｜a｜2｜b｜2sin2θ，(a．b)2=｜a｜2｜b｜2cos2θ，θ=〈a，b〉，(a×b)2+(a．b)2=｜a｜2｜b｜2=a2．b2．4.

过点P(4，1，一1)且与点P和原点的连线垂直的平面方程为_________．

该问题分值:2答案:正确答案：4z+y—z－18=0解析：由点P与原点的连线和所求平面垂直，因此就是平面的法向量．所以n=={4，1，一1}，平面又过点P，所以由点法式得平面的方程为4(x－4)+(y－1)－(z+1)=0，即4x+y一2—18=0．5.

通过Oz轴，且与已知平面π：2x+y一－7=0垂直的平面方程为________．

该问题分值:2答案:正确答案：x一2y=0解析：过Oz轴的平面方程可设为Ax+By=0(A，B不全为零)，则法向量n=｛A，B，0｝，因为所求平面与已知平面垂直，又已知平面法向量为｛2，1，｝，故可知2A+B=0，即B=一2A，因此，所求平面方程为x一2y=0．6.

直线=z与平面x+2y+2z=5的交点坐标是________．

该问题分值:2答案:正确答案：(1，1，1)解析：设=z=t，则交点Q(3t一2，一2t+3，t)，又点Q∈平面π，即3t－2＋2(－2t+3)+2t=5，解得t=1，故交点为Q(1，1，1)．7.

点P(3，7，5)关于平面π：2x一6y+3z+42=0对称的点P'的坐标为________．

该问题分值:2答案:正确答案：解析：过点P(3，7，5)且垂直于平面π：2x一6y+3z+42=0的直线方程可写为，设点P'的坐标为(2t+3，一6t+7，3t+5)，故PP'的中点坐标为(t+3，一3t+7，+5)，且该点在平面内，即2(t+3)一6(一3t+7)+3(+5)+42=0，解得t=一，故P'=．3.解答题1.

求垂直于向量a=｛2，2，1｝与b=｛4，5，3｝的单位向量．

该问题分值:2答案:

正确答案：由向量积的定义可知，向量c=a×b是既垂直于向量a，又垂直于向量b的向量，因此为所求单位向量．由于c==i一2j+2k，因此为所求单位向量．2.

若｜a｜=3，｜b｜=4，且向量a、b垂直，求｜(a+b)×(a一b)｜．

该问题分值:2答案:

正确答案：因为(a+b)×(a－b)=一a×b＋b×a=2b×a，所以｜(a+b)×(a－b)｜=2｜b｜｜a｜sin〈a，b〉=24．3.

设平面π通过点M(2，3，一5)，且与已知平面x—y+z=1垂直，又与直线平行，求平面π的方程．

该问题分值:2答案:

正确答案：用一般式求之．设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，则从而，平面π的方程为x一2y一3z=11．4.

求过点A(－1，0，4)且平行于平面π：3x一4y＋z－10=0，又与直线L0：相交的直线方程．

该问题分值:2答案:

正确答案：用两点式求之．过点A(－1，0，4)与已知平面π：3x一4y+z一10=0平行的平面π1的方程为3(x+1)一4y+(z一4)=0，将直线L0的方程化为参数式并代入π1中，求得t=16．于是直线L0与平面π1的交点B为B(15，19，32)，=｛16，19，28｝，所求直线方程为．5.

求直线与平面x—y+z=0的夹角．

该问题分值:2答案:

正确答案：因为直线的方向向量为s=｛2，3，2｝，平面的法向量为n=｛1，一1，1｝，所以直线与平面的夹角φ的正弦为sinφ=．所以φ=arcsin．6.

求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y一3z+5=0的平面方程．

该问题分值:2答案:

正确答案：直线的方向向量为s=｛3，2，一1｝，平面的法向量为n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x一2)一2(y一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．7.

求点(一1，2，0)在平面x+2y－z+1=0的投影点坐标．

该问题分值:2答案:

正确答案：过点(一1，2，0)且与平面x+2y－z+1=0垂直的直线方程为，所以设该垂线与平面x+2y—z+1=0的交点为Q(t一1，2t+2，一t)，即点Q就是点(一1，2，0)在平面π：x+2y－z+1=0上的投影点，由点Q∈π，将Q(t一1，2t+2，一t)代入到平面方程中可得t－1+2(2t+2)＋t＋1=0，解之得t