贵州省小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

贵州省小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

姓名：班级：成绩:

小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!

一、（共35题；共160分）

1.（10分）在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米。

2.（5分）任意给定一个正整数〃，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.

3.（5分）有红、黄、黑、白四色小球各10个，混合放入一个盒子，每次至少摸出几个，才能保证有2个小

球同色？为什么？

4.（5分）从42个鸽舍中飞出211只鸽子，总有一个鸽舍中至少飞出6只鸽子。为什么？

5.（5分）在20米长的水泥阳台上放11盆花，随便怎样摆放，至少有几盆花之间的距离不超过2米.

6.（5分）一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少

要取多少个小球？

7.（5分）五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学,

他们的朋友人数一样多.

8.（5分）8个小朋友乘6只小船游玩，至少要有几个小朋友坐在同一只小船里？

9.（5分）袋子里有同样大小的红、白、黄、蓝颜色的球各5个，至少取出多少个球，可以保证取到两个颜

色相同的球？

10.（5分）有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全

一样？

11.（5分）五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在

60分以下，其余学生的成绩均在75〜95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？

12.（5分）求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得（a-b\c-dyie-f）

是105的倍数.

13.（5分）证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

14.（1分）在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.

15.（5分）求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数.

16.（5分）一个袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球若干，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次

取5个或7个，最后剩2个.这个袋中至少有多少个小球？一次至少取几个小球可以保证有两个是同色的？

17.（5分）在长为100m的笔直马路一侧站了12人，不管他们怎样站，至少有两人的距离小于10m.这是为

什么呢？

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18.（5分）在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘

米？

19.（5分）8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友

的名字.开始时,每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一

定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字.

20.（5分）六（1）班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就

说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。王老师说的对吗?为什么？

21.（5分）新兴镇上设置了3只信箱，现在有16封信要发出去，不管这些信怎样投法，必有一只信箱里至

少要投进6封信.你知道为什么吗？

22.（5分）证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识.

23.（5分）从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.

24.（5分）某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有多少人报名参加运动

会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同？

25.（5分）一副扑克牌除去两张王牌共有52张，问至少要取出多少张牌，才能保证其中一定有3种或3种

以上花色?

26.（5分）六（1）班40名学生到图书室借书，图书室有科技、历史和文艺三种书。要求：每种只能借1本,

每人至少可借1本，最多可借3本。六（1）班至少有几人所借图书是相同的？

27.（5分）黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜色

的筷子?

28.（5分）（2018六下•云南月考）有26位小朋友，他们当中至少有3位小朋友属同一生肖，这个观点对

吗?为什么？

29.（5分）能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1,2,3这三个数之一，使得大正方形的每行、

每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明.

请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.

31.（1分）如果有25个小朋友乘6只小船游玩，至少要有个小朋友坐在同一只小船里

32.（5分）某次数学竞赛有6个同学参加，总分是547分，则至少有一个同学的得分不低于92分.为什么？

33.（1分）（2020四上•万源期末）小明不小心把7个数学作业本和4个语文作业本一起碰掉到了地上，他

先捡起了5个作业本，这5个作业本中一定有作业本，可能有一作业本。

34.（1分）光明小学学生年龄最小的6岁，最大的13岁，从学校里任选位同学才能保证其中有两

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位同学的年龄相同？

35.（1分）将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了个苹果，将25个苹果放到8个

抽屉里，总有一个抽屉至少放进了个苹果.

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参考答案

一、（共35题；共160分）

1-1、

解：将国分成六个面积相等的扇形，这六个扇形可以看成六个抽屉,七个点看成七个苹果,这样必有一个抽屉有两个苹果，即

T有两个点的距禽不大于US米.

2-1、

解：考虑如下k+1个数：7,77,777.......,11Z2,21二2.这〃+1个数除以n的余数只能为0,1,2.........

力位irlCzx

中之一，共"种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以〃的余数相同，不妨设为工^和二二［（p>g）,那么

P（Sjrfi?

ZI?-12^2=是n的倍数,所以〃乘以适当的包,可以得到形式为^二9的数,即由厢7组成

血q<UqfiZ（p-fl）®弛？

的数.

3-1、

解:4+1=5（个）

答：每次至少摸出5个,才能保证有2个球同色，因为有4种颜色,假设前4次每种颜色各摸出一个,那么第5次无论搜出什么颜

色都能保证有2个球同色.

解:211+42=5......1,5+1=6⑸

4-1、答：假如每个稿舍中各有5只箫子,那么余下的1只无论在，M8舍中，总有一MS舍中至少飞出6只鸽子.

5-1、

解：如果每两盆之间的距商都超过2米，那么总距离超过2xfll-l；=2O（*）.月一方面，可以使开始的io盆每两盆

之间距离略大于2米，而最后两盆之间小于2米.所以，至少有两盘之间的距离不瞰22米.

6-1、

解：考否最“坏"的情况，先取出4个红球,5个黄球，5个黑球，这样再取T（只能是黄球或黑球），将有6个球陵色相同，

所以至少要取出4+5+5+1=15（个）小球.

7-1、

解：2昭同学每人都有朋友，最少有1个朋友，最多有19个朋友，若其中19个同学的朋友数各不相同，那么最后一名同学无论

有几个朋友，都有同学和他的朋友数相同，则至少有两名同学的朋友数相同.

解:8+6=1...2,1+1=2（个）

8-1、答：至少有两人坐在同一亲后里.

解：袋子里有4种颜色的球，只要摸出的球比它们的炭色种数多1,就能保证有两个球同色.4+1=5（个）

9-1、S：至少取出5个球，可以保证取到两个理色相同

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解：根据互干分析可得，共有14种不同的取法,把这1好不同的取法看做屉，

14x2+1=29(人)，

10.1、答:当有29人时，才能保证到少有3人取得完全一样.

«:75-95之间的同有95-75+1=21(个)

47-3=44(5)

44+21=2......2

2+1=3(名)

11-1、答：至，自3名字竽的房纬定同.

解:105=3x5x7,

对于任息的8个自然数,必可选出2个数,使它们的差是7的倍数：

在剩下的&NK中，又可选出2个数,使它们的差是5的倍数；

再在柬I下的4个数中,又可选出2个数,使它们的差是3的倍数.

12-1、则(a-bXc-rfXe-7)同时是3.5.7的倍数，即m-bXc-欧e-7)是105的倍数

13-1、

解：任何期瀚以5,箕余数只可能是0,1,2,3,4五种情形.那么沁目然数除以5,至少有两个数的余数相同.如果两

个数除以5的余数相同，另监它们的整一定是5的倍数.

14-1、

解:5个点最多把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法.把1米长的直尺平均划分成四段,

每一段25厘米，把这四段看成四个抽卮.当把五个点随意放入四个抽屉时,根据抽扈原理,一定有一个抽屉里面育两个或两

个以上的点，落在同一段上的这两点间的经离一定不大于25度米，所以结论成立.

15-1、

®5004«:1.11,111.........Ill......l(500>M).用499去=50(kNR,得到500^»。1,%，。3，•一。500

.,1,2….，498这4994sH,睥乂粮菇抽屉原则,四两^SStSffi同的,这两的日5499的倍

效,3ms5若TtSSl,JaSTeBO.gPS^jll...l(X)...O,由T49蜘的，所以它的前若他由目

499的倍数,将它乘以4,就得到一个各位数字都是4的自然数,这是499*4=199699倍数.

16-1、

解：5和7的最小公倍数是35,35+2=37(4-),符合每次取3个最后剩1个的条件，所以这个袋中至少有37个小球至少取4+1=5

个球

答：至少有37个小球，一次至少取5个球可以保证有两个是同色的.

17-1、

解：5aCS100m长的;gfi马疑9成1咐,则每隔10m站1人，可由11人,另B维12个处,距

离小于10m.

18-1

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解：把长度10厘米的线段10等分，月以每段线段的长度是1厘米(见下图).

将每段线段看成是一个~抽屉",一共有10个抽屉.现在将这11个点放到这10个抽屉中去.根据抽屉原理,至少有一个抽

卮里有两个或两个以上的点(包括这些线段的跳点).由于这两个点在同一个抽屉里,它们之间的距离当然不会大于1厘米.

所以,在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点,它们之间的距离不大于1层米.

19-1、

解：沿顺时针方向转动国真,每次转动一格,使每位小朋茄恰好对准直面上的字条，经过8次转动后,直面又回到原来的位隹.

在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次，我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看

作.苹果-,共有8只"苹果”.另一方面，由于开始时警力小朋友都不与自己名字相对,所以小朋友与自己名字相对的情况只

发生在7次转动中，这样7次转动(即7个"抽屉")将产生8位小朋友对淮自己名字的情况，由抽扈原理可知，至少在某一次转

动后,稗两个或两个以上的小朋友好隹自己的名字.

201、解：王老师说得对，因为86分到100分共有15个分数,(49-3)4-15=3...!,3+1=4(人),所以本班至少有4人虞呻同.

2卜1、解:平均每只惊6装锚,则只15x3=15(M),所以必然有一只信箱要装6封.

22-1、

解：把这6个人看作6个点,每两点之间连段,两人相互认识的话将送段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么

只需证明其中育一个同色三角形即可.从这6个点中随意选取一点j，从<点引出的5条线段，根据油屉原理，必有3条的颜色

相同，不妨设有3条线段为红色，它们另一点分别为B、C.D.那么这H点中具饕有两点比如说B.C之间的线段

是红色，那么.小B、C3点组成红色三角形；如果方、c、。三点之间的段段都不是红色/眩都是蓝色，这样5、C

.Q3点组成雌三角形，也符合条件.所以箔论成立.

23-1、

解：把这2OW分成以下10®,看成10个抽屉：(1,2,4,8,16),(3,6,12),(5,10,20),(7,14),(9,

18),(11),(13),(15),(17),(19),前5个抽屉中，,

必稗f抽屉中要取2个数，它们只能从前PN4屉中取出，这两个数所满足基目要求.

241、解：十项比赛，每位同学可以任报两项,田弦有45种不同的报名方法.由第1UH545+1=46(A)报名时流足蹙意.

解：13x2+1=27保)

25-1、答:至少要取出27张牌.

解：同学们借书情况共有7种.用A.B、C表示3种图书借书的情况有:A,B,C,AB,AC,BC,ABC.

40+7=5-5

5+l=6(A)

26-1、答：六①班至少'套6人所借图书是丐尾的.

27-1