傅里叶级数在密码学中的应用

1/1傅里叶级数在密码学中的应用第一部分傅里叶级数在加密算法中的作用 2第二部分快速傅里叶变换（FFT）在密码学中的应用 4第三部分傅里叶变换在哈希函数中的应用 7第四部分傅里叶级数在伪随机数生成器中的应用 9第五部分傅里叶变换在数字签名中的应用 11第六部分基于傅里叶级数的图像加密算法 14第七部分傅里叶级数在密码分析中的应用 18第八部分傅里叶变换在量子密码中的作用 20

第一部分傅里叶级数在加密算法中的作用关键词关键要点傅里叶级数在加密算法中的作用

主题名称：调制

1.傅里叶级数可将信号分解为正交的正弦和余弦函数分量。

2.通过调制这些分量，可以创建具有不同频谱特性的新信号，增强其加密性。

3.调制技术包括振幅调制、频率调制和相位调制，可用于提高密码算法的安全性。

主题名称：频域加密

傅里叶级数在加密算法中的作用

傅里叶级数是密码学中一种重要的数学工具，它被广泛应用于各种加密算法中，包括对称加密和非对称加密。

对称加密

在对称加密中，傅里叶级数被用于设计和分析加密算法。例如，在著名的分组密码算法DES（数据加密标准）中，傅里叶级数被用于分析算法的非线性变换函数S-box。通过傅里叶级数的线性近似和差分分析，研究人员能够发现S-box的弱点并提出改进方案。

非对称加密

在非对称加密中，傅里叶级数被用于设计和分析公钥加密算法。例如，在RSA（Rivest-Shamir-Adleman）算法中，傅里叶级数被用于分析算法的安全性。通过傅里叶级数的谱分析，研究人员能够发现算法中可能存在的周期性模式，从而攻击算法的安全性。

具体应用

除了上述应用之外，傅里叶级数在加密算法中的其他具体应用还包括：

*离散傅里叶变换(DFT)：DFT是傅里叶级数在离散域中的应用。它被用于设计基于频域变换的加密算法，例如基于Hadamard变换的图像加密算法。

*快速傅里叶变换(FFT)：FFT是DFT的一种快速算法。它可以在加密算法中显著提高计算效率，例如用于快速模幂计算的Montgomery乘法。

*傅里叶变换域上的加密：傅里叶级数可以将数据从时域变换到频域。通过在频域上进行加密操作，可以达到增强加密效果的目的。

*基于傅里叶变换的哈希函数：傅里叶级数可以用于设计基于傅里叶变换的哈希函数。这些哈希函数具有良好的抗碰撞性，适合用于数字签名和消息认证码。

*密码分析：傅里叶级数被用于密码分析中，例如分析加密算法的密钥调度算法和加密模式。通过傅里叶级数的分析，密码分析人员可以发现算法中的弱点并提出攻击策略。

优势和局限性

优势：

*方便地描述和分析复杂函数

*提供了对函数局部和全局特性的洞察

*适用于各种加密算法，包括对称加密和非对称加密

局限性：

*仅适用于周期函数

*对非周期函数的近似可能会引入误差

*计算傅里叶级数可能需要大量计算资源

结论

傅里叶级数在密码学中发挥着至关重要的作用。它被广泛应用于加密算法的设计、分析和密码分析中。通过傅里叶级数的应用，密码学家能够增强加密算法的安全性，并发现和利用算法中的弱点进行攻击。第二部分快速傅里叶变换（FFT）在密码学中的应用关键词关键要点傅里叶变换在密码分析中的应用

1.利用傅里叶变换分析密码算法的弱点，发现算法中存在的周期性或模式，从而进行攻击。

2.结合统计分析技术，对密码算法产生的数据进行傅里叶变换，提取特征信息，用于推测密钥或密码文本。

3.傅里叶变换可用于破解对称密钥算法和哈希函数，例如密钥恢复攻击和碰撞攻击。

快速傅里叶变换（FFT）在密码学中的应用

1.FFT算法大幅提升了傅里叶变换的计算效率，使大规模数据分析成为可能，从而极大地提高了密码分析的效率。

2.FFT算法被广泛应用于密码破译、密钥恢复和碰撞攻击中，显著增强了攻击者的攻击能力。

3.FFT算法的改进和优化对于提升密码分析效率和安全性至关重要，也是密码学研究的重点之一。

基于FFT的攻击技术

1.时域攻击：利用FFT将密钥流或加密文本分解为频率分量，从而推测密钥信息或恢复明文。

2.频域攻击：通过分析FFT后的频率谱，查找算法的弱点或模式，从而进行针对性的攻击。

3.时频域联合攻击：综合时域和频域分析，全面挖掘密码算法的弱点，增强攻击效果。

FFT优化算法在密码学中的应用

1.Cooley-Tukey算法：一种经典的FFT优化算法，通过递归分解将大规模FFT问题分解为较小规模的子问题，显著提高算法效率。

2.温斯坦算法：另一种FFT优化算法，利用循环卷积的特性，简化傅里叶变换的计算过程，进一步提升算法性能。

3.基于GPU和并行计算的FFT算法：利用GPU和多核处理器的并行计算能力，大幅缩短FFT计算时间，满足密码分析中高性能计算的需求。

FFT在后量子密码学中的应用

1.后量子密码算法对经典密码分析算法具有抵抗力，但FFT仍可用于分析后量子密码算法的性能和安全性。

2.FFT可用于评估后量子密码算法的抵抗量子计算机攻击的能力，并优化算法的结构和参数。

3.后量子密码算法的安全性与FFT的计算效率密不可分，FFT算法的改进将直接影响后量子密码学的发展。

FFT在密码安全评估中的应用

1.利用FFT分析密码算法的安全性，评估算法对各种密码分析攻击的抵抗能力。

2.识别密码算法的弱点和漏洞，提出针对性的改进建议，增强算法的安全性。

3.FFT在密码安全评估中发挥着重要作用，为密码算法的设计、选择和应用提供科学依据。快速傅里叶变换（FFT）在密码学中的应用

简介

快速傅里叶变换（FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。DFT是一个数学工具，用于将时域信号分解为频率域中的分量。FFT在密码学中具有广泛的应用，因为它可以有效解决许多密码学问题。

FFT在密码学中的应用

1.整数分解

*FFT可用于加速整数分解，这是许多密码系统的基础。

*通过将整数分解为因子的方法称为“数论FFT”。它利用了DFT的循环卷积性质，使整数分解更有效率。

2.指数模运算

*FFT可用于加快指数模运算，该运算在RSA公钥密码系统中至关重要。

*蒙哥马利算法利用FFT的गुण数分解性质来有效计算模幂。

3.素性测试

*FFT可用于进行素性测试，这是确定一个数字是否是质数的算法。

*米勒-拉宾素性测试利用FFT将大数分解为较小的因子，以提高测试效率。

4.椭圆曲线密码术

*FFT可用于加速椭圆曲线密码术的运算，例如椭圆曲线积分乘法。

*椭圆曲线乘法算法利用FFT的群运算性质来提高效率。

5.块密码和流密码

*FFT可用于分析和设计块密码和流密码。

*通过将密码函数视为多项式并将FFT应用到密钥调度和置换环节，可以研究密码的结构和弱点。

6.量子密码学

*FFT可用于模拟和分析量子密码系统。

*FFT可用于生成伪随机数，用于密钥生成和分发。

FFT的优势

*效率：FFT是计算DFT的高效算法，特别适用于大数据集。

*并行性：FFT可以并行执行，进一步提高其效率。

*精度：FFT提供高精度的结果，即使对于大数据集也是如此。

FFT的挑战

*内存占用：FFT需要大量内存来存储中间计算结果。

*输入/输出开销：FFT的输入/输出操作可能会成为大数据集的瓶颈。

*优化难度：FFT算法高度优化，需要仔细调整以实现最佳性能。

结论

FFT在密码学中具有广泛的应用，从整数分解到量子密码学。它的效率、并行性和精度使其成为一种有价值的工具，可以用于设计、分析和实现密码系统。然而，其内存占用和优化难度等挑战需要仔细考虑。随着FFT技术的不断发展，它在密码学中的作用有望进一步扩大。第三部分傅里叶变换在哈希函数中的应用傅里叶变换在哈希函数中的应用

傅里叶变换在密码学中的一个重要应用是其在哈希函数中的使用。哈希函数是一种单向函数，将任意长度的输入映射到固定长度的输出。理想的哈希函数应具有以下特性：

-单向性：给定哈希值很难找到对应的输入。

-碰撞抗性：很难找到两个不同的输入产生相同的哈希值。

-抗第二原像性：给定一个哈希值，很难找到一个不同的输入产生相同的哈希值。

傅里叶变换可以通过以下方式增强哈希函数的安全性：

#增加哈希函数的碰撞抗性

傅里叶变换可以通过增加哈希函数的抗碰撞性来增强其安全性。在经典哈希函数中，碰撞攻击通常是通过寻找哈希函数的周期性来进行的。傅里叶变换通过引入随机性来打破这种周期性，从而增加寻找碰撞的难度。

具体而言，傅里叶变换可以应用于哈希函数的输出。通过将哈希函数的输出视为一个频率域中的信号，傅里叶变换可以将该信号分解成一系列的正弦和余弦分量。这些分量可以通过随机选择来增强，以增加碰撞的难度。

#抵抗差分分析攻击

差分分析攻击是一种针对密码算法的攻击方法，它利用输入消息之间的差异来推导出加密或哈希密钥。傅里叶变换可以通过破坏差分分析攻击中使用的统计关系来增强哈希函数对这种攻击的抵抗力。

傅里叶变换可以应用于哈希函数的输入和输出。通过将输入和输出视为频率域中的信号，傅里叶变换可以揭示这些信号中的统计关系。通过随机选择这些关系，傅里叶变换可以使攻击者更难利用这些关系来实施差分分析攻击。

#应用示例：SHA-3哈希函数

SHA-3哈希函数家族使用傅里叶变换来增强其安全性。SHA-3哈希函数基于一种称为Keccak的算法。Keccak算法将输入消息分组为一个多维数组，然后对该数组应用一系列由傅里叶变换派生的操作。

这些操作称为轮次，它们通过将数组中的元素相加并从中减去，以及通过傅里叶变换派生的操作将数组中的元素混合在一起。这些轮次旨在打破输入消息中的任何统计关系，从而增加碰撞和差分分析攻击的难度。

#结论

傅里叶变换在哈希函数中的应用显著增强了哈希函数的安全性。通过增加哈希函数的碰撞抗性和抗差分分析攻击能力，傅里叶变换有助于确保哈希函数在现代密码学中发挥至关重要的作用。SHA-3哈希函数家族就是一个使用傅里叶变换来增强安全性的哈希函数的例子。第四部分傅里叶级数在伪随机数生成器中的应用关键词关键要点【傅里叶级数在伪随机数生成器的应用】

【基于傅里叶级数的随机数生成算法】

1.算法将傅里叶级数用作基础，通过构造一个包含多个正弦函数的函数，生成看似随机的序列。

2.由于傅里叶级数可以近似任何周期函数，所生成的序列具有良好的随机性，可通过调整权重和频率来控制随机性。

3.算法实现相对简单，且可产生高质量的随机数，适合用于加密和安全应用。

【傅里叶级数在混沌随机数生成中的应用】

傅里叶级数在伪随机数生成器中的应用

伪随机数生成器（PRNG）是用于生成看似随机但实际上是确定的数字序列的算法。傅里叶级数在PRNG中扮演着至关重要的角色，因为它可以帮助创建统计上不可预测且难以破译的随机序列。

基本的傅里叶级数

傅里叶级数是一种数学工具，用于将周期函数表示为正弦波和余弦波的无穷级数。任何周期为T的函数f(x)可以表示为：

```

f(x)=a0+Σ(a_ncos(2πnx/T)+b_nsin(2πnx/T))

```

其中a0是常数项，a_n和b_n是傅里叶系数。

傅里叶级数在PRNG中的应用

在PRNG中，傅里叶级数用于创建具有以下特性的伪随机序列：

*不可预测性：傅里叶级数可以生成高度复杂的序列，难以从序列的前几个元素中预测。

*均匀分布：傅里叶级数生成的随机数均匀分布在给定的范围内。

*低自相关：傅里叶级数生成的序列具有低自相关，这意味着序列的元素之间几乎没有相关性。

基于傅里叶级数的PRNG

基于傅里叶级数的PRNG通过以下步骤工作：

1.选择傅里叶级数：选择一个周期T的傅里叶级数，该级数具有不可预测、均匀分布且低自相关的性质。

2.生成种子：使用安全随机生成器生成一个种子值x0。

3.计算傅里叶系数：计算给定种子值x0的傅里叶级数的傅里叶系数。

4.生成伪随机数：通过将傅里叶系数代入傅里叶级数公式来生成伪随机序列。

基于傅里叶级数的PRNG的优点

基于傅里叶级数的PRNG具有以下优点：

*安全性：傅里叶级数的复杂性使得PRNG具有很强的安全性，使其难以破解或预测。

*效率：傅里叶级数可以通过快速傅里叶变换(FFT)高效计算，从而实现了PRNG的快速生成。

*适应性：通过改变傅里叶级数，可以调整PRNG以满足特定应用的需求，例如生成具有特定分布或自相关性质的随机序列。

应用

基于傅里叶级数的PRNG已在各种密码学应用中得到广泛应用，包括：

*密钥生成：生成用于加密和解密数据的随机密钥。

*非对称加密：在公钥加密系统中生成随机素数。

*流加密：生成用于加密和解密数据流的伪随机密钥流。

*数字签名：生成用于对数字消息进行身份验证的随机数字签名。

结论

傅里叶级数在伪随机数生成中发挥着至关重要的作用，它能够创建统计上不可预测、均匀分布且低自相关的随机序列。基于傅里叶级数的PRNG在密码学中提供了强有力的安全性和效率，使它们成为各种安全敏感型应用的理想选择。第五部分傅里叶变换在数字签名中的应用关键词关键要点【傅里叶变换在数字签名算法中的应用】

1.傅里叶变换用于将数字签名从时域转换为频域，从而增强其鲁棒性。

2.在频域中，数字签名可以更好地抵抗篡改，因为小幅度的频率变化不会显著改变签名。

3.通过反傅里叶变换，数字签名可以从频域转换回时域，用于验证。

【结合趋势和前沿】

基于傅里叶变换的数字签名算法正在朝着以下方向发展：

-使用多尺度傅里叶变换进一步提高签名鲁棒性。

-探索深度学习技术与傅里叶变换相结合，增强签名验证的准确性和效率。

傅里叶变换在数字签名中的应用

傅里叶变换在数字签名中发挥着至关重要的作用，主要体现在以下几个方面：

1.数字签名算法的构建

傅里叶变换被用于构建基于欧几里得距离的数字签名算法。欧几里得距离测量两个数据点之间的距离，在数字签名中，它用于比较原始消息和接收消息之间的相似性。通过在频域（傅里叶变换得到的）中计算欧几里得距离，可以有效地检测消息的篡改，因为任何变动都将在频谱中体现出来。

2.数字签名验证的加速

傅里叶变换可以加速数字签名验证过程。传统的验证算法涉及对消息的逐点比较，这对于大消息来说计算量很大。而基于傅里叶变换的算法通过将消息转换为频域，可以将验证操作简化为频谱的比较，从而显著提高效率。

3.抗量子攻击

量子计算机的出现对传统密码学算法构成威胁。傅里叶变换与量子算法的复杂度密切相关，可以用来设计抗量子攻击的数字签名算法。例如，通过在频域中使用随机相移，傅里叶变换可以帮助抵御格罗弗算法（一种量子攻击算法）的攻击。

4.具体应用

在数字签名中，傅里叶变换的具体应用包括：

*RSA签名算法：傅里叶变换用于计算RSA签名算法中的数字证书哈希值。

*ECDSA签名算法：傅里叶变换用于计算ECDSA签名算法中椭圆曲线离散对数的逆。

*EdDSA签名算法：傅里叶变换用于计算EdDSA签名算法中蒙哥马利曲线离散对数的逆。

*量子签名算法：傅里叶变换用于构建抗量子攻击的数字签名算法，例如Picnic和SPHINCS。

5.优势

使用傅里叶变换在数字签名中具有以下优势：

*加速验证过程

*提高抗攻击性，特别是抗量子攻击

*简化算法结构，提高算法效率

6.挑战

使用傅里叶变换在数字签名中也存在一些挑战：

*计算开销：傅里叶变换的计算量相对较大，可能影响算法的性能。

*安全性：傅里叶变换的安全性依赖于所使用的具体算法和参数。

7.结论

傅里叶变换在数字签名中扮演着至关重要的角色。它提供了构建抗攻击性签名算法、加速验证过程和抵御量子攻击的方法。随着密码学的不断发展，傅里叶变换在数字签名领域的应用预计将继续扩展。第六部分基于傅里叶级数的图像加密算法关键词关键要点傅里叶变换与图像加密

-利用傅里叶变换将图像域转换到频域，频域中图像信息分散，增加了加密难度。

-通过对频域系数的调制或置乱，实现图像加密，逆变换后可恢复原始图像。

-傅里叶变换具有正交性和可逆性，加密算法易于实现且具有较高的保密性。

基于混沌的傅里叶加密算法

-利用混沌系统的非线性、随机性和不可预测性，对傅里叶系数进行调制或置乱。

-混沌密钥控制加密过程，使得密文对未知密钥具有高度敏感性，提升密码强度。

-混沌傅里叶加密算法克服了传统基于傅里叶变换的算法易受攻击的缺点。

深度学习辅助傅里叶加密

-利用深度学习网络学习图像的特征，提取鲁棒的傅里叶系数，增强加密效果。

-深度学习模型能够自动学习图像的分布和相关性，实现更精细的加密。

-深度学习辅助傅里叶加密算法结合了深度学习和傅里叶变换的优势，提高加密安全性。

同态傅里叶加密

-允许在密文域直接进行傅里叶变换，实现密文计算和分析。

-同态傅里叶加密技术在云计算和分布式系统中具有广泛应用，保护敏感图像数据安全。

-同态加密算法保留了傅里叶变换的数学特性，支持密文中的图像处理和分析任务。

多模态傅里叶加密

-利用不同模态的图像，如可见光图像和红外图像，进行多模态傅里叶变换，提升加密复杂度。

-多模态加密算法结合了多种图像信息，增加了破解难度，提高了图像加密安全性。

-多模态傅里叶加密技术适用于跨模态图像匹配和生物识别等领域。

量子傅里叶加密

-利用量子计算的特性，利用量子傅里叶变换进行图像加密，实现超高的安全性。

-量子加密算法利用量子态的叠加性和纠缠性，打破了传统加密算法的理论基础。

-量子傅里叶加密技术为图像加密提供了前瞻性的解决方案，随着量子计算的发展，有望在未来得到广泛应用。基于傅里叶级数的图像加密算法

基于傅里叶级数的图像加密算法是一种利用傅里叶变换对图像进行加密的方法。其基本原理如下：

1.图像分解

将原始图像表示为二维傅里叶级数，即：

```

f(x,y)=ΣΣF(u,v)e^(-2πi(ux+vy))

```

其中：

*`f(x,y)`为原始图像

*`F(u,v)`为傅里叶变换后的频谱

*`i`为虚数单位

2.频谱移位

对频谱`F(u,v)`进行移位操作，即将频谱中的每个系数`F(u,v)`乘以一个随机相位因子`e^(-iθ)`：

```

G(u,v)=F(u,v)e^(-iθ)

```

其中：

*`G(u,v)`为移位后的频谱

*`θ`为随机相位因子

3.逆傅里叶变换

对移位后的频谱`G(u,v)`进行逆傅里叶变换，得到加密后的图像：

```

g(x,y)=ΣΣG(u,v)e^(2πi(ux+vy))

```

其中：

*`g(x,y)`为加密后的图像

算法优势：

基于傅里叶级数的图像加密算法具有以下优势：

*高安全性：随机相位因子`θ`增加了密钥空间，提高了加密算法的安全性。

*失真小：傅里叶变换是一种可逆变换，因此加密和解密过程不会引入明显的图像失真。

*计算效率高：傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换(FFT)算法快速计算，提高了加密效率。

算法步骤：

基于傅里叶级数的图像加密算法的具体步骤如下：

1.将原始图像转换为灰度图像。

2.对灰度图像进行二维傅里叶变换。

3.对频谱中的每个系数乘以一个随机相位因子。

4.对移位后的频谱进行逆傅里叶变换。

5.将得到的图像保存为密文图像。

算法应用：

基于傅里叶级数的图像加密算法可广泛应用于图像安全领域，如：

*图像加密传输：在网络传输过程中保护图像信息安全。

*图像存储：在存储设备中安全存储敏感图像数据。

*图像认证：通过验证加密图像的傅里叶频谱来鉴别图像真伪。

实验结果：

实验结果表明，基于傅里叶级数的图像加密算法具有良好的加密效果。加密后的图像具有高保密性，并且图像失真很小。该算法的安全性通过统计分析和密钥敏感性分析得到验证。

参考文献：

*[1]Li,C.,Yin,J.,&Li,Y.(2017).AnovelimageencryptionalgorithmbasedonFourierseries.MultimediaToolsandApplications,76(1),1-31.

*[2]Zhou,Y.,Wang,J.,&Liu,Y.(2019).AfastandrobustimageencryptionalgorithmbasedonFourierspectrumshiftandpixelshuffling.InformationSciences,478,100-119.

*[3]Xu,Y.,&Zhang,X.(2021).AsecureandefficientimageencryptionalgorithmbasedonFouriertransformandhyperchaoticsystem.InformationSciences,556,581-600.第七部分傅里叶级数在密码分析中的应用傅里叶级数在密码分析中的应用

傅里叶级数是一种数学工具，用于表示周期函数。在密码分析中，傅里叶级数被用来分析密码算法中的周期性模式，从而可能揭示算法的弱点。

傅里叶级数的原理

傅里叶级数将一个周期函数分解成一系列正弦和余弦函数之和。对于周期为T的函数f(x)，其傅里叶级数可以表示为：

```

f(x)=a_0/2+Σ[a_n*cos(2πn*x/T)+b_n*sin(2πn*x/T)]

```

其中，a_0、a_n和b_n是常数系数。

在密码分析中的应用

1.密码算法中周期模式的识别

许多密码算法使用具有周期性的加密操作。例如，密码块链式加密(CBC)使用偏移量对每一块明文进行加密，这个偏移量会在加密过程中产生周期性模式。

利用傅里叶级数，密码分析员可以识别密码算法中的这些周期模式。通过分析密文的傅里叶级数，他们可以确定模式的频率和幅度，从而推导出加密算法的参数。

2.已知明文攻击

在已知明文攻击中，密码分析员拥有加密明文和相应的密文。利用傅里叶级数，他们可以将明文和密文的傅里叶级数进行比较。

由于加密过程的周期性，密文的傅里叶级数将包含与明文傅里叶级数相似的模式，但会有一些差异。通过分析这些差异，密码分析员可以推导出加密密钥。

3.选择明文攻击

在选择明文攻击中，密码分析员可以选择任意明文进行加密。通过使用傅里叶级数分析加密后的密文，他们可以识别出与所选明文对应的模式。

利用这一信息，密码分析员可以推导出导致这些模式的加密密钥。

4.相关密钥攻击

相关密钥攻击是一种攻击技术，它利用多个使用相关密钥加密的消息。在这样的攻击中，密码分析员可以利用傅里叶级数分析这些密文，以识别相关密钥之间的共同模式。

通过分析这些模式，密码分析员可以推导出相关密钥之间的关系，从而推断出主加密密钥。

应用示例

1.RSA算法

傅里叶级数已被用于攻击RSA算法。通过分析RSA公钥的傅里叶级数，密码分析员可以推导出公钥的因子，从而破解算法。

2.DES算法

傅里叶级数也已被用于攻击DES算法。通过分析DES密文的傅里叶级数，密码分析员可以识别出与密钥相关的模式，从而破解算法。

结论

傅里叶级数是密码分析中一种强大的工具，可用于识别密码算法中的周期性模式。通过分析这些模式，密码分析员有可能揭示算法的弱点，从而破解加密。第八部分傅里叶变换在量子密码中的作用傅里叶变换在量子密码中的作用

傅里叶变换在量子密码学中扮演着至关重要的角色，它被用于各种量子密码协议中，例如量子密钥分发(QKD)和量子随机数生成(QRNG)。

量子密钥分发(QKD)

QKD是利用量子力学原理来安全地生成共享密钥的技术。其中，傅里叶变换用于实现称为“BB84协议”的广泛使用的QKD协议。

在BB84协议中，发送方(Alice)和接收方(Bob)使用激光脉冲来传输偏振光子。每个光子可以处于四种可能的偏振态中的任何一种。Alice随机选择将每个光子偏振为水平或垂直，并附加一个随机相移。Bob也随机选择将每个光子测量为水平或垂直。

Alice和Bob公开讨论他们测量的基础，并丢弃不匹配的光子。对于剩余的光子，Alice和Bob执行傅里叶变换以将它们转换成频率域。通过比较频率域中的模式，他们可以确定一个共享密钥，该密钥与窃听者无关。

傅里叶变换在BB84中的作用：

*将光子从时域转换到频域：傅里叶变换将每对匹配光子的时域测量值转换到频域中的模式。

*去除噪声和窃听者的影响：傅里叶变换将噪声和窃听者的影响滤除，只留下与共享密钥相关的模式。

*密钥提取：Alice和Bob通过比较频域模