新高考艺术生40天突破数学90分讲义第12讲不等式大小关系及不等式的解法(原卷版+解析)

第12讲不等式大小关系及不等式的解法【知识点总结】一、基本概念不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在.不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式.不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.二、基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1.两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）（传递性，注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意条件为正）2.一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）.（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4）（5）（不等量加等量）（6）（乘方保号性，注意条件为正）（7）（开方保号性，注意条件为正）（8）（同号可倒性）；.三、一元一次不等式（）（1）若，解集为.（2）若，解集为（3）若，当时，解集为；当时，解集为四、一元一次不等式组（）（1），解集为.（2），解集为（3），解集为（4），解集为五、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上.（2）=1\*GB3①若，解集为.=2\*GB3②若，解集为.=3\*GB3③若，解集为.(2)当时，二次函数图象开口向下.=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为六、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.例如，解一元高次不等式（1）将最高次项系数化为正数（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集.七、分式不等式（1）（2）（3）（4）八、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【典型例题】例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则例3．（2022·全国·高三专题练习）实数，，满足且，则下列关系成立的是（）A． B． C． D．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为_______【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（）A．< B．a2>b2C．> D．a|c|>b|c|2．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（）①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则.A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（）A．m＞n B．m≥nC．m＜n D．m≤n5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（）A．(1，3)B．C．D．6．（2022·全国·高三专题练习）设＜＜＜1，则()A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2022·全国·高三专题练习）若α，β满足，则2α－β的取值范围是A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－<2α－β< D．0<2α－β<π9．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若集合，，则（）A． B． C． D．10．（2021·吉林·高三阶段练习（文））设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．或 B． C． D．12．（2012·重庆·高三阶段练习（理））若不等式的解集是，则的值为（）A． B． C． D．13．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为（）A． B．(－∞，1) C．∪(1，＋∞) D．14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则等于（）A． B． C． D．15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（）A． B． C． D．16．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，则（）A． B． C． D．17．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式的解集是，则实数（）A． B． C． D．18．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（）A． B． C． D．19．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（）A． B． C． D．20．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（）A． B．C． D．21．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）二次不等式的解集为，则的值为（）A． B．5 C． D．6二、多选题22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，则三、填空题23．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，那么，，的大小关系为_____________.24．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a、x满足，则、、中的最大数为______25．（2022·全国·高三专题练习）比较大小：______（用“”或“”符号填空）．26．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）27．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.28．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．29．（2019·江苏·高三专题练习）不等式的解集是________．30．（2020·全国·高三专题练习）在上定义运算，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________.31．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.32．（2021·上海市七宝中学高三期中）关于x的不等式的解集为，则函数的定义域是_______33．（2021·北京·101中学模拟预测）若关于x的不等式（）的解集为，且，则a的值为___________.34．（2021·江苏省苏州第十中学校高三阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________.第12讲不等式大小关系及不等式的解法【知识点总结】一、基本概念不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在.不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式.不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.二、基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1.两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）（传递性，注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意条件为正）2.一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）.（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4）（5）（不等量加等量）（6）（乘方保号性，注意条件为正）（7）（开方保号性，注意条件为正）（8）（同号可倒性）；.三、一元一次不等式（）（1）若，解集为.（2）若，解集为（3）若，当时，解集为；当时，解集为四、一元一次不等式组（）（1），解集为.（2），解集为（3），解集为（4），解集为五、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上.（2）=1\*GB3①若，解集为.=2\*GB3②若，解集为.=3\*GB3③若，解集为.(2)当时，二次函数图象开口向下.=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为六、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.例如，解一元高次不等式（1）将最高次项系数化为正数（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集.七、分式不等式（1）（2）（3）（4）八、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【典型例题】例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】A：若，则（），故A错误；B：若，则，所以，所以B正确；C：若，则，所以C错误；D：若，则，故D错误.故选：B.例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则【答案】C【详解】当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1时，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确．故选：C．例3．（2022·全国·高三专题练习）实数，，满足且，则下列关系成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得，利用完全平方可得由可得，所以，，，综上，故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.【答案】0【详解】由题意，得：，且，2是方程的两根，则，，解得，，则.故答案为：0.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】由，得，得，所以，由，得，得，所以，因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以，即．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题的解答关键是将是的充分不必要条件转化为集合是的真子集.例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．【答案】【详解】当时，不等式为有实数解，所以符合题意；当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意；当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得，所以，综上所述：的取值范围是，故答案为：.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为_______【答案】【详解】当时，不等式恒成立，所以符合题意；当时，若关于的不等式恒成立，则，解得：，综上所述的取值范围为：，故答案为：.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（）A．< B．a2>b2C．> D．a|c|>b|c|【答案】C【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质，求得，且，即可求解.【详解】由，可得，又由，可得，因为，可得，所以，即的取值范围是.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（）①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】①∵a>|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正确；②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－3<1－(－2)，故②错误；③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)<1×(－2)，故③错误；④∵a>b>0，∴0<<且c<0，∴，∴④正确．故选：B4．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（）A．m＞n B．m≥nC．m＜n D．m≤n【答案】B【分析】运用作差法进行比较即可得到答案.【详解】因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.所以m≥n.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（）A．(1，3)B．C．D．【答案】A【分析】先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.【详解】因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A．6．（2022·全国·高三专题练习）设＜＜＜1，则()A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa【答案】C【分析】先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小.【详解】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.故答案为C【点睛】（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可.【详解】（1）若以①②为条件，③为结论.则，因为，即，故，即；则此时可以组成真命题；（2）若以①③为条件，②为结论.则由，即，结合，故可得.则此时可以组成真命题；（3）若以②③为条件，①为结论.则由，即，结合，即可得.则此时可以组成真命题.故可以组成正确命题的个数是：.故选：.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题.8．（2022·全国·高三专题练习）若α，β满足，则2α－β的取值范围是A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－<2α－β< D．0<2α－β<π【答案】C【分析】由不等式的同向可加性得到，结合将右侧范围进一步缩小，即可得到答案【详解】由知：由知：∴又∵即∴故选：C【点睛】本题考查了不等式的性质，应用不等式的同向可加性及同减相同的数符号不变，求范围9．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简两个集合A、B，再对两个集合取并集.【详解】故故选：C10．（2021·吉林·高三阶段练习（文））设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求命题、对应x的范围，根据必要不充分条件列不等式求的取值范围即可.【详解】由题设，，，∵是的必要不充分条件，∴，解得.故选：A11．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】对分两种情况讨论，结合二次函数的图象和性质求解.【详解】当时，，不符合题意，所以舍去；当时，由题得且，所以.综上：.故选：C12．（2012·重庆·高三阶段练习（理））若不等式的解集是，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值，即可得解.【详解】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，且有，由韦达定理可得，解得，因此，.故选：B.13．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为（）A． B．(－∞，1) C．∪(1，＋∞) D．【答案】A【分析】化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解.【详解】原不等式，可化为，即，结合分式不等式的解法，解得，即不等式的解集为.故选：A.14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求.【详解】由题意得，即，根据对数函数的单调性得，解得，所以集合，解不等式得，故集合，所以.故选：B．15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解一元二次不等式与指数不等式得到集合、，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由可得，可得，所以集合，，所以.故选：C.16．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过解不等式分别求出集合A，B，再求出.【详解】解不等式得，则；解不等式得，则.所以，.故选：D.17．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式的解集是，则实数（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三个“二次”的关系即得.【详解】的解集是，和是方程的解.由根与系数的关系知，解得.故选：D.18．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分式不等式化简后根据解集即可得出答案.【详解】根据原不等式可以推出，因为不等式的解集为或，所以，是方程的两根，且，所以.故选:A19．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出不等式的解，由其中只有5个整数得出不等关系，从而求得参数范围．【详解】原不等式变形为，时，原不等式才有解．且解为，要使其中只有5个整数，则，解得．故选：D．20．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.【详解】由题可得和是方程的两个根，且，，解得，则，则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C.21．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）二次不等式的解集为，则的值为（）A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.【详解】不等式的解集为，，原不等式等价于，由韦达定理知，，，，．故选：D．二、多选题22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，则【答案】BC【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解.【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B:，，所以本命题是真命题；选项C:，，所以本命题是真命题；选项D:若时，显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC．三、填空题23．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，那么，，的大小关系为_____________.【答案】【分析】利用不等式的性质以及作差法即可比较大小.【详解】由，，则，，，又，所以，所以.故答案为：24．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a、x满足，则、、中的最大数为______【答案】【分析】根据不等式的性质即可得解.【详解】解：两边同乘得，两边同乘得，所以故、、中的最大数为故答案为：【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.25．（2022·全国·高三专题练习）比较大小：______（用“”或“”符号填空）．【答案】【分析】因为两个数都是正数，所以平方后，再做差比较大小.【详解】解：，故，故，故答案为：26．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．（用“>”或“<”填空）【答案】>【分析】作差，判断差的符号可得答案.【详解】因为,又，，所以，所以，故答案为：>.27．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是__