广东省东莞市东华初级中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题【含答案】

九年级数学2023-2024年期中复习模拟卷培优卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列图形是中心对称图形是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确，故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（）A. B.8 C.0 D.0或8【答案】D【解析】【详解】解：∵一元二次方程x2+(m−2)x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即(m−2)2−4×1×(m+1)=0，整理，得m2−8m=0，解得m1=0，m2=8．故选D．3.在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，b的范围，再相比较看是否一致即可．【详解】解：观察一次函数的图象得：，由次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4.关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【详解】△=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5.抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．【详解】解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点，∴，解方程组得，∴抛物线解析式为，当时，．故选择A．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．6.如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等弧所对的圆周角相等得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形内接于，，∴，∵，，∴,又∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（）A.（，1） B.（1，﹣） C.（，﹣） D.（﹣，）【答案】C【解析】【分析】求出旋转后OA与y轴夹角为45°，然后求出点A′的横坐标与纵坐标，从而得解．【详解】如图，∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，∴旋转后OA与y轴夹角为45°，∵OA＝2，∴OA′＝2，∴点A′的横坐标为2×＝，纵坐标为﹣2×＝﹣，所以，点A′的坐标为（，﹣）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化和旋转，能正确画出图形是解此题的关键．8.某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，假设每轮每人传染的人数相同.则每轮每人传染的人数为（）A.4人 B.5人 C.6人 D.7人【答案】A【解析】【分析】设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得，，解得：，（不合题意，舍去），故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染人，轮共传染人．9.若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是（）A.m＜a＜b＜n B.a＜m＜n＜b C.b＜n＜m＜a D.n＜b＜a＜m【答案】D【解析】【详解】试题分析：如图抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与x轴交于点（a，0），（b，0），抛物线与直线y=1的交点为（n，1），（m，1），由图象可知，n＜b＜a＜m．故选D．考点：抛物线与x轴的交点．10.已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：．故选D．考点：二次函数的性质．二、填空题(每小题4分，共28分)11.若关于x的一元二次方程有一个解是则的值是_______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于的方程，解得，，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解是故将代入，得：，即，解得：，，∵方程是一元二次方程，∴，即，故．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．12.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______【答案】【解析】【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可【详解】解：如图，作轴于H．由题意：，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．13.若关于x方程有两个实数根，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解得到关于的等式，结合根的判别式配方后求解即可．【详解】解：∵方程有两个实数根，∴，整理得，∴，由题意得，，，∴，∵，∴当时，的值随m的增大而减少，∴当，的最小值为，故答案为：．【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系和二次函数的最值问题，解题的关键是正确理解：若，是一元二次方程的两根时，，和通过配方求二次函数的最值．14.已知二次函数y＝3x2＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________．【答案】【解析】【分析】将一次函数解析式代入到二次函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两函数图象只有一个交点可得知该方程有两个相同的实数根，结合根的判别式即可得出关于c的一元二次方程，解方程即可得出结论．【详解】将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中，得：4x=3x2+c,即3x2−4x+c=0.∵两函数图象只有一个交点，∴方程3x2−4x+c=0有两个相等的实数根，∴△=(−4)2−4×3c=0，解得：c=.故答案为.【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与运算法则.15.如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若，，．则＝_______．【答案】【解析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得，，可得△BPP′为等边三角形，可得，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【详解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角，，∴△BPP′为等边三角形，∴；由旋转的性质可知，，在△BPP′中，，，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴故答案为【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．16.如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，，若，，则的半径=_______．【答案】【解析】【分析】连接，，，根据直径所对的圆周角是直角可得，，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平时，内错角相等可得，，推得，根据等角对等边可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，推得，根据相似三角形的判定和性质即可求得的值，即可求解．【详解】解：连接，，，如图：∵是直径，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴,∴的半径是．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理直径所对的圆周角是直角，等角对等边，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作合适的辅助线．17.已知关于x的方程的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_____个．【答案】5【解析】【分析】首先利用当时，得到一个一元一次方程，直接得出根，当，把，代入方程，得出a的取值即可．【详解】解：①当时，则；②当时，原方程可以整理为：，∴，，∴是方程的一个整数根，当，∴，则，且x是整数，∴或，∴，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个．故答案为5．【点睛】此题主要考查了方程整数解的求法，一元二次方程的定义，从特殊解入手求解，是解本题的关键．三、解答题(一)(本大题共3小题，每题6分，共18分)18.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）整理后，根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）将看作整体，因式分解法解一元二次方程即可求解．【小问1详解】解：，∴，∴或，解得：；【小问2详解】解：，∵，即，∴或，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．19.关于x的方程．（1）方程有两个相等的实数根，求的值；（2）方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知，求出的取值范围即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根可得出，求出取值范围即可．【小问1详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴，即，解得：．【小问2详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．20.如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、．（1）若，求的度数．（2）若，，求的直径．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由为的直径，是弦，且，由垂径定理即可求得，然后由圆周角定理，可得；（2）设的半径为，则，，利用勾股定理可求出的值，继而求得答案．【小问1详解】解：，，为的直径，是弦，且，，；【小问2详解】设的半径为，则，，，，，在中，，，解得：，的直径为．【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握这些定理是解答本题的关键，注意掌握数形结合思想．四、解答题(二)(本大题共3小题，每题8分，共24分)21.在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小；（2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数；（2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【小问1详解】解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上，∴，，，∵，∴，∴；【小问2详解】证明：∵点F是边中点，∴，∵，∴，∴，如图，连接，∵将绕点C顺时针旋转得到，∴，，，∴，和为等边三角形，∴，∵点F为的边的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．22.如图，是的直径，，M是弧的中点，，绕点O旋转与的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与分别交于P、Q两点．（1）求证：；（2）连接、，试探究：在绕点O旋转过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由；【答案】（1）证明见解析（2）为定值，【解析】【分析】（1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据题意可得，根据同圆中，等弧所对的弦相等可得，推得为等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形三线和合一可得，，根据勾股定理求得，根据题意推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；（2）根据圆周角定理得到，，推得，即可求解．小问1详解】证明：连接，，如图：∵是的直径，∴，∵是的中点，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，，∴，在和中，，∴，∴．小问2详解】解：为定值．理由：∵，，∴，

∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的判定和性质，等腰直角三角形三线和合一，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．23.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】（1）（2）2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．【小问1详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为，【小问2详解】由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．五、解答题(三)(本大题共2小题，每题10分，共20分)24.已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的值；（2）先作的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求的最大值和最小值．【答案】（1）1；（2）；（3）最大值为21，最小值为﹣4．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；试题解析：（1）对于一元二次方程，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有实数根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1．（2）由（1）可知=，图象如图所示：平移后的解析式为，即．（3）由消去y得到，由题意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n≤m，m=1，∴1≤n≤7，令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，n=7时，y′的值最大，最大值为21，∴的最大值为21，最小值为﹣4．25.如图(示意图)，某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐