考研数学二(二次型)模拟试卷7(题后含答案及解析)

考研数学二（二次型）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．二次型χTAχ正定的充要条件是A．负惯性指数为零．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝E．C．A的特征值全大于零．D．存在凡阶矩阵C，使A＝CTC．正确答案：C涉及知识点：二次型2．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，已知r(A)＝2，并且A满足A2－2A＝0．则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是()．(1)2y12＋2y22(2)2y12．(3)2y12＋2y32(4)2y22＋2y32．A．(1)．B．(3)，(4)．C．(1)，(3)，(4)．D．(2)．正确答案：C涉及知识点：二次型3．设则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：A涉及知识点：二次型4．设则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：B涉及知识点：二次型5．A＝，则()中矩阵在实数域上与A合同．A．B．C．D．正确答案：D涉及知识点：二次型填空题6．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋cχ32＋2aχ1χ2＋2χ1χ3经正交变换化为标准形y12＋2y32，则a＝_______．正确答案：0．涉及知识点：二次型7．设三元二次型χ12＋χ22＋5χ32＋2tχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3是正定二次型，则t∈_______．正确答案：(－，0)．涉及知识点：二次型8．已知A＝，矩阵B＝A＋kE正定，则k的取值为_______．正确答案：＞0．涉及知识点：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．①求f(χ1，χ2，χ3)的矩阵的特征值．②如果f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，求a．正确答案：①f(χ1，χ2，χ3)的矩阵为A＝记B＝则A＝B＋aE．求出B的特征多项式｜λE－B｜＝λ3＋λ2－2λ＝λ(λ＋2)(λ－1)，B的特征值为－2，0，1，于是A的特征值为a－2，a，a＋1．②因为f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a＝2．涉及知识点：二次型10．a为什么数时二次型χ12＋3χ22＋2χ32＋2aχ2χ3可用可逆线性变量替换化为2y12－3y22＋5y32?正确答案：就是看a为什么数时它们的矩阵合同．写出这两个二次型的矩阵B的特征值是2正1负．又看出1是A的特征值，于是A的另两个特征值应该1正1负，即｜A｜＜0．求得｜A｜＝6－a2，于是a满足的条件应该为：a＜－或a＞．涉及知识点：二次型11．已知A是正定矩阵，证明｜A＋E｜＞1．正确答案：设A的特征值为λ，λ，…，λ，则A＋E的特征值为λ1＋1，λ2＋1，…，λn＋1．因为A正定，所以λ＞0，λ＋1＞1(i＝1，2，…，n)．于是｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．涉及知识点：二次型12．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋4χ32＋2λχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3．当λ满足什么条件时f(χ1，χ2，χ3)正定?正确答案：用顺序主子式．此二次型的矩阵A＝它的顺序主子式的值依次为1，4－λ2，4(2－λ－λ2)．于是，λ应满足条件4－λ2＞0，2－λ－λ2＞0，解出A∈(－2，1)时二次型正定．涉及知识点：二次型13．已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)＋(χ＋aχ)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?正确答案：记y1＝χ1＋a1χ2，y2＝χ2＋a2χ3，…，yn＝χn＋anχ1，则简记为Y＝AX．则f(χ1，χ2，…，χn)＝YTY＝XTATAX．于是，实对称矩阵ATA就是f(χ1，χ2，…，χn)的矩阵．从而f正定就是ATA正定．ATA正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜＝1＋(－1)n-1a1a2…an．于是，f正定的充要条件为a1a2…an≠(－1)n．涉及知识点：二次型14．设A＝，B＝(A＋kE)2．(1)求作对角矩阵D，使得B～D．(2)实数k满足什么条件时B正定?正确答案：(1)A是实对称矩阵，它可相似对角化，从而B也可相似对角化，并且以B的特征值为对角线上元素的对角矩阵和B相似．求B的特征值：｜λE－A｜＝λ(λ－2)2，A的特征值为0，2，2，于是B的特征值为k2和(k＋2)2，(k＋2)2．令D＝则B～D．(2)当k为≠0和－2的实数时，B是实对称矩阵，并且特征值都大于0，从而此时B正定．涉及知识点：二次型15．设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A＋B)＝n，证明ATA＋BTB正定．正确答案：显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA＋BTB也是n阶实对称矩阵．由于r(A＋B)＝n，n元齐次线性方程组(A＋B)X＝0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A＋B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA＋BTB)α＝αTATAα＋αTBTBα＝‖Aα‖2＋‖Bα‖2＞0．根据定义，ATA＋BTB正定．涉及知识点：二次型16．设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设A是A的一个特征值，则λ2＋2λ是A2＋2A的特征值．而A2＋2A＝0，因此λ2＋2λ＝0，故λ＝0或－2．又因为r(A－0E)＝r(A)＝2，特征值0的重数为3－r(A－0E)＝1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值为0，－2，－2．(2)A＋kE的特征值为k，k－2，k－2．于是当k＞2时，实对称矩阵A＋kE的特征值全大于0，从而A＋kE是正定矩阵．当k≤2时，A＋kE的特征值不全大于0，此时A＋kE不正定．涉及知识点：二次型17．设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：(1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得p1TAP1＝E．作B1＝P1TBP1，则B1仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P＝P1Q，则PTAP＝QTP1TAP1Q＝E，PTBP＝QTP1TBP1Q＝QTB1Q．因此P即所求．(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记M＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελi＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εPTBP正定，PT(A＋εB)P＝E＋εPTBP，因此A＋εB也正定．涉及知识点：二次型18．设C＝，其中A，B分别是m，n阶矩阵．证明C正定A，B都正定．正确答案：显然C是实对称矩阵A，B都是实对称矩阵．｜λEm+n－C｜＝＝｜λEm－A｜｜λEn－B｜于是A，B的特征值合起来就是C的特征值．如果C正定，则C的特征值都大于0，从而A，B的特征值都大于0，A，B都正定．反之，如果A，B都正定，则A，B的特征值都大于0，从而C的特征值都大于0，C正定．涉及知识点：二次型19．设D＝是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记P＝(1)求PTDP．(2)证明B－CTA-1C正定．正确答案：(1)pT)DP＝(2)因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定．于是由上例的结果，得R－CTA-1C正定．涉及知识点：二次型20．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为y12＋y22，Q的第3列为①求A．②证明A＋E是正定矩阵．正确答案：①条件说明Q-1AQ＝QTAQ＝于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列＝(1，0，1)T是A的特征值为。的特征向量．记α1＝(1，0，1)T，它也是A的特征值为0的特征向量．A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α1正交，即是方程式χ1＋χ3＝0的非零解．α2＝(1，0，－1)T，α3＝(0，1，0)T是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量．建立矩阵方程A(α1，α2，α3)＝(0，α2，α3)，两边做转置，得解此矩阵方程②A＋E也是实对称矩阵，特征值为2，2，1，因此是正定矩阵．涉及知识点：二次型21．证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．正确答案：设λ是A的一个特征值，η是属于它的一个特征向量，即有ATAη＝λη，于是ηTATAη＝ληTη，即(Aη，Aη)＝λ(η，η)．则λ＝(Aη，Aη)／(η，η)≥0．如果A秩为n，则AX＝0没有非零解，从而Aη≠0，(Aη，Aη)＞0，因此λ＝(Aη，Aη)／(η，η)＞0．涉及知识点：二次型22．如果A正定，则Ak，A-1，A*也都正定．正确答案：从特征值看．设A的特征值为λ1，λ2，…，λn．λi＞0，i＝1，2，…，n．则Ak的特征值为λ1k，λ2k，…，λnk．λik＞0，i＝1，2，…，n．设A-1的特征值为λ1-1，λ2-1，…，λn-1．λi-1＞0，i＝1，2，…，n．设A*的特征值为｜A｜／λ1，｜A｜／λ2，…，｜A｜／λn．｜A｜／λi＞0，i＝1，2，…，n．涉及知识点：二次型23．设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．正确答案：A是正定矩阵，存在可逆实矩阵C，使得A＝CCT，则AB＝CCTB．于是C-1ABC＝C-1CCTBC＝CTBC．即AB相似于CTBC．而CTBC是实对称矩阵，相似于对角矩阵．由相似的传递性，AB也相似于对角矩阵．