江西省赣州市东韶中学高三数学文下学期摸底试题含解析

江西省赣州市东韶中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆：，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是

A.1

B.

C.

D.参考答案：D由题意知，所以因为的最大值为5，所以的最小值为3，当且仅当轴时，取得最小值，此时，代入椭圆方程得，又，所以，即，所以，解得，所以，选D.2.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A． B．2 C．3 D．参考答案：A【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，则．故选A．3.正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（

）2

3

4

5

参考答案：C4.已知全集，集合为M={x|x≥1}，N={x|≥0}，则为A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B

解集合N的不等式≥0得：x+1≥0且x-2＞0或x+1≤0且x-2＜0，所以x＞2或x≤-1．则A∩B={x|x＞2}，全集U=R，则?U（M∩N）={x|x≤2}．故选B【思路点拨】解出集合N的解集，x+1≥0且x-2＞0或x+1≤0且x-2＜0，然后先求出M∩N，最后求出补集即可．5.复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在A.第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

参考答案：D6.设全集U=R，若集合A={x|≥0}，B={x|log2x≤2}，则A∩B=（）A．{x|x＜4} B．{x|x≤4} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1≤x≤4}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣4）≤0，且x﹣4≠0，解得：1≤x＜4，即A={x|1≤x＜4}，由B中不等式变形得：log2x≤2=log24，解得：0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}，则A∩B={x|1≤x＜4}，故选：C．7.已知向量，，若与共线，则等于

（

）

A．；

B．

C．

D．参考答案：C8.已知，则的值为A.-3

B.3

C.

-3或3

D.

-1或3参考答案：D9.设U=R,若集合A=，则等于（

）

A

B

C

D

参考答案：C10.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（

）A．72种 B．36种 C．24种 D．18种参考答案：B2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科，2名护士，则有，其余的分到乙村，若甲村有2外科，1名护士，则有，其余的分到乙村，则总共的分配方案为种，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角三角形中，，，则__________．参考答案：1612.

.参考答案：试题分析：,所以正确答案为.考点：微积分基本定理.13.极坐标方程化为直角坐标方程是

．参考答案：略14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的极坐标方程为，过极点的一条直线与圆相交于、两点，且，则

.参考答案：15.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3，3]上至多有9个零点，则a=．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用f（x）的周期与对称性得出f（x）在（2，3）上的解析式，由g（x）的零点个数可得y=ax与f（x）在（2，3）上的图象相切，根据斜率的几何意义列方程组解出a．【解答】解：f（2）=﹣4×22+12×2﹣8=0，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4．作出f（x）在[﹣3，3]上的函数图象，如图所示：令g（x）=0得f（x）=a|x|，∴当x＞0时，y=ax与y=f（x）在（2，3）上的函数图象相切，∵1＜x＜2时，f（x）=﹣4x2+12x﹣8，且f（x）是偶函数，∴当﹣2＜x＜﹣1时，f（x）=﹣4x2﹣12x﹣8，又f（x）周期为4，则当2＜x＜3时，f（x）=﹣4（x﹣4）2﹣12（x﹣4）﹣8=﹣4x2+20x﹣24，设y=ax与y=f（x）在（2，3）上的切点坐标为（x0，y0），则，解得x0=，a=20﹣8．故答案为：．16.（4分）（2015?上海模拟）已知，||=||=2，与的夹角为，则在上的投影为．参考答案：3【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为，∴|+|2=4+4+2||||cos=12，∴|+|=2，∵与的夹角为，∴在上的投影为|+|cos=3故答案为：3【点评】：本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．17.对于实数a和b，定义运算“﹡”：，设，且关于x的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是

.参考答案：由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求sin的值；（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.PNMABC参考答案：解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，则，——————————————————————3平面ABC的一个法向量为则（*）于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，.———————————ks5u————————7（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，.由得，解得.—————10令于是由，解得的延长线上，且.————————————1419.已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（1）当a=3时，求函数f（x）的极小值；（2）令g（x）=x2﹣f（x），是否存在实数a，当x∈[1，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）取得最小值为1．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题可知，f（x）=x2﹣3x+lnx，所以…令f'（x）=0，得或x=1…令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，所以f（x）在，（1，+∞）单调递增，在上单调递减

…所以f（x）的极小值是f（1）=﹣2…（2）由题知，g（x）=ax﹣lnx，所以…①当a≤0时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，解得：（舍去）

…②当时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，解得：（舍去）

…③当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，，解得：a=1（舍去）

…④当a≥1时，g（x）在[1，e]上单调递增，g（x）min=g（1）=a=1，解得：a=1…综合所述：当a=1时，g（x）在[1，e]上有最小值1．…20.（本题满分12分）口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（I）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（II）随机变量的概率分布和数学期望；（III）计分介于17分到35分之间的概率.参考答案：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则．……………3分（Ⅱ）由题意所有可能的取值为：2，3，4．

……………7分所以随机变量的概率分布为234因此的数学期望为．……………9分（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为，则．…12分21.已知函数.（其中e为自然对数的底数）（1）若恒成立，求ab的最大值；（2）设，若存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式恒成立，求实数m的取值集合.参考答案：（1）；（2）．【分析】（1）就三种情况利用导数讨论的单调性及其相应的最小值后可得：时，成立，时，成立，对后一种情况构建新函数，利用导数可求的最大值即可.（2）求出，它是一个减函数且值域，故存在唯一的零点，再由题设条件可以得到，，用表示后可把不等式化为，构建新函数，就两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数的取值，注意后者的进一步讨论以与的大小为分类标准.【详解】（1），当时，，在上单调递增，取，当时，矛盾；当时，，只要，即，此时；

当时，令，，所以在单调递增，在单调递减，，所以，即，此时，令，，令，，当，，在上为增函数；当，，在上为减函数．所以，所以，故的最大值为．

（2）在单调递减且在的值域为，设的唯一的零点为，则，，即所以，，由恒成立，则，得在上恒成立．

令，，．

若，，在上为增函数，注意到，知当时，，矛盾；当时，，为增函数，若，则当时，，，为减函数，所以时，总有，矛盾；若，则当时，，，为增函数，所以时，总有，矛盾；所以即，此时当时，，为增函数，，当时，，为减函数，而，所以有唯一的零点.综上，的取值集合为．【点睛】含参数的函数不等式的恒成立