福建省南平市邵武第二中学高三数学理摸底试卷含解析

福建省南平市邵武第二中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知随机变量，若，则A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：正态分布由题知：

故答案为：C2.已知函数有两个不同的零点，方程有两个不同的实根.若这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略3.执行如图2所示的程序框图，则输出S的值为（

）A.16

B.25

C.36

D.49图2参考答案：C【知识点】算法与程序框图s=0,i=1,n=1;s=1,i=2,n=3;s=4,i=3,n=5;s=9,i=4,n=7;s=16,i=5,n=9;s=25,i=6,n=11,s=36终止循环故选C.【思路点拨】由程序框图循环计算求出符合条件的结果。4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（A）f(sin)<f(cos)

（B）f(sin1)>f(cos1)（C）f(cos)<f(sin)

（D）f(cos2)>f(sin2)参考答案：答案：D5.若变量，满足约束条件，则的最大值为

(

)A．2

B．3

C．

D．5参考答案：B6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（

）（参考数据：，，）A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年参考答案：B试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．7.函数的定义域为

(

)A．(－∞，1)

B．(－∞，1]C．(－∞，0)∪(0,1)

D．(－∞，－1)∪(－1,1)参考答案：C8.设与垂直，则的值等于A．

B．

C．0

D．-l参考答案：B9.设α为锐角，则“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法进行求解即可．【解答】解：由tanα＞2，α为锐角得60°＜arctan2＜α＜90°，则120°＜2α＜180°则tan（2arctan2）＜tan2α＜0，而tan（2arctan2）=﹣＜0，所以，有“﹣＜tan2α＜0”；充分性成立．∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°，∵﹣＜tan2α＜0，∴90°＜2α＜180°，则45°＜α＜90°，则tanα＞1由﹣＜tan2α＜0得﹣＜，即﹣（1﹣tan2α）＞2tanα，即2tan2α﹣3tanα﹣2＞0，解得tanα＞2或tanα（舍），即必要性成立，故“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的充分必要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．10.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，A是曲线与围成的区域，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为__________。参考答案：略12.若x，y满足约束条件，设x2+y2+4x的最大值点为A，则经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为

．参考答案：3x﹣5y﹣9=0【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据目标函数z求出最优解，写出直线AB的方程即可．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；则z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4，表示平面区域（阴影部分）内的点P（x，y）到点C（﹣2，0）的距离的平方减去4，所以它的最大值点为A，由解得A（3，0），所以经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为=，化为一般形式为3x﹣5y﹣9=0．故答案为：3x﹣5y﹣9=0．13.某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数t12345销量（百件）/天0.50.611.41.7

（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y（千件）与返还点数t之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)频数206060302010

（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值x的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（2）将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.参考答案：（Ⅰ）返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（Ⅱ）（1）均值的估计值为6,中位数的估计值为5.7；（2）详见解析.【分析】（Ⅰ）先由题中数据得到，根据回归直线必过样本中心，将代入，即可求出结果；（Ⅱ）（1）根据频数表中数据，每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值；根据中位数两侧的频率之和均为0.5，即可求出结果；（2）先求出抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数与“欲望膨胀型”消费者人数，根据题意得到的可能取值，求出其对应概率，即可得出分布列与数学期望.【详解】解：（Ⅰ）由题意可得：，因为线性回归模型为，所以，解得；故关于的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（Ⅱ）（1）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值的估计值为：，中位数的估计值为.

（2）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.由题意的可能取值为，所以,

,

故随机变量的分布列为X123P

.【点睛】本题主要考查线性回归分析、考查根据频数表求平均值与中位数、以及超几何分布，熟记线性回归分析的基本思想，以及平均数、中位数的计算方法、超几何分布的概念等即可，属于常考题型.14.如右图，它满足：

（1）第行首尾两数均为；

（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第行（）第2个数是

.参考答案：．设第行（）第2个数为，则．从而通过累加可知，又=2，所以可知．12.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、

俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球

的表面积是

参考答案：12π16.已知两个单位向量，的夹角为若向量=，，则=

参考答案：17.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n的取值范围为．参考答案：[2，+∞）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AA1，BB1是圆柱的两条母线，A1B1，AB分别经过上下底面的圆心O1，O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1—CD—B1的大小为，求母线AA1的长．

参考答案：

解：（1）以，，所在直线建立如图所示空间直角坐标系，由，，所以，，，，，，从而，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.

…………4分（2）设，则，，所以，，，设平面的一个法向量，所以，所以，令，则，所以平面的一个法向量，同理可得平面的一个法向量，因为二面角的大小为，所以，解得或，由图形可知当二面角的大小为时,.

…………………10分注：用传统方法也可，请参照评分.

19.设椭圆E：+=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意先求出直线与椭圆的交点坐标，再列出方程求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）先假设存在点M（m，0）（）满足条件，由点斜式设出直线l的方程，以及P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理、菱形的等价条件、向量知识，可求出m的范围，再进行判断．【解答】解：（1）不妨设焦点的坐标是（c，0），则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），代入+=1可得，y0=，因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，所以，由题意得，a=b，代入上式解得：a=、b=，故所求椭圆方程为．（2）假设在线段OF2上存在点M（m，0）（）满足条件，∵直线与x轴不垂直，∴设直线l的方程为．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，可得．则，．∴，，其中x2﹣x1≠0，∵以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴．∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0．∴x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0．∴．化简得=（k≠0），则在线段OF2上存在点M（m，0）符合条件，且．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，以及平面向量的知识，考查化简、计算能力以及存在性的问题，属于中档题．20.直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．参考答案：（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设且，即,则，∵，所以；………………6分（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，理由如下：由题可知面的法向量，设面的法向量为，则，∵，∴，即，令，则．∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，∴，即，解得或（舍），所以当为中点时满足要求．………………12分21.已知数列﹛﹜满足：.（Ⅰ）求数列﹛﹜的通项公式；（II）设，求

参考答案：解：（Ⅰ）当时，

当时，

①

②①-②