高斯小学奥数四年级上册含答案第17讲-复杂竖式

第十七讲复杂竖式

数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧.我们

以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题.

本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌

握情况和分析复杂问题的能力.

竖式问题常见突破口有：

1.首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；

2.位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；

3.相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口.

在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础.比

如一个三位数乘4还等于一个三位数,那么这个乘数的百位数字就不能是3或者3以上的数

字，只能是1或2.这就是位数给我们提供的信息.

□□□

X4

有一啊1题啊四子中没有给出任何具体的数字，但是它给出了所有数的位数，这就提供

了估算的可能.只要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息.

对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式,

逐一观察.将它们转化成基本问题加以解决.

例题1□□

请将右面的竖式补充完整.X口2

「分析」比较一下“口口口”和“口8”，这两个数分别是怎么来的呢？□□□

能得出什么结论呢？口8

6□□

练习1□□

请将右面的竖式补充完整.x8□

□□□

□□

□□□□

找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们

枚举讨论的范围.当然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题.

例题2

在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母AB

代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字.请问：A、B、C、D各代义CD

表什么数字？（请写出所有可能）1口口

「分析」多位数乘法竖式中，不仅包含一位数乘法的部分，还包含一个加1口口一

法竖式.从哪部分更容易找到突破口呢？□□。8

练习2AB

在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字XCD

2□□

母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字.请问：四位数丽丽是

6□£)

多少？

□□。1

对比较复杂的竖式问题，有时我们需要比较同一个多位数乘以两个

不同的一位数，所得结果的关系或差异.

例题3

□□□

如图所示是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0X□□□

至9这10个数字，使得竖式成立.3□08

「分析」中间的三个乘积有什么大小关系呢？□504

7□2

□3248

练习3□□

请将右面的竖式补充完整.X□□□

2^

1□9

□8□□1

与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法,

和多位数乘法类似，我们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口.

例题

4□□1

请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？□□□兀□□□口

「分析」除数是个三位数，它与商的百位和十位的乘积234

□□□

分别是234和351,你能求出除数是多少吗？

351

□□□

□□□

0

练习4

□□1

请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？□□□兀□□□口

372

□□□

496

□□□

□□□

0

例题5□□□

请把图中的乘法竖式补充完整.X3□2

□9□

4□5□

□□□5

□□□□□□

「分析」哪个多位数乘一位数的乘法可以进行末位分析？对比三个乘积，为什么有些是

三位数，有些是四位数？你能填出第一个乘数的百位吗？

孤独的数字

下面是九个除法算式，它们在计算过程中分别只有1、2、3、…、7、8、9中的一个数

字，要求根据除法运算规律确定出算式中的每一个未知数字.这是一些十分有趣的题目.

□□□□□□□□

□□□□；□□□□□□□□□□□□

'□□□1

□□□□□

□□□□

□□□□□

□□□□

□□□□□

□□□□

□□□口

□□□口

0

□□□□□9

□□□)□□□□□□

□□□□□□

2□□□□□

□□□□□□

00

□□□

□□□□□□□

□□□□□口

□□□□□□

□□□□□□口

□□□□□□

□□□□□□

□□□□□□□

□□□口□

□□□□□□□fbn□□□L□

□□□□§

0

0□□□

□□□□□

口9□□□

□□□□口

□□□□□

□□□□

□□□口仁］□□□

□□□□□□□□□□□□□(，□□

□□□□□□□

□□□□

□□口口________0

□□□□□□

□□□口口□□

□□□□□

□□□口□□

什□□□□

□□□口口□□□侑

□□□□£□□

□□□□□□□□□□(fa□□□

□□□□□□□

例题64□5□□□

□JD□□□□5□1

请把图中的除法竖式补充完整.

□□

「分析」这个竖式中几乎都是空格，我们只好

on

观察位数信息.竖式中包含了五个减法，发现□□

什么熟悉的突破口了吗？□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

0

课堂内外

细说谜语

谜语是我国民间文学的一种特殊形式,古时称“度辞”或“隐语”.它起源于春秋战国，

那时各国大臣常用暗示、比喻的手法映射事物，以劝谏君主采纳自己的主张，逐渐形成了谜

语.汉朝时一些文人常用诗词、典故来制谜，出现了妙喻事物特征的事物谜和文字形音义的

文字谜.南北朝时文人常以制谜、猜谜来斗智，制谜技巧逐渐成熟.隋唐时谜语由民间进入

宫廷，许多皇帝都喜欢猜谜.

北宋时期，随着城市经济的发展，市民文化娱乐生活的丰富，猜谜成为市民的一大乐

趣.南宋时，每逢元宵节，人们将自己制作的谜语挂在花灯上，供人们边观灯边猜谜取乐.南

宋都城临安的灯谜居全国之首，被誉为“灯谜之乡”.明清时期元宵节猜灯谜更加盛行，并

出现了研究谜语制作的专门著作.谜语就这样成了广大人民喜闻乐见的文学形式，并一直流

传至今.

谜语也叫灯谜，猜谜语亦称射虎.在中国已经有2500年历史了，到清代其体系已经完

备.谜语的文学性，知识性，趣味性深受广大群众喜爱.

谜语的种类繁多，主要常见的有字谜，画谜，哑谜，印章谜，成语谜，诗词谜与楹联谜

等等.并且还有许多的谜格要求（就像诗词文学中的填词一样）.

谜语构成有四大要素：

1.谜面：是给猜谜者了解意图的谜题；

2.谜格：是猜谜时候的一种要求与规则（如：卷帘格秋千格等）；

3.谜目：是让猜谜者猜射的范围（如：打一字打一城市名等）；

4.谜底：是谜语的答案.

猜谜语之前，首先要看清楚谜面，再看看有没有谜格的要求，下来就看谜目是什么了.如

果谜语没有谜格，就直接顾及谜面与谜目了.

例如：“颜料门市部”（打国家名字一）一一以色列

谜面：颜料门市部；谜目：打国家名字一；谜底：以色列.

顾名思义，卖颜料的门市部，它所陈列的商品当然是各种各样

的颜料啦.

作业

1.在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么第二个乘数是多

少？

□□

X□□□

2□

2□2

□5□□8

2.在左下图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数

字，不同的字母代表不同的数字.则乘积是多少？

AB

XCD

-2□□

3□8

□□B8

3.在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么乘积是多少？

□□5

义口□□

1□□□

□□□

1□□05

4.在左下图中的除法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么被除数是多少？

□□

6□□□1

口口7

□□□口

□□61

0

5.在右图中的除法竖式的方框内填上合适的数字，使竖口□2

式成立.那么被除数是多少？□□□□□□

369

246

-□□□

□□□

0

第十七讲复杂竖式

1.例题1

答案：58x12=696

详解：

比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数十位比2小，排除0,只能是1,

进而得第一个乘数个位是8;再根据结果百位的6,可得乘法竖式为58x12=696-

2.例题2

答案：54x32工18x76

详解：

先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间第一个乘积）为108,即ABx£»=108.那么就

有54x2、36x3、27x4、18x6、12x9五种可能；

再根据第二个乘式ABxC=lD,可得AB为36和12都是不可能的；

当48为54时，根据尾数分析可得，C为3,所以有54x32

当48为27时，根据尾数分析可得，C只能是2,27x2=54丕是三位数,所以不成立；

当48为18时，根据尾数分析可得，C为7,所以有18x76

综上所述，本题有两个答案.

3.例题3

答案：376x248=93248

详解：

先分析加法竖式，可得第一个加数为3008、第二个加数为1504、第三个加数为752;

这三个加数同时也是三个乘法算式的乘积，根据它们的倍数关系，可得竖式中第二个乘数

的个位是百位的4倍、十位是百位的2倍：

那么第二个乘数就有124和248两种可能，然后分别尝试，依据“十个方框内分别填的是

0~9各一个“，可以排除124,正确结果是376x248=93248-

4.例题4

答案：27027

详解：

殳析鉴封的两个乘积234和351,它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：

234=117x2^351=117x3,所以除数为117、商为231;

接下来把竖式补充完整，可得被除数为27027.

5.例题5

答案：495x392=194040

详解：

4□5

X3□2

X392

□9口|=^

□90①

4□5□

4□55i=>②

□□□5③

1□□5i=>③

□□□□40

如左上图，中间的三个乘数分别标为①、②、③.

首先根据中间③的末位是5,可得第一个乘数的末位是5,那么中间①的个位是0;

接下来，比较分析①和③，它们分别是由第一个乘数乘以2和3所得，而①是三位数、③

是四位数，所以第一个乘数只可能是三百多或四百多，而第一个乘数乘以第二个乘数十位数字

所得的乘积②为四千多，估算可得第一个乘数只能是四百多，第二个乘数十位数字只能是9;

此时，竖式已经变成如右上图所示：

根据①或②都可以判断出第一个乘数只能是495,由此可得结果为495x392=194040.

6.例题6

答案：10006541+23=435067

详解：

首先，第一个减法竖式中有“黄

金倒三角”，可得被除数前两位分别

是1、0,①的十位是9：

除数x4=，所以除数十位为2,

除数只可能是23或24,相应的①为

92或96;

再根据被除数个位为1,可得⑧□□□

⑨个位为1,而⑨是由除数乘以一个□□□

一位数所得，根据个位分析可得除数

只能是23（排除24）,①为92,且商个位为7⑧⑨为161;

此时可得，⑤为23x5=115,④的百位也是1;

再观察竖式，被除数中的5所在百位所对应的中间过程没有乘积，可得商的百位为0;且⑥

的百位、十位两个数字所组成的两位数要比23小，所以只能是15（百位为1、十位为5）,由此

可得④为116,且⑦的百位为1;

接下来分析卜-二二脂，由于⑦是由23乘以一个一位数所得且比150小，所以可得⑦是

23x6=138,即商的十位是6,⑥为154;

此时，只剩下第一个和第二个减法竖式了.根据第一个减法竖式可得其被减数只能是100

或101,再结合23x3=69、23x4=92以及第二个减法竖式差为11可得，这两个减法竖式分别

是100-92=8和80-69=llj_

至此，整个竖式全部填完，为10006541-23=435067-

7.练习1

答案：12x89=1068

详解：比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数个位比8大，只能是9,进而尝

试分析可得，只可