地震勘探1-理论

第一章地震勘探的基本理论

第一节地震波在弹性介质中的传播规律

§1.1弹性介质中的基本波

(-)弹性波控制方程

从固体弹性理论可知，在均匀、各向同性的理想弹性介质中，三维波动方程可以用矢量

表示为：

P~^=(^+pi)grad3+//V2u+pF(1-1-1)

式中向量u表示介质质点受外力F作用后的位移，称位移向量；向量F作用的外力，称

为向量；常数4、〃是介质的弹性常数，称拉梅(Lame)常数；常量「是介质的密度；标量。

称体变系数，亦可表示为6=力口”。

标符V?为拉普拉斯(Laplace)算子

222

„2aaa

dx~dy~dz~

如果对作用外力分别取散度(div)和旋度(rot),则式(17-1)可分别写成

驾一2。=由所

'+2"(1-1-2)

dt2p

(1-1-3)

式中：3=rotu。

这说明如果对这种介质分别作用胀缩外力divF和旋转外力rotF的话，则在介质中分别

存在二种扰动，胀缩力作用下产生由体变系数6决定的介质体积相对胀缩的扰动，这就是纵

波；在旋转外力作用下，则产生由向量3决定的角度转动的扰动，这就是横波。这二种独

立的扰动，分别以速度VP和Vs传播。

如同重力场可用重力位，电场可用电位来描述一样，地震波场亦可用质点位移的位移位

来描述。

根据亥姆霍兹(Helmholtz)涡流理论，任何一个矢量场，如果在定义域内有散度和旋

度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和表示。则上式中的位

移矢量u力矢量F可分别用位函数表示为

u=u；,+us=grad(p+roti|r

,

F=FP+Fs=grad<I>+rot'J(1-1-5)

式中<p代表位移场的标量位；中代表位移场面的矢量位；中代表队标量力位；W代表矢

量力位。

将式(1-1-5)代入式(1-1-2)和(1-1-3)中，得到用位移位表示的波动方程：

驾(1-1-6)

St2p

驾一匕2V2”=+(1-1-7)

St2

分别称为纵波波动方程和横波波动方程。

在各种形式的弹性波中，平面波是一种特别简单的波。这种波以波面的形式在介质中传

播，即在垂直于波传播方向的任一平面上，各点的振动是同相的。平面简谐波是波函数为简

谐形式的平面波。因此，在研究波的传播问题时经常使用简谐波假定。

平面波波动方程的达朗贝尔(D'Alembert)解为：

f(x,y,z,t)=fi(Ix+my+nz-ct)+fz(Ix+my+nz+ct)(1-1-8)

其中万=/；+加］+为波的传播方向，c为波速，L表示沿方正方向传播的平面简

谐波，f?表示沿N负方向传播的平面简谐波。

(-)弹性波的能量

地震波的传播实质是能量的传播。根据一般波动理论可知，波在介质中传播时的能量等

于动能3和位能E.之和。假设波通过的介质体积为明介质的密度为0,对于简谐振动来

说，波的振荡E可用下式表示：

22

E=Ex+EPocpAfW(1-1-9)

式中A表示波动的振幅，f表示波的频率。

上式说明波的能量和振幅平方、频率平方及介质的密度成正比。于是包含在介质中单位

体积内的能量(称能量密度)£亦应正比于振幅平方，即：

22

£=E/WocpAf(1-1-10)

定义单位时间通过单位面积的能量为波的能通量密度或波的强度I,因为实际地震勘探

是在波前面的单位面积上观测波的能量信息的，如果时间dt内通过面积ds的能量为

£-V-dt-ds,则波的强度I为

,£V-dt-ds,,.

I=-------=£,■VocA2(1-1-11)

dt-ds

式中V为速度。因此波的强度I正比于波的振幅平方。

(三)球面波

地震勘探中一般使用炸药振源，介质中发生的弹性振动从中心向四周传播。在均匀各项

同性介质中这种波动过程具有中心对称性质，波面为球面，称为球面波，在球坐标系下，波

动方程可以描述为：

d\rf)1d\rf)

(1-1-12)

dr2c2dt2

其达朗贝尔解为:

f(r,t)=-fi(/-r/c)+-f(t+r/c)(1TT3)

rr2

其中第一项表示由中心向四周扩展的波，而第二项表示由无限远向中心汇集的波。当r、

t固定，则复合变量(t-r/c)为一常数，波函数为定值。这样，在/瞬间以r为半径的球

面上波场值相同，该球面为等相位面。波函数前的系数1/r表示波远离震源向外传播，其振

幅不断哀减，且与到震源的距离成反比。事实上，随r增大，波前面的面积越来越大，与

d成正比。从中心点震源所产生的波所据有的能量是一定的。在波向外传播的过程中，通过

单位面积的能量将与百成正比。又由于能量与振幅的平方成正比，因此波的振幅与因子1/r

成正比，1/r称为波前发散因子，或波前面几何扩散因子。波前面几何扩散是不同于平面波

的重要特征。

(四)地震波的波形图和波剖面

根据波动方程达朗贝尔解，函数Gk)中的自变量r=既是时间，又是空间一

的函数，因此就可以从不同的角度描述波动。若在某一确定的距离r=q上观测该处质点位

移随时间的变化规律图形，令横坐标表示时间f,纵坐标表示质点位移〃，这种由〃-/坐标

系表示的图形称波的振动图形，如图1-1-1所示。可以用一系列术语来描述振动图形。振

动图的极值(正或负)称为波的相位，极值的大小称波的振幅A,相邻极值间的时间间隔

为视周期T*,视周期的倒数称视频率/*=',图上质点振动的起始时间6和终了时间I2

之间的时间长度△/=f2-f।即为波的时间长度。

图1-1-1波的振动图形

图1-1-2波剖面图

如果假设让时间1=4,意味着把时间“固定”在。时刻，此时可以研究波动在坐

标系中的状态。令横坐标代表波离开震源的距离r,纵坐标仍表示质点移开平衡位置的位移

t,这种图形称波的剖面图，如图1T-2所示，亦可用一些术语来定义波剖面。波剖面上具

有极大正位移的点称为波峰，极大负位移的点称波谷，两相邻波峰(谷)之间的距离称视波

长万，视波长的倒数称波数左=5，即单位距离内波的数目。

A

根据一般波动理论可知，视波长万、波数分量攵(一般沿地表观测就是k»也有人称

之为视波数)和视速度V之间有以下关系：

V*

Z=——(1-1-14)

11f

k——=------（

2*TV*V*

观察波剖面在介质中的传播过程可以看出，在波到达的介质处，介质的质点都离开平衡

位置产生位移，由于地下岩石介质质点间是紧密相连，振动的质点又波及其邻邦近静止的质

点使其振动，由此及彼，形成质点振荡动相互传递，这就是地震机械波动的物理机理。波在

介质中传播将介质分为三个球形层，如图1T-3所示。处于球层内的质点以各自的状态振动,

称扰动区，其横截面即为波剖面。扰动区的最前端（传播方向上）刚开始振动的质点与尚未

开始振动的质点间的分界面称为波前面，而扰动区的另一个面是将要停止振动与已经停止振

荡动的质点间之分界面称作波尾面。对于纵波而言，扰动区内某一时刻一些质点相互靠近，

密集在一起，形成局部密集带，而另一些质点却彼此分开，形成局部疏松带，结果在扰动区

内构成了彼此相间的压缩和疏松带，如图1-1-4。而且随着波的传播，介质中的压缩带和疏

松带交替更换，这就是纵波传播的形象表述。对横波来说，由于其质点位移方向垂直于波传

播方向，它构成了质点运动与波前（尾）面相切的扰动层。

图1T-3球面波传播示意图

图1-1-4纵波传播不意图

在同一时刻，介质中不同质点位移都处于不同的振动相位，其中必有某些点是处于相同

相位的状态，这些相同相位的质点联系起来构成了等相位面。均匀介质中，在球腔对称的震

源下，等相位面是以震源为球心的同心球面，显示波前面和波尾面亦应该是等相位面。球面

波随着传播距离的增大，球面不断地扩大，当球面扩大到非常大时，我们可以把球面的局部

看成是一个近似的平面来研究，于是球面波蜕变成平面波。从能量来说真正的平面波是一和

当学抽象，它当然不存在球面的扩散问题。

§1.1.2地震场的形成和计算

地震波在理想均匀无限弹性介质中传播时，如何计算波到达空间任一点的波场问题是地

震波动力学的重要内容之一。

早在1690年惠更斯（Huygens）在描述波动传播时，首先提出一个原理，其要点是：任

一时刻波前面上的每一点都可以看作一个新的点源，由它产生的二次扰动，形成元波前，而

以后新波前的位置可以认为是该时刻前各元波前的包络，见图1-1-5,这就是著名的惠更斯

原理。以后夫列涅尔（Fresnel）补充了惠更斯原理，认为由波前面所形成的新扰动（二次

扰动）在空间观测点上相互干涉叠加，其叠加结果是该点观测到的总扰动。惠更斯一夫列涅

尔原理亦可以从广义绕射的角度来理解，把任一时刻的波前面上的每一个点看成一个新点

源，由这个新点源发出的元波可以认为是一种广义绕射子波，因此空间任一观测点的波场可

以认为是这些广义绕射子波叠加而成。因此，惠更斯一夫列涅尔原理从原则上提出了计算任

一观测点波场的思想，但没有解决具体计算问题。

图1T-5惠更斯原理示意图

图1T-6克希霍夫积分示意图

（-）克希霍夫公式

1883年著名德国学者克希霍夫（Kirchhoff）首先解答了这个问题。他提出，如果围绕

着震源所在的某一闭合面Q上已知波动的位移位9（x,y,z,f）及其导数，且这些值是连续的

（没有奇点）。那么可以算出Q面以外任意一观测点M）上由震源引起的位移

位的解，见图l-l-6o该解可以用下述克希霍夫公式来计算：

。（2小"）=割｛［糕图-需图卜。（"⑹

注意：式中符号［］不是方括号，是表示不是在时刻f而是对于乙=1-二时刻的值，

1V

故值［同称为推迟位；，•表示M至Q面上各点的距离，〃表示Q面的外法线方向。

图1T-7泊松公式示意图

（-）泊松公式

作为克希霍夫公式的一个特例、可以导出著名的泊松（Poisson）公式。即假设封闭曲

面Q是以r=%为半径的球面，且M点位于球心，见图1-1-7,可以从公式（1-1T6）出发

计算出球心M点的波场面解

展；枭恤㈤+7~J［第

4式dr,4式,dt

（1-1-17）

如果令：

歹二孤【勿犯吟£呜阈

则泊松公式（1-1-17）可简化为：

»（等）（1-1-18）

式中「及（孚）表示球面Q上［夕］及［学］的平均值。于是泊松公式说明，只要知道球

dtdt

面上及［”］的平均值，便可求得M点波场的解°。泊松公式不仅用来描述波场，且为

dt

以后讨论波的运动学射线理论中的费马（Fermat）原理奠定了理论基础。

（三）倾斜因子

克希霍夫公式的另一应用是推导出所谓的倾斜因子K（0）。假设Q是由点源M。发出的任

意时刻的波前面位置，其半径为r。，波前面上任意小面元用dQ表示，M点是球面外任一点，

它至dQ的距离为r,0是dQ的法线n与r的夹角，见图1-1-8,现求在面外任一点M观测

到的波场值同0角有什么关系。

图1-1-8倾斜因子示意图

如果M。点发出的球面谐波其振幅为A,圆频率为3,则由M。点到达小面积单元dQ上的

振动，按前面讨论的波动理论为：

—(1-1-19)

如果用人=—表示圆波数且略去周期因子(因为e”只表示谐波形状，同能量无

V

关)，则到达dQ的振动为：

A..

—e-jkr°(1-1-20)

为

根据惠更斯一夫列涅尔原理，可以把波前面Q上的小面积QQ看作二次震源，则在M点

观测到的扰动可以写为：

du(M)=K(0)—e-ikr°.~e-ikrclQ

r(yr

由整个波前面Q在M点形成的总扰动为：

jkr

U(M)=—e-°ff—K(0)dQ(1-1-21)

4or

式中K®)是与夹角。有关的因子，称倾斜因子。应用克希霍夫公式可以证明Ke)有下

列表达式：

K®)=*(1+cos6)(1-1-22)

式中4为波长。

倾斜因子的物理意义是：当时8=0,Ke)具有最大值K®)='/；时，

X2

K(O)=—j,说明观测点在波前面的法线〃方向上具有最大值，后面将会讨论到，该方向

2A

n

就是波的线方向，波的强度则迅速衰减，当6=2时，倾斜因子的绝对值已衰减到最大值

2

的一半。因此可以说波动的大部分能量都集中在射线方向。式中因子的出现表示子波波前相

TT

位超前万，因为因子/可以写成：

.71..7TJT/、

j=cos—+jsn\—=e2(1-1-23)

此处中的/是正号，故为超前。

§1.1.3平面波的反射和透射

同光线在非均匀介质中传播一样，地震波在遇到弹性分界面时亦要产生反射和透射。首

先从平面理论出发（认为波前面是平面，它以恒定的入射角投射到分界面上）讨论平面波的

射和透射。

（-）斯奈尔（Snell）定律

图1T-9平面波的反射和透射

假设界面R将空间分为上、下两部分班和牝，上半空间纵波的传播速度为明,下半空

间为",如图1-1-9»平面波波前AB以a角投射至界面当平面波波前面的A点到达界面R

上A,点时，根据惠更斯原理可以将界面上的A点看成一个新震源，由该点产生一个新扰动

向介质四周传播，当波前上B.点经过，时间传播到界面R上的Q点时，由A.点新震源发出

的扰动在％介质中亦以速度片传播了加时间，且在M介质中按速度5传播了加时间。从

图中简单的几何关系可以看出，曲介质中产生的新波前面为QS,它同入射波波前AB.在同

一介质内称为反射波；在明介质中产生新波前面QT,称为透射波。如果反射波波前面和透

射波波前面同界面R的夹角分别为/和夕的话，则不难证明它们满足下列关系式:

-------=----------=———-p（.1-1-Z4；

V,匕匕

该式反映了弹性分界面上入射波、反射波和透射波的关系。如果定义a为入射角，a为

反射角，夕为透射角，式（1-1-24）说明入射角等于反射角，而透射角则决定于上下介质

sina

的速度比值。参量〃一^称为射线参量，它决定于波的入射角度式（1-1-24）表示的

匕

入射、反射和透射间的关系，就是著名的斯奈尔定律，亦称反射一透射定律。如果还有不同

波型（纵波和横波）的反射和透射，则斯奈尔定律（1-1-24）式可扩展写成：

sinasinar,sinPsin%sin/7

——•=-=p2(1-1-25)

VPIVP1V51VP2匕2

式中%、4分别表示纵波和横波的反射角；?2、鱼分别表示纵波和横波的透射角。

在地震勘探中定义：同入射波波形相同的波称为同类波（如入射波为纵波，则有同类反

射纵波和同类透射纵波）；反之称转换波（如转换射横波和转换透射横波）。

（二）诺特（Knott）方程和佐普里兹（Zoeppritz）方程

当纵波Pi入射至弹性界面R时，在上半空间W,中产生同类反射波P,,和转换反射波PS,

下半空间附产生同类透射波Pi?和转换透射波P&,如图1-1-10所示。

根据弹性力学理论,这五个波在弹性分界面上应满足边界条件：即应力连续和位移连续。

我们用位移位函数来表示这些波，入射波的位函数为0,反射纵波和透射纵波的位函数为必

和并规定轴坐标向下为正，则有:

xsina+zcosa

xsin%-zcosez.

6=f"

xsinB、-zcos夕।

W\=匹Q-

图1-1-10纵波入射时的反射和透射

xsin%+zcos%

。2=人”

xsinB?+zcos/7

甲？=F，t-2

现在的问题是根据已给的入射波函数及边界条件确定函数fl、Fl、f2、F2O利用位移和

位移位的下列关系，水平位移〃=。9/&一。-/3z,垂向位移卬=00/3z-。沙/&,展

开边界条件，用位函数表示应力分量及合成的位移，得：

dzdxdz

dzdxdzdx

将％%,02,%,匕的表达式代入上述方程组，经简化后，得下列矩阵形式的诺特方程

组:

vv

/cosp?-sin。］

sin%产os£i-----sincc1~R

匕2-

v

》Sin夕2Bcos%

cos%———sin/?.—^cosa2

匕,Vp2%

v2

^y-COS2/?2

sin—y-cos2^i

—--v-sin2a,Tsin2%

匕2VV吗P\

-cos2/?1sin2£1—cos2^0—sin2^0Dcos2%

P\P\

(1-1-26)

式中

R=fjf，B=FJf,T=f2/f,D=F2/f

(1-1-27)

分别表示反射纵波、反射横波的位移位反射系数、透射纵波、透射横波的位移位透射系

数。方程(1-1-26)是用位移位振幅表示的入射纵波和各二次波的能量分配关系。可以看出，

它们除了同入射角有关外，还同上下介质的参数V及P等的比值有关。

上述的反射透射系数是相对位函数而言的，利用我们已经熟知的位移振幅比和位移位振

幅比之间的关系，可获得用位移振幅表示的反射透射系数方程，称为佐普里兹方程。

RPP一sina

sin%cos/?)一sin%cos/72

COS6Z1

cos?-sincos%sin%R„s

VP

sin2%-y^-COSZ/Jj—sin2a-'COS2^2—sin2。］

0TPP

Ki匕2V：p\P\K2

V△&in2A

P?Tcos2/?!

一cos24优sin2ACOS2/?2,

VPI0%8L

(1-1-28)

其中心、电、£»、T帽分别为以位移振幅表示的反射P波、反射SV波、透射P波和透射

SV波的反射系数和透射系数。

(三)平面波的法向入射

首先讨论平面波垂直入射到地下界面的情况，这时入射角a=0,根据斯奈尔定律

(1T-25)式，则有a=囚=4=a2=色=0，于是方程式(1T-28)变成如下的简单

形式：

600

Rp-

勺，一■%=一＞("29)

解之，得:

夕2匕,2-8匕”

夕2匕2+pyP\

(1-1-30)

2。匕|

夕2匕＞2+pyp\

式(1-1-30)的第二和第四个方程表明，在平面波垂直入射时不存在转换波。而第一个

方程则表明，欲使反射波强度不为零的条件是：

。2匕,2一。M，产0或22匕2"Ki(17-31)

这意味着波阻抗不相等的界面构成地震反射界面。同时，由(1-1-30)式还可以导出一

些有用的关系式。如果把纵波从介质1垂直入射到介质2的反射透射系数记为R.和TPP,而

把纵波从介质2垂直入射到介质1时的反射系数和透射系数记为即，'和T/,则有：

21匕,1一22匕＞2

py,A+pyPi

2夕匕2

(1-1-32)

pyp\+0匕＞2

-4P]V,,]P2Vp21p2

TT=I-

/，，P•i"=-(---P--M---+---0---%--)---2--KPP\

其中Tpp.Tpp=1-表示了波从不同的方向穿过同一界面时振幅的变化情况,称为界

面的透射损失。上述结论将在以后的学习中经常用到。

(四)平面波的倾斜入射

当平面波以不为零的任意角度入射至界面时，这种情况比较复杂，不能用(1-1-30)那

样简单的情况来讨论，因为在倾斜入射时，还产生转换波，此时各二次波的能量分配关系完

全由诺特方程式决定。它们不仅与入射角，而且还与速度和密度等参数的变化有关。欲直观

地了解它们之间的关系，通常采用作图的方法。一类是描述反射系数、透射系数同入射角之

间的关系曲线，另一类是描述它们同各参数，如密度比、速度比之间的关系曲线，选择一些

典型曲线进行分析，以便从中引出对地震勘探有益的结论。

1.图ITTla中的曲线是在条件匕2/匕।=05;22/0=。-8情况下，反映反射系数

和透射系数同入射角a的关系曲线。入射波由波阻抗大的密介质向疏介质入射。此时在入射

角a〈20°时，除反射纵波外，能量主要分配在透射纵波上，横波能量很小，这同上述法向入

射的情况是相符的。随入射角加大，纵波的某些能量转化为反射横波和透射横波能量，但主

要能量还是在纵波方面，说明在纵波入射的条件下，横波的相对强度不是很大，但值得注意

的是，在a*400~60°时，反射横波强度可以超过反射纵波，说明在远离震源或大倾角入

射时，容易接收到反射的转换横波。

2.图ITTlb是由波阻抗较小的疏介质向密介质入射的情况。这簇曲线的条件是

匕2/丫3=2；2，/乃=0.5。因此有匕迎=2=1,说明在法线入射时无反射纵波。当

v,,\p\Z|

a逐渐增大，增至某一角度时，反射波强度有突然的变化，而且透射波的强度很快下降。这

种强度的急剧变化，反映了波的能量转换，同时在临界角附近反射纵波和反射横波强度都增

大，此时的反射称为广角反射。图中R、B、T、D分别表示反射P波、反射SV波、透射P

波和透射SV波的能量系数曲线。

图ITTla、b反射系数，透射系数与入射角a的关系图

3.图lTT2a和b是描述匕>2/匕)1和O?/乃等参数比值发生变化时对反射系数的影响。

从图1-1-12中可以看出，当匕,2/匕“<1时，曲线变化缓慢，匕2/匕”越趋于1，则曲线越

平缓，这反映上下介质的波阻抗值差异越小，反射越弱，反之则为强反射。这一点可以用来

指导我们将来根据反射的强弱来识别岩性。当V02/Vm>l时，则曲线变化急剧，尤其是在

临界角附近。至于图ITT2b中，22/0比值变化时，曲线没有多大变化，说明密度的变

化对反射波的强度影响不大。

图lTT2a、b反射系数与匕(2/匕］,金/夕i的关系图

§1.1.4地震勘探中常遇到的波

(-)地震面波

地震勘探中遇到最多的面波是瑞雷(Rayleigh)面波，瑞雷面波的能量差不多只集中在

大约一个波长的范围内，因此瑞雷面波从震源0出发传播时，其波前是一个高度为z=3的

圆柱体，如图1T-13所示。

图1-1-13面波波前示意图

如果震源的作用时间为△t,则与面波有关的振动只发生在厚度为△r=Vn•△t的圆柱层

内，圆柱外部为其波前，内部为波尾。该圆柱层的体积W=2nzrAr。

其中r是面波波前的半径。由于震源的能量是常量，所以能量密度随波的传播半径r

增大而减小，其震幅将随4而衰减，这比体波的球面扩散的衰减要慢得多。这样在远距离

震源处，面波有可能强于体波。

瑞雷面波的传播速度不同于体波，它们低于横波的传播速度且沿自由表面传播，据研究,

瑞雷面波的传播速度VR大约是横波速度V.的0.955倍，即VR=0.9553V,。

瑞雷面波有别于体波的另一个特点是，其质点振荡动不是线性极化振动，而是面的极化

振动。它的质点运动可以在水平的x轴和垂直z轴上分解为振动u和振动w,根据理论研究,

这两个分振动在相位上差页/2,且振荡幅也不相同。可见，瑞雷面波的质点运动是由相位相

差n/2的二个相互垂直振动的合成运动，它在xz平面内，质点沿与波传播方向成反方向的

椭圆轨道运动，因此它是面椭圆极化波。

通常情况下，面波大多具有频散现象。所谓频散现象是指面波在介质中的传播速度是频

率的函数，即速度随频率而变。面波亦是一个脉冲波，根据频谱分析可知，如果面波的传播

速度是频率的函数，那么构成面波脉冲的每一个单频波都有其自己传播的速度，物理上称它

为相速度V（通常指波峰或波谷的传播速度）。由于相速度随频率而变，于是各分振动的相

位随波的传播而改变，由这些分振动叠加之后的总振动（构成面波脉冲）的波剖面在传播过

程中就会发生变化，那么整个面波脉冲的传播速度就可以这样理解，把面波脉冲包络线的极

大值的传播速度作为整个面波传播速度，并称之为面波脉冲的群速度u（图1-1-14）。

图1-1-14面波的群速度和相速度

一般物理教程中都已证明，相速度V和群速度U之间有如下关系：

=（1-1-33）

dX

式中入是单频波波长。

可以看出群速度U可以大于或小于相速度V,它决定于dV/dX是正值还是负值。正的称

为正常频散，反之称为速度具有异常的频散。由于频散现象，面波的波包变得比较伸长，同

时振幅逐渐平滑，各处波的剖面类似正弦线段，但波包的前面部分和后面部分的波长是不相

同的，正常频散，前面部分波长较长，异常频散则相反。

（-）薄层介质中的波

通常我们定义厚度Ah满足下列不等式的地层称为地震薄层。

A//</l/4或2M</l/2（1-1-34）

式中人是简谐振动的波长或脉冲波的视波长。不等式两边同除以波的传播速度V,则上

式变为：

2A/z/V<2/2V或T<T/2（1-1-35）

式中T表示波在薄层内传播的双程旅行时间，T是简谐振动的周期或脉冲波的视周期。

于是薄层亦可定义为地震波在该层传播的双程旅行时小于波的半个周期或半个视同期的地

层。

现在讨论地震波在薄层内反射时会发生什么情况。图1T-15是一个典型的薄层模型。

在上、下两个厚层中夹有一层厚度为Ah的薄层，薄层中的纵波速度为Vg密度为P2,它

的上、下层内的纵波速度分别为VgVp3,密度为Pl、P3。于是，这三层的波阻抗分别为4=

V|11P1；Zj=Vp2P2；Zj=Vp3P3。

图1-1-15薄层的物理模型

若有一平面简谐纵波Pl垂直入射至薄层顶板时，在该面上产生反射波P"、透射波PM

透射波在薄层底板上产生的反射波P您又可以在薄层内返回至薄层顶板上产生反射波

P您2,甚至由P⑵2又可形成口2222、……等波,如图1T-15所示。在薄层内形成的这些反射波,

地震勘探中称为多次反射波。这些多次反射波透过薄层顶板成为P3⑵、P”侬如、……等诸波,

它们均可在地面上被接收到（注意：图1-1T5上所画的射线为了清晰起见已将垂直投影的

射线在图上沿水平方向画成斜线）。根据薄层定义，薄层内的多次波必定和薄层的一次波P122.

在地面上相互叠加（因为在薄层内多次反射波的双程旅行时T小于一次波的二分之一个周

期），亦即当地面上接收到薄层的一次波后，它的振动尚未停止，多次波即到达，在地面上

接收到的是这些波互相叠合的总振动。这种一次反射波同薄层内多次反射波的相互叠加干涉

产生的效应称薄层的干涉效应。如果薄层的顶板反射波P"的振荡幅用Au表示；通过薄层在

其底板的一次反射波和多次反射波叠加的总振动表示p.u,其振荡幅为A;；则它们的相对

振幅值Au/A”反映了经过薄层反射的能量变化。经计算得：

A”_1-2(b-8)cos27tfT+(b-3)2

(1-1-36)

A”1-2Z?cos2次+〃

式中f是谐波频率，而

4Z|Z2(Z3-Z2)

(1-1-37)

(z2-Z1)(Z3+Z2)(Z2+Z1)

(z,-z)(z-z)

232(1-1-38)

(Z|+z2)(z3+z2)

从式（1-1-36）可以看出，经过薄层反射后的复合振动的振幅是与f、T、Ah有关,

因为:

T,T—_T—_2_A_/z—_2_A_/i

/~T~TV~A(1-1-39)

当薄层厚度一定时，A与频率f有关，说明谐波通过薄层反射后表现出振幅频率特性。

图1T-I6a给出了韵律型薄层（地层参数为：z〈Z2>Z3或z〉z2cz3）的频率特性曲线；图

描绘了递变型薄层（地层参数为：z〈Z2<Z3或A9%）的频率特性曲线。由图可知,

韵律型薄层压制了低频成分的波，相当于一个高通滤波器；而递变型薄层相对地压制了高频,

低频成分得到加强,好似一个低通滤波器。薄层的滤波特性亦进一步说明了大地的滤波作用。

根据式（1-1-39）薄层的振幅特性还是2Ah/入的函数，说明薄层厚度如果存在横向变化的

话，薄层的振幅特性就会发生变化，不同地段的反射波形亦不一致。

图l-l-16a,b薄层频率特性曲线

（三）非完全弹性介质中的波

粘滞弹性介质中的波动方程式可以写为:

d2u1口胡B°”

。凝=(%+〃)ve+〃v2z+/诙+科方(1-1-40)

式中n称为粘滞系数，它同介质的应变随时间而变化的粘滞性质有关。

对上式两边取散度div得：

p等…+2小吟尸(1-1-41)

…•4

式中V二§〃。

两边取旋度rot得:

a2/a、

p^v(Vxw)=1+lv2(Vxw)(1-1-42)

式(1-1-41)和(1-1-42)说明在粘滞介质中同样存在二种独立扰动(纵波和横波)，

但是它们的波动方程中都多了一项与时间变化有关的附加项。为了研究该附加项对波传播的

影响，以分析一个平面简谐纵波沿x方向传播为例。

设纵波的位移位为9(x,。，按平面波理论可以写成：

j(Mkx)

(p(x,t)=(p(}e-(1-1-43)

由于在沿x方向一维传播时

八du5~(p“2，…

0=—=——=~K~(p(1-1-44)

dxdx2

将上式。值代入式(1-1-41)得到：

pco2=(/1+2〃瘴2+jrjcoK2

2

故K2—--------------；—(1-1-45)

(X+2〃)+力0

令K=k-ja(1-1-46)

将上式代入(1T-43)式得：

axj(Mkx)

(p(x,t)=(poe-e-(1-1-47)

式(1-1-47)说明平面纵波在粘滞介质中传播时，它的振幅按指数规律衰减，衰减的快

慢则由式(1-1-48)的a值来确定，称a为衰减系数或吸收系数。可得：

--|l/4p,<

,p2a>4(1_ina>\

k=----------------；—cos-tg―1——

(2+2//)2+7/a>2__(24+

*

、一！

r-11/4(-/、、

p2c,o2/l1-i7169

(2+2//)2+z/<w2JL(22+2//JJ

(1-1-48)

于是波的传播速度:

V=吆=--------------------J--------------------

k「2I”"z.x

pJ1_]rtco

3cod-tg———

(A+2//)2+/]"a)2j九+2〃,

(1-1-49)

当波的频率很低时,满足不等式〃口<<4+2〃，则式(1-1-48)和式(1-1-49)可化

成

a〜r)a>2p'2

a2(/l+2〃)3'2-(1-1-50)

而频率较高时，满足不等式〃勿>>2+2〃，则得到：

(1-1-51)

上述结果说明，当波的频率很低时，地震波在粘滞介质中以恒速％传播，振幅随3?增

加而衰减；对高频波来说，振幅和传播速度都与圆频率的平方根成正比。因此弹性波随着传

播距离的增大，高频成分很快地被吸收，只保留较低的频率成分。

地震波的吸收还可以用一个与衡量无线电路中损耗完全相似的参数一一品质因素来描

述。品质因素Q被定义为：在一个周期内(或一个波长距离内)，振动所耗的能量AE与总

能量E之比的倒数。即：

万

\\EIEA£或2AE

=(1-1-52)

Q2乃2TTE~Q~E

Q值是一个无量纲量，它表明介质Q值越大，能量的损耗越小，介质越接近完全弹性体。

由式(1-1-47)可知，一个波长距离内的相对能量损耗量为：

竺=1_(0-曲)2=i_e-2s

E

由式(IT-52)有:

1l-e-2aAaAotVT

--=------------X-----=-p-------

Q?冗冗冗

于是可以求得吸收系数a与品质因素Q之间的关系:

第二节地震波运动学的基本原理及描述方法

地震波的运动鞋学是研究地震波波前的空间位置与其传播时间的关系。它与几何光学

相似，也是引用波前、射线等几何图形来描述波的运动过程和规律，因此也叫几何地震学。

§1.2.1几何地震学的基本概念

在此根据物理学的基本原理，简单回顾一下与地震波运动学有关的一些基本概念，包括

地震波的形成、波面、射线、振动图与波剖面、地震子波、视速度与视波长等。

地震波

振动在介质中的传播过程就是波。必须强调，波动是一种不断变化、不断推移的运动过

程。而不是任何固定的、僵化的东西。介质中有无数个点，在波的传播过程中，每个点都会

或早或晚地受到牵动而振动起来。单独考虑每一个点，它的运动只是在平衡位置附近进行振

动。把介质中的无限多个点当作一个整体来看，它的运动就是波动。振动和波动的关系就是

部分和整体的关系。

我们知道，和任何一种振动相联系，总有一定形态的振动能量。既然波动就是振动在介

质中的传播过程，那么，伴随着振动的传播，当然也就有能量的传播。波动是能量传播的重

要方式之一。这种方式的特点是，当能量在介质中通过波动从一个地方拎到另一个地方时，

介质本身并不传播。弹性理论的研究表明，每种物体在外力作用下，主要表现出弹性还是塑

要取决于具体的条件。既要看物体本身的物理性质，又要看作用力的大小和特点（延继时

间的长短、变化的快慢等），以及所处的外界环境（温度、压力等）。在牙力很大、作用时间

很长的条件下，大部分物体都表现为塑性性质。反之，在外力很小、作用时间很短的情况下，

大部分物体都具有弹性性质。当在帖层中用炸药爆炸激发地震波时大概是这样的情况，在炸

药包附近，爆炸产生的强大压力大大超过岩石的极限强度，岩石遭到破坏形成一个破坏圈，

炸成空洞。随着离开震源距离的增大，压力减小，但仍超过岩石的弹性限度。此时岩石虽不

发生破碎，但发生塑性形变，形成一些辐射状或环状裂隙。在塑性带以外，随着离开震源距

离的进一步增加，压力降低到弹性限度以内；又因为炸药爆炸所产生的是一个延继时间很短

的作用力，所以这一区域的岩石发生弹性形变。综上所述，地震波裨上就是一种在贴层中传

播的弹性波。

2、波前、波后和波面

设想在某一时刻t。开始在介质中激起波源的振动。过了一段时间，到了时刻

波源的振动可能就停止了或暂时停顿了。再过一段时间，到了时刻匕，波已传播了一段距离。

这时介质中分成了几个区域，如图1-2T所示。在离波源最近的区域V。中，波已经传播过

去，介质的振动己经停止。在其次一个区域片中。介质的振动正在进行。在更远的一个区

域V2中，波还没有传到，介质的振动还没开始。在4和小的分界面S上，介质中的各点刚

刚开始振动。这一曲面S,叫做波在时刻匕的波前（又叫波阵面）。在V。和%的分界面$上,

介质中的各点刚刚停止了振动。这一曲面S,叫做波在时刻匕的波后（又叫波尾）。必须记

住，波是不断前进的，从而波前和波后这两个曲面也在随着时间不断然地推进。不指明哪一

个时刻来谈论波前和波后是没有明确意义的。

波前和波后的大小（面积）一般会不断地扩大，它们的几何形状决定于波源的分布和介

质的性质。如果介质是均匀的和各向同性的而波源又可以看成一个点（叫做点波源），则波

前和波后都是球面。

在图1-2-1中，Si是波在时刻心的波前。过了一段时间，到了时刻以波前已经不在原

来的位置了，向前推进到了的地方$2了。但是，Sl这个固定的曲面仍然有很重要的意义。因

为介质中位于Si上的各点是同时（在时刻t.）开始振动的，它