2020-2021学年天津市杨村一中宝坻一中等四校高一下学期期末联考数学试题

20202021学年天津市杨村一中、宝坻一中等四校高一下学期期末联考数学试题一、选择题（本题共8小题，共32分）1．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是（）A．12 B．15 C．18 D．213．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A． B．C． D．4．已知向量，则下列结论错误的是（）A． B．C．向量的夹角为 D．在方向上的投影是5．在△中，角所对的边分别为，已知，则（）A． B．或 C． D．或6．一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为（）A．2 B．3 C．4 D．97．四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，异面直线与所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．在直角梯形中，，，，为BC边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，共25分）9．若复数满足：(为虚数单位)，则复数的虚部是__________.10．如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中恰有1个女孩的概率是_______．11．已知一个圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积等于_________.12．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是___________.①三棱锥的体积为 ； ②平面EFG③ ④13．在△ABC中，在边上，延长到，使得，若（为常数，且），且，则实数的值为_______；则的长度是________.三、解答题（本大题共5小题，共63分）14．（本题满分12分）在△中，角所对的边分别为，已知（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，△的面积为，求△的周长.15．（本题满分12分）如图，在四棱锥中,底面是矩形，,是棱的中点.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)设，求点到平面的距离.16．（本题满分13分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分和中位数；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数在[60，80)内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80)内的概率.17．（本题满分13分）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲､乙､丙三个家庭同时，甲､丙两个家庭都回答错误的概率是，乙､丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.（Ⅰ）求乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（Ⅱ）求甲､乙､丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.18．（本题满分13分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线平面PAB；（Ⅱ）求直线与平面所成角;（Ⅲ）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．天津市2020～2021学年度第二学期期末四校联考高一数学参考答案1—8：DABDCBDC9．； 10．； 11．； 12．①②④； 13．14．解：（Ⅰ）∵由正弦定理得 ………………2分∴ ………………3分∵∴ ………………5分又∴ ………………6分（Ⅱ）由题意： ………………7分∴ ………………8分由余弦定理得： ………………10分∴∴ ………………11分∴周长为 ………………12分15．【解析】（Ⅰ）在矩形中，. …………1分又∵ ………………3分∴ ………………4分QUOTE又， ………………5分QUOTE（Ⅱ）在中，，是棱的中点，∴由（1）知平面，∴.又∵，∴平面……………7分∵，∴,∵QUOTE,QUOTE∴面…8分∵面，∴所以，在中，，. ……………9分设点到平面的距离为，则.………………10分∴，即，解得.……………16．解：（Ⅰ）1－()=0.30（补全直方图略）……3分………5分设中位数为，则， ………7分（Ⅲ）由题意知[60,70)中抽2人，设为A1A2，[70,80)中抽取4人，设为B1B2B3B4则任取两人共有15种取法（A1,A2）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,B3），（A1,B4）,（A2,B1）,……………10分至多有一人在[70,80）总有9种情况 ……13分17．解：（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有， ………3分即， ……………5分解得，． ……………6分（Ⅱ）有0个家庭回答正确的概率为 …………8分有1个家庭回答正确的概率为 …………11分所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 …………13分18．解：（Ⅰ）取PA的中点为F，连接EF，BF∵E为PD的中点，∴EF//AD,且EF=又AB=BC=，∴BC//，∴∴四边形BCEF为平行四边形， ……2分∴CE//BF又BF平面PAB，CE平面PAB，∴直线CE∥平面PAB，…4分（Ⅱ）取AD的中点O连接PO，CO，∵面PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，∴为直线与平面所成角， ………………6分设AD=2，则，易得四边形ABCO为矩形，∴CO=AB=1，∴，∴