高考数学一轮复习课后限时集训65概率与统计统计案例的综合问题文北师大版

课后限时集训65概率与统计、统计案例的综合问题建议用时：45分钟1．(2019·泉州模拟)为了普及环保知识，共建美丽宜居城市，某市组织了环保知识竞赛，随机抽取了甲、乙两个单位中各5名职工的成绩(单位：分)如下表：甲单位8788919193乙单位8589919293(1)根据表中的数据，分别求出甲、乙两个单位这5名职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对环保知识的掌握更好；(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4的概率．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(87＋88＋91＋91＋93)＝90，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(85＋89＋91＋92＋93)＝90，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(24,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8，∵eq\f(24,5)＜8，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工对环保知识的掌握更好．(2)从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个．记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4”为事件A，则其包含的基本事件为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个．由古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4的概率P(A)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).2．(2019·西安模拟)某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：月份x12345销量y(百台)(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y(百件)与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，并预测6月份该商场空调的销售量；(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．参考公式与数据：线性回归方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，其中eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do12(i＝1)))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do12(i＝1)))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do12(i＝1))xiyi＝21.2.[解](1)∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(0.6＋0.8＋1.2＋1.6＋1.8)＝1.2，∴eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(21.2－5×3×,55－5×32)＝0.32，则eq\o(a,\s\up8(^))×3＝0.24，于是y关于x的回归直线方程为eq\o(y,\s\up8(^))x＋0.24.当x＝6时，eq\o(y,\s\up8(^))×6＋0.24＝2.16(百台)．(2)现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B.从这6人中随机抽取3人的所有情况为(a，b，c)、(a，b，d)、(a，b，A)、(a，b，B)、(a，c，d)、(a，c，A)、(a，c，B)、(a，d，A)、(a，d，B)、(a，A，B)、(b，c，d)、(b，c，A)、(b，c，B)、(b，d，A)、(b，d，B)、(b，A，B)、(c，d，A)、(c，d，B)、(c，A，B)、(d，A，B)，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(a，A，B)、(b，A，B)、(c，A，B)、(d，A，B)，共4种，故所求概率为P＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).3．(2019·汕头模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：(1)根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？(2)分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？(3)估计该厂产量为2000件产品时的利润以及一等级产品的利润．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2≥k)k[解](1)根据已知数据可建立列联表如下：一等级非一等级合计A生产线2080100B生产线3565100合计55145200χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(200×20×65－35×802,55×145×100×100)＝eq\f(1800,319)≈5.643＜6.635，所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关．(2)A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：eq\x\to(x1)＝eq\f(1,100)×(10×20＋8×60＋6×20)＝8(元)，获利方差为seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,100)×[(10－8)2×20＋(8－8)2×60＋(6－8)2×20]＝1.6.B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：eq\x\to(x2)＝eq\f(1,100)(10×35＋8×40＋6×25)＝8.2(元)获利方差为seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,100)×[(10－8.2)2×35＋(8－8.2)2×40＋(6－8.2)2×25]＝2.36，所以seq\o\al(2,1)＜seq\o\al(2,2)，则A生产线的获利更稳定．(3)法一：A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：eq\f(1,200)×[10×(20＋35)＋8×(60＋40)＋6×(20＋25)]＝8.1(元)，由样本估计总体，当产量为2000件产品时，估计该工厂获利2000×8.1＝16200(元)．又因为A，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本频率估计总体概率，有该工厂生产产品为一等级的概率估计值为eq\f(20＋35,200)＝eq\f(11,40).当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利2000×