初高中数学衔接教材4

精品与精品

初高中数学衔接教材

广东初中升高中数学衔接教材

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写在前面的话

（-）认识区别一一高中数学与初中数学特点的变化

1、数学语言在抽象程度上突变

高中学生常反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远。确实，初、高中的数学语言有着

显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合

语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2、思维方法向理性层次跃迁

高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很

多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即

使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等问题分别确定了三套路式的思维。因此，初中

学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，正如上节

所述，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是•朝一夕的事，这

种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维

向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3、知识内容的整体数量剧增

高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信

息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这就要求第一，要做好课后的复习

工作，记牢大量的知识：第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构

之中；第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好。因此

要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由

一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法；第四，要多做总结、归类，建立知识结构

网络。

（-）针对补习一一现有初高中数学知识及能力方面存在以下“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高

次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技

巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、

作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数

学必须掌握的基本题型与常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅

限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重

要内容.

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，

两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、

不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，与圆相关的角、

线段对应定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

9.另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的学习。

目录

第一章：数式运算和因式分解

1.1数与式的运算

3.3圆

1.1.1绝对值

3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系

1.1.2.乘法公式

3.3.2点的轨迹

1.1.3.二次根式

1.1.4.分式

1.2分解因式第四章：解题方法

1.2.1提公因式法分解因式4.1.1分类讨论思想

1.2.2公式法分解因式4.1.2归纳与类比思想

1.2.3十字相乘法分解因式4.1.3方程思想

1.2.4短除法分解因式4.1.4数形结合法的思想

第二章：方程、函数、方程组、不等式组第五章：高中学习方法

2.1一元二次方程

5.1三段式学习法

2.1.1根的判别式

5.1.1课前预习

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

5.1.2课堂听课

2.2二次函数、分段函数

5.1.3课后复习

2.2.1二次函数y=ax2+bx+c图像与性质

5.2有效的学习方法

2.2.2二次函数的三种表示方式

5.2.1思维导图

2.2.3分段函数

5.2.2错题本

2.3方程组不等式

2.3.1二元二次方程组解法

2.3.2简单的二元不定方程的解法

第三章：相似形、圆

3.1相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理

3.1.2射影定理

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2儿种特殊的三角形

1.1数与式的运算

1.1.1.绝对值

代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。

a,6/>0,

I。1=<0,。=0,

一","<（）.启示：在高中有绝对值问题时往往要分类讨论！

几何意义：

（1）-个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

（2）两个数的差的绝对值：|。-耳表示在数轴上，数。和数之间的距离.

启示：绝对值问题也可通过图形来解决！

例1解不等式：卜―1|+,一3|>4

解法一：由％—1=0,得了=1；由x—3=0,得x=3；

①若工<1,不等式可变为TxT）_（x_3）>4,

即-2X+4>4,解得X<0,

又"1,二x<0；

②若14x<2,不等式可变为（XT）-（X-3）>4,即I>4,

•••不存在满足条件的x；

③若xN3,不等式可变为（XT）+（X—3）>4,

lx—31

即2x—4>4,解得x>4。,--------人--------

又》》3,二x>4。ff彳4？

综上所述，原不等式的解为XV0,或》>4。x0134

lA—II

解法二：图1.1—1

如图1.1-1,

卜-1|表示X轴上坐标为X的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,

即|PA|=|x—1|；

Ix-31表示X轴上点P到坐标为2的点B之间的距离;PBI，

即|PB|=|x—3|。

所以，不等式,一1|+,一3|〉4的几何意义即为|PA|+|PB|>4。

由AB|=2,可知点P在点C（坐标为0）的左侧、或点P在点D（坐标为4）的右侧。

x<0,或x>4。

练习

1.填空：

(1)若忖=卜4|,贝产=；

(2)如果同+网=5,且“=一1,贝ijb=

(3)若|l-c|=2,则c=_______。

2.选择题：下列叙述正确的是()

A、若时=网，则a=bB、若时〉网,则a〉b

C>若a<b,则问<\h\D、若同=网，贝ija=±b

3.若5<x<6,化简：|x-5|-|2x-13|o

4、解答题：已知|a-3|+J赤Z+(c+5)2=0,求a+6+c的值。

5、解不等式:

(1)|x[>4(2)|x+2|<4

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

222

(2)完全平方公式(a±b)^a±2ab+b0

【揭示乘法公式的几何意义】

从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形,

上述操作所能验证的等式是()

A,(a+b)(a-b)=a2-b2

B、(a-b)2-a2-lab+b2

C、(a+b)2=a2+2ab+b2

D、a2+ab=a{a+b)

完全平方公式：+

1.将字母看作非负数；

2.平方式构造正方形，底数即为边长；

3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。

【设计与创造】

请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式:

(a+b)2=(a-b)2+4ab

我们还可以通过证明得到下列一些高中常用乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a2—ah+b2)-cc'+/?3；

(2)立方差公式(a-&)(a2+a-i>b2)=a3-b3；

(3)三数和平方公式(a+b+c)~—ci~+b~+c~+2(ab+be+ac)；

(4)两数和立方公式(a+by=ay+3a2b+3ab2+b\

(5)两数差立方公式(aW—3a26+3“_b\

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明。

例1计算：(X+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+X+1)O

解法一：原式二(x2-l)[(x2+l)2-x2]=(x2-1)(/+x2+l)=x6-lo

解法二：原式二(X+1)(r—X+1)(%—1)(X-+X+1)=(%3+1)(X，—1)=%6—1o

例2已知Q+/?+C=4,QZ?+/?C+QC=4,求。2+/??+c?的值。

解：a?+/+c2=(。+b+。)2—2(ab+bc+ac)=8。

练习：

1、填空：

(1)—a1——b2=(—/?+—tz)()；

9423

(2)(4加+)2=16m2+4m+()；

(3)(a+2/?-c)2=6z2+4/?2+c2+()。

2、选择题：

(1)若V+,用工+4是一个完全平方式，则上等于()

2

A、m2B、—m2C、—m2D、-m~

4316

(2)不论a,匕为何实数，/+从一2。-4/?+8的值()

A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正数也可以是负数

3、计算：

(1)103X97(2)19982-1997x1999(3)(l-2r)(l+2r)(l+4x2)(l+16x4)

4、观察下列等式：12-02=1,22-I2=3,32-22=5,42-32=7,....

用含自然数n的等式表示这种规律:。

5、一个特殊的式子

1,111

(1)已知X—=2,求x~H——的值；(2)已知X"~\——二2求X4的值;

XXXX

1.1.3.二次根式

1、形如布(aNO)的代数式叫做二次根式。

2、根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。

例如：3a+Jq2+b+2b是无理式，

而》2+啦孙+》2等是有理式。

3、分母(子)有理化：把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化。

为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它

们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，

例如血与血，3&与&,6-屈与g+R,26-3金与2#>+3氏,等等。

一般地，“J7与J7,aG与a6,a«+匕与互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化

则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。

4、(1)在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

运算中要运用：公式五、5=而(。20/20)；

(2)对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；

(3)二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。

5、二次根式的意义:=lai=<'

11[-a,a<0

例1：将下列式子化为最简二次根式：(1)y/12b；(2)4a^b{a>0)；(3)，4小口<0)、

解：(1)71^=2屉；

(2)=\a\4b=a4b(a>0)

⑶=2k3|6=_2心4(了<0)

例2计算：734-(3-73).

6百.(3+6)373-33(V3+1)V3+1

解法一：百+(3—6)

3-V3-(3-V3)(3+V3)9-36-2

6_6_]_6+1V3+1

解法二：75+(3—6)

3-V3—6电-1)-V3-1—(73-1)(73+1)2

例3彳精：(1)：(2)Qx?4—--2(0<x<1)o

解(1)原式=J5+4有+4=J(君)2+2X2X«+22=J(2_6)2=12一6|=6_2

(2)原式=J(x—=x-2，...Ovxvl，，L>l>x，所以，原式=▲—x。

\XXXX

练习

1.填空:

1-V3

(1)

1+V3

(2)4V24-6A/54+3V96-2V150=

(3)若7(5-X)(X-3)2=(X-3)J-,则x的取值范围是

,.X生Vs,Jx+l--yjx—lJx+1+Jx—1

(4)若》=—,,则i----~7^=+-7=_y^==_____________。

2Jx+l+Jx—1Jx+1—yjX—1

(A)"2(B)尤>0(C)工>2(D)0<x<2

3.比较大小：2-百V5-V4(填“>”，或"V”)。

4.化简也率x+而+y

xy-yx4x-yyJy

22

5、解答：设求代数式厂+“'+)'-的值。

x+y

1.1.4分式

AA

1.分式的意义：形如一的式子，若8中含有字母，且8w0,则称一为分式。

BB

八口卜八34日七十皿竹■UHAAxMAA^-M

当"WO时，分式一具有下列基本性质：一=------；—=------

BBBxMBB+M

a

2.繁分式：像一力一，'“7+P•这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d2m

n+p

例1若总土土=4+_0_,求常数A,8的值。

x(x+2)xx+2

解：,.,4+上A(x+2+取(A+B)x+2A5x+4A+8=5,A=2

解得4

Xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)2/4=4,8=3

例2

111

(1)试证:（其中n是正整数）;

n(n+1)nn+\

111

(2)计算:---------1----------1■…d------------

1x22x39x10

有为+11

(3)证明：对任意大于1的正整数〃,----+•••+<L

3x4〃(〃+1)2

11

(1)证明：,/---L_=（“+i）一〃----（其中n是正整数）成立。

nn+1n(n+1)〃(〃+l)n(n+1)nn+1

(2)解：由(1)可知^―+—^―+…+―--==1--=—

1x22x39x102239101010

1

（3）证明:---------1-----------F…H--------------

2x33x4〃(〃+1)〃+12〃+1

1

1

又且〃是正整数，一定为正数，•,•」一+—!一+•+<-

2

〃+12x33x4

例3.设夕=£，月.夕>1,2c2—5ac+2a2=0,求的值。

a

解：在2c2-5。。+2。2=0两边同除以2a2,得2夕？一5夕+2=0,

（2p—1）（p—2）=0,/.p=]<1（舍去），或p=2。p=2。

练习

1.填空题：对任意的正整数〃，-1—=___(--——);

+2)n〃+2

2.选择题：若生2=2,则2=()

x+y3y

546

(A)1(B)-(C)-(D)-

455

3.正数满足f—y2=2孙，求二二工的值。

x+y

4xab

则+/的值是

x~—4x+2x—2

、-111I

5、计算-----1-----------1---------4~...H---------------

1x22x33x499x100

6、试证：对任意的正整数〃，有一?—+―J—+•­•+----J------<7o

x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+24

1.1数与式的运算综合训练题

习题1.1A组

1.解不等式：

(1)|x-l|>3；(2)|x-1|+|x+1|>6o

2.已知x+y=l,求x，++3xy的值。

3.填空：(1)(2+V3)'8(2-V3)l9=；

(2)若J(l-a)2+J(l+a)2=2,则。的取值范围是

⑶1+72+>/2+V3+V3+V4+V4+V5+V5+V6

B组

1.填空:

,、1,1ri3a2-ab

(1)a=­，b=一,贝l!]—------------

233a2+5ah-2b2

(2)若f+xy—2y2=0,则二+j叫厂=_____

x+y

2.已知：x=—,y=—9求l—j—的值。

23yjx-yjyJx+Jy

C组

1.选择题：(1)若y1-a-b-2y[ab=y/-b-\f-a,则()

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)计算a/I等于()(A)口(B)&

(C)—J—a(D)—\[ci

2.解方程2*2+!)-3(》+!)—1=0。

XX

1111

3.计算:--------1-----------1---------+…+

1x32x43x59x1

4.试证：对任意的正整数〃，有一1—+―1—+•■•+----1------1

<4

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2

1.2分解因式

定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。分解因式叮

整式乘法为相反变形。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问

题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的,

而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式

的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以

提高学生综合分析和解决问题的能力。

1.2.1提公因式法

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形

式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

如何确定公因式？

(1)如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号提取。

(2)取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。

(3)把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幕的积作为公因式的因式。

上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤(1)可省略。

注意：

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

如何用提公因式法？

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各

字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。

例1分解因式：

⑴/(6一5)+4(5-6)(2)X3+9+3X2+3X

解(1)q-(b—5)+“(5—£>)=a-(匕-5)—a(b—5)=一5)(。一1)

(2)解法一：X"'+9+3厂+3x=(x，+3x~)+(3x+9)=(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x~+3)。

解法二：尤3+9+3/+3x=(》3+3/+3x+1)+8=(x+1)3+8=(X+)+吃

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]=(X+3)(X2+3)

例2分解因式：2々)

解：

(x；—2X])—(x；—2尤2)——x：—x；-2X]+2x,—(X)一x、)(玉+々)—2(网—x?)=(巧一X、)(须+x,—2)

练习：

一、填空题：

1、多项式6x?y-2盯2+4盯z中各项的公因式是…

2、m(x-y)+n(y-x)-(x-

3、m(x-)>y+心-x)2=(x-y)2•

4、/”(x-y-z)+“(y+z-x)=(x-y-z)・

5、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)»

6、—134从》6—3943。2*5分解因式得

7.计算99?+99=_______________

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X”)

1>2a2b-4ab2=2ab(a-b)()

2、am+bm+m=m(a+h)()

3--3x，+6x--15x=-3x(x~+2x-5)()

4、x"+x'i=x'i(x+l)()

1.2.2公式法

初中已经学习过了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a-b)-a2-b2；

(2)完全平方公式(a±6)2=a~+2ab+b~0

(3)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a?'+b3；

(4)立方差公式(a-b)(a2+a-bb2)=a3-b3；

(5)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(6)两数和立方公式(a+b)i=a3+3a2b+3ab2+bi；

(7)两数差立方公式(aW—3a26+3“2。

注意：公式法就是分解因式与整式乘法为相反变形。

例1分解因式：⑴-/+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2

解：(1)+16=4?—(a?)?=(4+q2)(4_a2)=(4+a2)(2+a)(2_q)

(2)(3x+-(x-/J=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

例2若$<超，求证：x：-x；<0

解：x：—x：=(玉_X2)(x：+x；+苞》2)

2

=(Xj-X2)(X|+—%2+X|%2+--^2)=(X|一》2)[(玉+-.^2)'+.X；]

又,/X]<x2

X1—%2<0,(X[+-%2)~+W”'>0

X：-%2<0

例3(1)x2-xy+3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-60

解(1)x?-孙+3y-3x=(x?-盯)+(3y-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)*(x-3)

(2)lx1+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x~+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3)。

练习

一、填空题

(1)a2-2ab+b2,a2-h2,/的公因式是

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X”)

4

X2一0.01=|x]_(0.1)2=旨+0.1)停X—0.11()

9-

2、9/-8/=(3。)~-(4。)=(3o+4b)(3"4/7)()

3、25/一16b=(5a+4—(5a-4b)()

4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)()

5、a2-(b+cf-(a+h+c)(a-b+c)()

三、把下列各式分解

2、3d」

1>—9(m—“I+(m+n)2

3

22

3、4-(X-4X+2)4、X4-2X2+1

4、用分组分解法分解多项式

(1)x~~y~~—h~+2ax+2by(2)c/—4c"+4Z?~—6。+12/7+9

1.2.3十字相乘法

作用：十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。

对于形如ax2+bx+c-(4》+4)(。2%+。2)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因

数叫,。2的积，把常数项C分解成两个因数C”C2的积，并使%C2+a2cl正好是一次项的系数匕，那么可以

2

直接写成结果:ax+bx+c=(a^x+ci')(a2x+c2)0

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数

不是I时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

例1分解因式：

(1)x-—3x+2；(2)x2-(a+b)xy+aby2；(3)盯一1+x-y。

解(1)如图1.1-1,将二次项又2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，

而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是步一3矛+2中的一次项，

所以，有/—3x+2=(x-1)(x—2)o

图1.1—1图1.1-2图1.1-3

(2)由图1.1—2,x2—(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)

(3)如图1.1—3所示“一l+x-y=xy+(x—y)—1=(x—1)(y+1)

特别提示：

2

若关于x的方程ax+bx+c^0(«w0)的两个实数根是xPx2,

则二次三项式+bx+c(a*0)就可分解为a(x-x1)(x-x2)o

例2把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)X2+2X-\；(2)x2+4xy-4y2o

解(1)令丁+2彳-1=0,则解得玉=-1+&,x2=-1-72,

x~+2.x-1=[x-(-1+[x-(-1-=(x+1-V2)(x+1+V2)o

(2)令厂+4xy—4)广=0)则解得玉=(—2+，Xj=(—2—2V2)y，

，x2+4xy-4/=[x+2(l-V2)>'][x+2(l+V2)y]。

练习

一、填空题:

1、把下列各式分解因式：

(1)x2+5x-6=_________________

(2)x~—5x+6=_________________

(3)x2+5x+6=_________________

(4)x2-5x-6—_____________________

(5)J-(a+1卜+a=

2、若x2+ax+b=(x+2)(x-4)则a=，h-。

二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)

1、在多项式

(1)x~+7x+6(2)x~+4-x+3(3)x~+6x+8(4)x~+7x+10>(5)x~+15x+44中，

有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式/+8帅-33/得()

A、(a+ll)(a-3)B、(a+llb)(a-3b)C、(a-llb)(a-3b)D、(a-ilb)(a+3b)

3、(a+/?y+8(a+b)—20分解因式得()

A、(a+b+10)(a+b-2)B、(a+6+5)(a+0-4)

C>(a+b+2)(a+/?-10)D、(a+b+4)(a+b-5)

4、若多项式X2—3X+”可分解为(x—5Xx—b),则a、b的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,h=—2C、a=—10,b=—2D>a=—10,h=2

5、若/+mx—10=(x+a)(x+b)其中a、A为整数，则加的值为()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

1.2.4短除法分解因式一一多项式除法

2I12182I123050短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因

36931T数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，

235以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。

215

而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的

最大公约数最小公倍数

2*3=62«3*5*2*1x5=300因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到

图图2

1剩下每两个都是互质关系。

注意：求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。

x—3x2—x+1

问题:

3x~-2x+1

我们也可模仿实数的除式运算来进行！一一多项式除法

先看一个整除的例子：

婷+2厂—3x+10

=x2+4x-5=(x-l)(x+5)

x-2

X3+2X2-3X+10=(X-2)(X2+4X-5)=(X-2)(X-1)(X+5)

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幕排列，并把所

17,、

缺的项用零补齐.3x-9q(x)

（2）用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的g(x)...3x2-2x+ijx3-3x2-x-1...f(x)

第一项.

3221

x—x+—X

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面33

724

（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来.--x--X-1

33

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法

72147

继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次_.x+

数时为止.被除式=除式x商式+余式262,、

-9x-9«x)

注意：如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除。

这样一•来，我们自然就得到了一个分解因式的好方法！

1.2因式分解综合训练题

A组

1.选择题：多项式2——xy—15y2的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)x~+6x+8—__________________

(2)Sa3-b3=____________________

(3)X2-2X-1=________________

(4)4(x-y+l)+y(y-2x)=

B组

1.在实数范围内因式分解：

(1)x"-5x+3；(2)x?—Q.ypix—3；

2.分解因式：

(1)a3+l=________________________

(2)4X4-13X2+9=_______________

(3)b~++2ab+2cle+2bc~

(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4=

C组

1.A4BC三边a,b,c^a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判定A48c的形状。

2.分解因式：x~+x——n)

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

问题：求下列方程的根：

(1)+2x—3=0；(2)+2x+1=0；(3)+2x+3=0。

法1:配方法

b—4/7「

可把一元二次方程ax?+6x+c=0(aNO)变为(x+——)2=-------①

2a4a-

(1)当Z?2-4ac>0时，方程①的右端是一个正数，

—b+J/?2—4〃c

因此，原方程有两个不相等的实数根为2=—―------

2a

(2)当62-4ac=0时，方程①的右端为零，

因此，原方程有两个等的实数根匹=/=—2；

2a

(3)当匠一4ac<0时,方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x+2)2一定大于或等于零,

2a

因此，原方程没有实数根。

由此可知，一元二次方程a/+8x+c=0(aWO)的根的情况可以由^一《ac来判定！

我们把谈一4ac叫做一元二次方程a/+6x+。=0(a¥o)的根的判别式，通常用符号“△”来表示。

法2：公式法

对于一元二次方程ax2+6x+c=0(aWO),有

—b+、/卜?一

(1)当△>()时，方程有两个不相。/+6x+c=o等的实数根范，=**——；

2a

(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根，=x=--；

Xi22a

(3)当△V0时，方程没有实数根。

例1判定下列关于％的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根。

(1)x2—3x+3=0；(2)x2—ax—1=0；

解(1)VA=32-4XlX3=-3<0,

，方程没有实数根。

(2)该方程的根的判别式A=a2-4X1X(-l)=a2+4>0,

所以方程一定有两个不等的实数根

a+da1+4a-da1+4

Xj—,X?—o

2.1.2根与系数的关系(韦达定理)

发现规律:

-b±7b2-4ac

若一元二次方程尤+。=0(aWO)有两个实数根X1,2

2a

w-h+y/b2-4ac-b—y]b2-4ac-2bh

则有x.+x,=--------------+---------------=——=一一；

2a2a2aa

一。+“2-4ac-b-y]b2-4acb2-(b2-4ac)4acc

x.x=-------------------------=-----­：-----=—7=—

22a2aa

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

__卜r

如果ax2+6x+c=0(aWO)的两根分别是王，/,那么X]+x?=-一，xrx’=-。这

aa

一关系也被称为韦达定理。

例1已知方程5%2+日一6=0的一个根是2,求它的另一个根及A的值。

解法一：：2是方程的一个根，

.,.5X22+AX2-6=0,：.k=~7.

23

所以，方程就为5