第六节定积分在几何上的应用

定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种简便方法--()下面介绍它在几何,物理和经济等问题上的简单应用.什么量可以用定积分表示出来?5.6定积分在几何上的应用1(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;则可以考虑用定积分来表达这个量U.(2)U对于区间[a,b]具有可加性.就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,(3)部分量

的近似值可表示为当所求量U符合下列条件：则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和.2元素法的一般步骤：这个方法通常称为元素法(微元法).(1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如

x(2)任取一小区间并记为求出相应于这小区间的部分量

的近似值dU,并将其表示为(3)以所求量U的元素

为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分,得即为所求量U的积分表达式.为积分变量,并确定它的变化区间[a,b];3求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.它对应的面积元素dA为即1.直角坐标系下平面图形的面积6.1.1平面图形的面积

在[a,b]上任取一区间4求由曲线和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应小区间5解两曲线的交点选

x为积分变量例1

计算由两条抛物线

和所围成的图形的面积.面积元素6解两曲线的交点选

y为积分变量例2计算由曲线

和直线的图形的面积.所围成所求面积7如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积2.参数方程情形下求平面图形的面积在(或)上与终点的参数值.设

和

对应曲线起点具有连续导数,连续.8解1曲线的参数方程为由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积.作变量代换,例3求椭圆

的面积.9解2其中由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积．例3求椭圆

的面积.10面积元素曲边扇形的面积由极坐标方程给出的平面曲线和射线所围成的面积A.曲边扇形3.极坐标系下求平面图形的面积11解利用对称性知例4

求心形线图形的面积.所围平面12旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条圆柱圆锥圆台6.1.2体积问题1.旋转体的体积直线旋转一周而成的立体.这直线称为旋转轴．13旋转体的体积为如果旋转体是由连续曲线直线及

x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋x转一周而成的立体,求体积.取积分变量为x,为底的小曲边梯形绕

x轴旋转而成的薄片的体积元素14解例5求由椭圆围成的图形绕

x轴旋这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆转一周所得旋转体的体积.与x围成的图形绕

x轴旋旋转而成.所求体积为15如果旋转体是由连续曲线及

y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,求体积.直线体积元素旋转体的体积16解两曲线的交点为绕y轴旋转所得体积y轴旋转所得旋转体的体积.例6求抛物线所围成图形绕172.已知平行截面面积的立体的体积立体体积A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，A(x)为x的已知连续函数.如果一个立体介于过而垂直于x轴的两平面之间，体积元素18解取坐标系如图,底圆方程为截面面积立体体积垂直于x轴的截面为直角三角形.例7一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角

计算这平面截圆柱体所得立体的体积.底高19弧长元素弧长为6.1.3平面曲线的弧长1.直角坐标情形取积分变量为x,上任取小区间[x,x+dx],设曲线弧为其中在[a,b]上有一阶连续导数.

在[a,b]20设曲线弧的参数方程为弧长为2.参数方程情形其中

在上

具有连续导数.21解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长例8求星形线