2015-2016学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

2015-2016学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）在每道小题给出的四

个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定

要求填涂在答题纸第1-10题的相应位置上.

1.（3分）已知5x=6y（yWO）,那么下列比例式中正确的是（）

A.三上B.±4C.三9D,三至

2.（3分）已知：如图，将NABC放置在正方形网格纸中，其中点A、B、C均在

格点上，则tanNABC的值是（）

C.逅D.亚

（3分）抛物线y=2（x-1）2-5的顶点坐标是（

A.(1,B.(-1,-5)C.(1,-5)D.(-1,5)

4.（3分）两个相似三角形的面积比是9：4,那么它们的周长比是（）

A.9：4B.4：9D.3：2

5.（3分）下列命题正确的是（）

A.三角形的外心到三边距离相等

B.三角形的内心不一定在三角形的内部

C.等边三角形的内心、外心重合

D.三角形不一定有内切圆

6.（3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Q）成反

比例.如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电

阻R表示电流I的函数解析式为（）

c.i=AD.q

R

7.（3分）如图，C是。。上一点，。为圆心，若NC=40。，则NAOB为（

A.20°B.40°C.80°D.160°

8.（3分）将二次函数y=5x2的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位

后，所得的图象的函数表达式是（）

A.y=5（x-3）2+4B.y=5（x+3）2-4

C.y=5（x+3）2+4D.y=5（x-3）2-4

9.（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果。。是以原点0（0,0）为圆心，以

5为半径的圆，那么点A（-3,-4）与。O的位置关系是（）

A.在。。内B.在。。上C.在。O外D.不能确定

10.（3分）小军每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，在公园休

息了一会儿后跑步回家.下面的四个函数图象中，能大致反映当天小军离家

的距离y与时间x的函数关系的是（）

二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）抛物线y=x2-2x+5的对称轴为.

12.（3分）已知扇形的圆心角为120。，面积为3兀，则扇形的半径是.

13.（3分）抛物线y=5x2+l与抛物线C关于x轴对称，则抛物线C的表达式

为.

14.（3分）已知点A（ai,bi）,点B（az,b2）在反比例函数打二■的图象上，

X

且那么bi与b2的大小关系是也b2.

15.（3分）“圆材埋壁"是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题."今

有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？"

用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为。O的直径，弦ABXCD,垂足

为E,CE=1寸，AB=1尺，则直径CD长为寸.

16.（3分）已知半径为2的。O,圆内接^ABC的边AB=2«,则NC=.

三、解答题（本题共13道小题，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第

28题7分，第29题8分，共72分）

17.（5分）计算：tan60。-（兀W）°+I料-2|+4sin30。,

18.（5分）如图，点A是一次函数y=2x与反比例函数*（mWO）的图象的交

X

点.过点A作x轴的垂线，垂足为B,且0B=2.求点A的坐标及m的值.

19.（5分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，连结DF并延

长交CB的延长线于E.求证：AD・AB=AF・CE.

DC

20.(5分)已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下

表:

X01234

y52125

(1)求该二次函数的表达式;

(2)当x=6时，求y的值;

(3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象.

为

，--L-L?--T--r-->--T-T--|

I■I•I■tI)

・."•⑷T・“・・v；

--r-T3-—T-rT--{

012345

J.：.」..：.二3一二・，・二,一：・・：

।।(■।(।■।।।

L-J--2--L-J.4J__

21.(5分)已知：如图，在由边长为工的小正方形组成的网格中，点A、B、C、

D、E都在小正方形的顶点上，求tanNADC的值.

22.(5分)德国心理学家艾宾浩斯(H.Ebbinghaus)研究发现，遗忘在学习之

后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快，以后逐渐

缓慢.他认为“记忆保持量是时间的函数”，他用无意义音节(由若干音节字

母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作记忆材料，用节省法

计算保持和遗忘的数量.他通过测试，得到了一些数据如下表，然后又根据

这些数据绘出了一条曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如下图.该曲

线对人类记忆认知研究产生了重大影响.

时间间隔记忆保持量

刚记完100%

20分钟后58.2%

1小时后44.2%

8〜9小时后35.8%

1天后33.7%

2天后27.8%

6天后25.4%

观察图象及表格，回答下列问题:

（1）2小时后，记忆保持量大约是多少？

（2）说明图中点A的坐标表示的实际意义.

（3）你从记忆遗忘曲线中还能获得什么信息？写出一条即可.

个记忆保持量%

100卜丁二•？…7…丁一”•丁…？一丁•丁…

60卜;…•[…•+…•+…•+…[

■।।8-：

20……+……

o4-’§'，2：『6'2百‘24Q间

23.（5分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，

以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个.在

此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考

虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.

设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）.

（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；

（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最

大利润为多少？

24.（5分）如图，小文家的小区有一人工湖，湖的北岸有一条笔直的小路，湖

上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好.小

文站在完好的桥头点A处，测得北岸路边的小树所在位置D点在他的北偏西

30。，向正北方向前进32米到断口B点，又测得D点在他的北偏西45。.请根

据小文的测量数据，计算小桥断裂部分的长.（我-1.73,结果保留整数）

25.（5分）已知：如图，的半径OC垂直弦AB于点H,连接BC,过点A作

弦AE〃BC,过点C作CD〃BA交EA延长线于点D,延长CO交AE于点F.

（1）求证：CD为。。的切线;

26.（5分）已知：如图，在^ABC中，a,b,c分别为NA,ZB,NC的对边,

若2b=a+c,ZB=30°,ZxABC的面积为求a?+c2的值.

2

27.（7分）抛物线y=x2-4与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y

轴的交点为C.

（1）求点A、B、C的坐标;

（2）将抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t>0）,同时将直线I：y=3x沿y轴

正方向平移t个单位.平移后的直线为I，，平移后A、B的对应点分别为A、

B'.当t为何值时，在直线r上存在点P,使得△ABP是以AB为直角边的等

腰直角三角形？

6-

5-

4-

3-

2-

1-

j__,__।-------1----->

-6-5-4-3-2-10123456x

-3

-4

-5

-6

28.（7分）已知：如图，AB为。。的直径，G为AB上一点，过G作弦CELAB,

在食上取一点D,分别作直线CD、ED,交直线AB于点F、M,分别连结0E,

CO,CM.

（1）若G为0A的中点.

@ZCOA=°,ZFDM=°；

②求证：FD»OM=DM»CO.

（2）如图，若G为半径0B上任意一点（不与点0、B重合），过G作弦CEXAB,

点D在前上，仍作直线CD、ED,分别交直线AB于点F、M,分别连结0E,

CO,CM.

①依题意补全图形；

②此时仍有FD・OM=DM・CO成立.请写出证明FD・OM=DM・CO的思路.（不写出

证明过程）

29.（8分）一般地，在Rt^ABC中，ZC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比

叫做NA的正弦，记作"sinA〃，即sinA=N吧、》边・类似的，我们定义：在等

斜边

腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对.如图1,在^ABC中，AB=AC,

顶角A的正对记作sadA,即sadA=*?=BC.根据上述角的正对定义，完成

腰AB

下列问题：

(1)sad60°=；

(2)已知：如图2,在RtTXABC中,ZC=90",sinA=上，试求sadA的值;

5

(3)已知：如图3,在平面直角坐标系xOy中，A(0,2),B(472-0)，点C

为线段AB上一点(不与点B重合)，且AC*AB，以AC为底边作等腰4ACP,

点P落在直线AB上方，

①当sadNAPC=Z时，请你判断PC与x轴的位置关系，并说明理由；

3

②当sad/APC=生区时，请直接写出点P的横坐标x的取值范围.

3

2015-2016学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）在每道小题给出的四

个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定

要求填涂在答题纸第1-10题的相应位置上.

1.（3分）已知5x=6y（yWO）,那么下列比例式中正确的是（）

A.三上B.三上C.三qD,三至

5665y65y

【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做

比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积

可得答案.

【解答】解：A、三=工，则5y=6x,故此选项错误；

56

B^三=工，则5x=6y,故此选项正确；

65

C、&=5,则5y=6x,故此选项错误；

y6

D、三=2,则xy=30,故此选项错误；

5y

故选：B.

【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积.

2.（3分）已知：如图，将NABC放置在正方形网格纸中，其中点A、B、C均在

格点上，则tan/ABC的值是（）

B.1C.正D.2V5

225

【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出tan/ABC的值即可.

【解答】解：在RtZ^ABC中,AC=4,BC=2,

则tanNABC=_^=W=2,

BC2

故选：A.

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解本

题的关键.

3.（3分）抛物线y=2（x-1）2-5的顶点坐标是（）

A.（1,5）B.（-1,-5）C.（1,-5）D.（-1,5）

【分析】直接根据二次函数的解析式即可得出结论.

【解答】解：•••抛物线的解析式为：y=2（x-1）2-5,

抛物线的顶点坐标为（1,-5）.

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数的性质2,熟记二次函数的顶点式是解答此题的

关键.

4.（3分）两个相似三角形的面积比是9：4,那么它们的周长比是（）

A.9：4B.4：9C.2：3D.3：2

【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论.

【解答】解：•••两个相似三角形的面积比是9：4,

它们的周长比=需=3：2.

故选：D.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的

比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

5.（3分）下列命题正确的是（）

A.三角形的外心到三边距离相等

B.三角形的内心不一定在三角形的内部

C.等边三角形的内心、外心重合

D.三角形不一定有内切圆

【分析】根据三角形的外心的性质对A进行判断；根据三角形内心的定义对B、

D进行判断；根据三角形内心、外心的定义和等边三角形的性质对C进行判

断.

【解答】解：A、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以A选项错误;

B、三角形的内心一定在三角形的内部，所以B选项错误；

C、等边三角形的内心、外心重合，所以C选项正确；

D、三角形一定有内切圆，所以D选项错误.

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.熟练掌握与

三角形有关的性质.

6.（3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Q）成反

比例.如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电

阻R表示电流I的函数解析式为（）

【分析】观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式产生（kWO）

X

即可求得k的值.

【解答】解：设反比例函数的解析式为尸K（kwo）,

X

由图象可知，函数经过点B（3,2）,

2=—,得k=6,

3

・••反比例函数解析式为y=@.

X

即用电阻R表示电流I的函数解析式为1=1.

R

故选：D.

【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k,求出函数解析式.

7.（3分）如图，C是。。上一点，。为圆心，若NC=40。，贝UNAOB为（）

A.20°B.40°C.80°D.160°

【分析】根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案.

【解答】解：：NC=40。，

AZAOB=80°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握

圆周角定理是解决问题的关键.

8.（3分）将二次函数y=5x2的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位

后，所得的图象的函数表达式是（）

A.y=5(x-3)2+4B.y=5(x+3)2-4

C.y=5(x+3)2+4D.y=5(x-3)2-4

【分析】按照“左加右减，上加下减"的规律解答.

【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0,0）,

平移后抛物线顶点坐标为（3,4）,

又因为平移不改变二次项系数，

•••所得抛物线解析式为：y=5（x-3）2+4.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是

得到新抛物线的顶点坐标.

9.（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果。。是以原点0（0,0）为圆心，以

5为半径的圆，那么点A（-3,-4）与。0的位置关系是（）

A.在。。内B.在。。上C.在。0外D.不能确定

【分析】根据两点间的距离公式求出A0的长，然后与。。的半径比较，即可确

定点A的位置.

【解答】解：.••点A（-3,-4）,

是以原点0（0,0）为圆心，以5为半径的圆,

・•.点A在。。上，

故选：B.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r,点到圆心

的距离为d,则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时,

点在圆内.

10.（3分）小军每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，在公园休

息了一会儿后跑步回家.下面的四个函数图象中，能大致反映当天小军离家

的距离y与时间x的函数关系的是（）

【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断.

【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：他步行到离家较远的公园，在这个

阶段，离家的距离随时间的增大而增大；

第二阶段:在公园休息了一会儿，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变.故

D错误；

第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，

并且这段的速度大于第一阶段的速度，则B错误.

故选：C.

【点评】此题是函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图

象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键.

二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）抛物线y=x2-2x+5的对称轴为x=l.

【分析】可把二次函数化为顶点式，可求得对称轴.

【解答】解：

y=x2-2x+5=（x-1）2+4,

抛物线对称轴为x=l,

故答案为：x=l.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式方程是解题的关

键.

12.（3分）已知扇形的圆心角为120。，面积为3n,则扇形的半径是3

2j

【分析】根据扇形的面积公式S=l2上，得r=、但迹.

360Vn兀

【解答】解：根据扇形的面积公式，得

r=/360S=/360X3几总

VnKV120兀

故答案为3.

【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活

运用扇形的面积公式.

13.（3分）抛物线y=5x2+l与抛物线C关于x轴对称，则抛物线C的表达式为

y=5x2+1.

【分析】根据抛物线y=5x2+l与抛物线C关于x轴对称，将抛物线解析式中x换

成-x,整理后即可得出结论.

【解答】解：.••抛物线y=5x2+l与抛物线C关于x轴对称，

，抛物线C的解析式为y=5（-x）2+l=5x2+l.

故答案为：y=5x2+l.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是能够熟练的找出已

知函数关于x轴对称的函数解析式.本题属于基础题，难度不大，解决该题

型题目时，根据函数图象的变换找出变换后的函数解析式是关键.

14.（3分）已知点A（an也），点B（a2,b2）在反比例函数厂N■的图象上，

X

且ai<&2<0，那么bi与b2的大小关系是bi<b2.

【分析】由点A、B在反比例函数打2的图象上，可得出山=二1,b2=2,再根

x

据aiV<0可得出二1<心，从而得出bi〈b2.

231a2

【解答】解：•••点A（ai,也），点B（a2,b2）在反比例函数行W的图象上，

ala2

又•・飞1<&°<0,

a2

•一2v-2

ala2

.*.bi<b2.

故答案为：＜.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出口＜

al

本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，借助于反比例函数的

a2

单调性更简便.

15.（3分）“圆材埋壁"是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题."今

有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？"

用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为。0的直径，弦ABXCD,垂足

为E,CE=1寸，AB=1尺，则直径CD长为26寸.

【分析】连接0A,设OA=r,则OE=r-CE=r-1,再根据垂径定理求出AE的长,

在RtAOAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论.

【解答】解：连接0A,设OA=r,则OE=r-CE=r-1,

VAB±CD,AB=1尺，

.-.AE=1AB=5寸，

2

在RtAOAE中，

OA2=AE2+OE2,即「2=52+(r-1)2,

解得r=13（寸）.

.*.CD=2r=26寸.

故答案为：26.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角

形是解答此题的关键.

16.（3分）已知半径为2的。0,圆内接4ABC的边AB=2«,则NC=60。或

120°.

【分析】连接AO并延长交于圆于点D,连接BD.所以NABD=90。，NADB=/ACB,

则$仍/口=旭=©5=因而求得角度.

AD42

【解答】解：如图：连接AO并延长交于圆于点D,连接BD.

AZABD=90°,ZADB=ZACB

则sinND23L返，

AD-42

ND=60°或120°.

故答案为:60°或120°.

【点评】本题考查了正多边形和圆，根据题意画出图形，作出辅助线，利用圆周

角定理求解是解答此题的关键.

三、解答题（本题共13道小题，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第

28题7分，第29题8分，共72分）

17.（5分）计算：tan60。-（兀77）°+|我-2|+4sin30。,

【分析】此题涉及零指数募、特殊角的三角函数值、绝对值的求法，在计算时，

需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即

可.

【角牛合】斛：tan60。-（兀77）°+|我-2|+4sin30"

-1+2-正+4XJ_

2

=1+2

=3

【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握

零指数累、特殊角的三角函数值、绝对值的运算.

18.（5分）如图，点A是一次函数y=2x与反比例函数尸皿（mWO）的图象的交

X

点.过点A作x轴的垂线，垂足为B,且OB=2.求点A的坐标及m的值.

【分析】由过点A作x轴的垂线，垂足为B,且OB=2,可得点A的横坐标为：2,

继而求得点A的坐标，又由点A是一次函数y=2x与反比例函数y：目（mWO）

X

的图象的交点，利用待定系数法即可求得m的值.

【解答】解：•••过点A作x轴的垂线，垂足为B,且OB=2.

点A的横坐标为：2,

.*.y=2X2=4,

.,.点A的坐标为:（2,4）,

:点A是一次函数y=2x与反比例函数厂2（mWO）的图象的交点，

x

...4=皿，

2

解得：m=8.

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题.注意根据题意求得点A

的坐标是关键.

19.（5分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，连结DF并延

长交CB的延长线于E.求证：AD・AB=AF・CE.

'B

E

【分析】根据已知条件很容易就可推出△ECDS^DAF,求出对应边的比例式，

根据CD=AB,进行相关线段的等量代换即可.

【解答】证明：

在口ABCD中，：AB〃DC,

AZCDE=ZBFE=ZAFD,

又：/人=/（：,

/.△ECD^ADAF,

CD-CE；

**AFAD）

又CD=AB,

•.AB_CE,

**AFAD"

；.AD・AB=AF・CE.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关

键是证明AECD和ADAF相似，根据平行四边形的性质找到相等关系，进行等

量代换.

20.（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下

（1）求该二次函数的表达式；

（2）当x=6时，求y的值；

（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象.

【分析】（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2,1）,设抛物线解析式为y=a（x-

2)2+1,利用待定系数法即可解决问题.

(2)把x=6代入(1)中的解析式即可.

(3)利用描点法画出图象即可.

【解答】解：(1)由表格可知抛物线顶点坐标(2,1),设抛物线解析式为y=a

(x-2)2+1,

x=0时，y=5,

.*.5=4a+l,

二.二次函数解析式为y=(x-2)2+1即y=x2-4x+5.

(2)当x=6时，y=(6-2)2+l=17.

(3)函数图象如图所示，

【点评】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是学会利用待定系数法确定

函数解析式，利用表格信息确定抛物线的顶点坐标可以简便运算，学会描点

法画出函数图象，属于中考常考题型.

21.(5分)已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、

D、E都在小正方形的顶点上，求tanNADC的值.

【分析】首先证明...△ACDW^BCE,则根据tanNADC=tan/BEC即可求解.

【解答】解：根据题意可得，AC=BC=V5-CD=CE=V10-AD=BE=5,（3分）

AAACD^ABCE.（4分）

，NADC=NBEC.

AtanZADC=tanZBEC=1.（5分）

3

【点评】本题主要考查了三角函数的定义，注意三角函数值的大小是有角度的大

小确定的，据此即可把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个角的三角

函数值.

22.（5分）德国心理学家艾宾浩斯（H.Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之

后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快，以后逐渐

缓慢.他认为“记忆保持量是时间的函数”，他用无意义音节（由若干音节字

母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作记忆材料，用节省法

计算保持和遗忘的数量.他通过测试，得到了一些数据如下表，然后又根据

这些数据绘出了一条曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如下图.该曲

线对人类记忆认知研究产生了重大影响.

时间间隔记忆保持量

刚记完100%

20分钟后58.2%

1小时后44.2%

8—9小时后35.8%

1天后33.7%

2天后27.8%

6天后25.4%

观察图象及表格，回答下列问题：

（1）2小时后，记忆保持量大约是多少？

（2）说明图中点A的坐标表示的实际意义.

（3）你从记忆遗忘曲线中还能获得什么信息？写出一条即可.

T记忆保持量°。

100卜・厂一•：一一:一・丁"••厂•一：•一・丁・・・：・・・・：・・・・：・・・・：・・••}

80卜・：・・：・・・・多・・4・・・：・・・・：・・・・孑・・・4・・・：・・・・：・・・・孑・・・彳

40•书上•M•r.（K］：•••）•••+・•；?...c....；

:■!r一|・丁・・.j

20•■■■»••••%•«J•••••••••%••••■!■•••«J•••••••••i«••■■■••••»J

o4—‘§’1'2'162624需间

【分析】（1）根据图象即可得到结论；

（2）根据函数图象的纵坐标，可得答案；

（3）根据图象即可得到结论.

【解答】解：（1）由图象知，2小时后，记忆保持量大约是40%；

（2）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐

被一样，德国心理学家德国心理学家艾宾浩斯（HermannEbbinghausHermann

£帅1^1^115,1985-1909）第一个发现了记忆遗忘规律.他根据自己得到的测

试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，

其中纵轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间.图中A点表示的意义2

时的记忆保持量为40%,

故答案为：2时的记忆保持量为40%；

（3）掌握遗忘规律，有助于我们成为学习的管理者.

【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键.

23.（5分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，

以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个.在

此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考

虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.

设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）.

（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；

（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最

大利润为多少？

【分析】（1）设每个面包的利润为（x-5）角.

（2）依题意可知y与x的函数关系式.

（3）把函数关系式用配方法可解出x=10时y有最大值.

【解答】解：（1）每个面包的利润为（x-5）角

卖出的面包个数为[160-（X-7）X20]）（4分）

（2）y=（300-20x）（x-5）=-20x2+400x-1500

即y=-20x2+400x-1500（8分）

（3）y=-20x2+400x-1500=-20（x-10）2+500（10分）

・,.当x=10时，y的最大值为500.

•••当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500

角.（12分）

【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第

二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法.本题难度一般.

24.（5分）如图，小文家的小区有一人工湖，湖的北岸有一条笔直的小路，湖

上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好.小

文站在完好的桥头点A处，测得北岸路边的小树所在位置D点在他的北偏西

30。，向正北方向前进32米到断口B点，又测得D点在他的北偏西45。.请根

据小文的测量数据，计算小桥断裂部分的长.（我比1.73,结果保留整数）

【分析】首先延长AB交小路于C,设BC=x,则在本题中有两个直角三角形，且

有公共边，利用已知角的正切值，构建边之间的方程关系，解答即可.

【解答】解：延长AB交小路于C,设BC=x米，

VZCBD=45°AC±DC

BC=CD=x米,

在RtaDAC中,ZDAC=30°,AC=x+32（米）,

tan30°=―—，

x+32

.*.3x=V3（x+32）

（）心米,

X=2^/3=16y+144

3^/3

【点评】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用.注意构造直角三角形

是解题的前提和关键.

25.(5分)已知：如图，的半径0C垂直弦AB于点H,连接BC,过点A作

弦AE〃BC,过点C作CD〃BA交EA延长线于点D,延长8交AE于点F.

(1)求证：CD为。。的切线；

【分析】(1)根据平行线的性质和垂直的定义推出NDCF=90。，根据切线的判定

即可判断；

(2)根据垂径定理得到AH=BH=3,根据勾股定理求出CH,证△HAF^^HBC,

得出FH=CH=3,CF=6,连接BO,设BO=x,则OC=x,

OH=x-3,由勾股定理得到42+(x-3)2=x2,求出方程的解，就能求出答案.

【解答】(1)证明：VOC±AB,CD〃BA,

AZDCF=ZAHF=90",

/.CD为。O的切线.

(2)解：VOCXAB,AB=8,

.•.AH=BH=_^=4,

2

在RgBCH中，：BH=4,BC=5,

由勾股定理得：CH=3,

：AE〃BC,

AZB=ZHAF,

VZBHC=ZAHF,BH=AH,

.,.△HAF^AHBC,

.•.FH=CH=3,CF=6,

连接BO,设BO=x,则OC=x,OH=x-3.

在RgBHO中，由勾股定理得：42+(x-3)2=x2,

解得x萼，

X6

*

••OFXFOC”，

6

答：OF的长是1k

【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，平行

线的性质，切线的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能灵活运

用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中.

26.（5分）已知：如图，在AABC中，a,b,c分别为NA,ZB,NC的对边，

若2b=a+c,ZB=30°,ZxABC的面积为之,求a?+c2的值.

R

【分析】作辅助线，作ADXBC于点D,在RtAABD中，根据30。角所对的直角

边等于斜边的一半和勾股定理可将AD和BD的长用c表示出来，在RtAACD

中，利用勾股定理和AABC的面积可将a2+c2的值求出.

【解答】解：如图，作ADLBC于D,

VZB=30°,.\AD=-£,BD=^C,

22

DC=a-返c,

2

在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,

•；AC=b=或，

2

・•.（S）2+（a-瓜c）2=（或）2

222

,'.£—+a2-yj~^c+^-c2=—（a2+c2+2ac）①；

444

Aac=6②；

由①②可知，a2+c2=8V3+4.

【点评】本题主要考查勾股定理和30。角所对的直角边等于斜边的一半的应用，

正确运用已知条件是解题的关键.

27.（7分）抛物线y=x2-4与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y

轴的交点为C.

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）将抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t>0）,同时将直线I：y=3x沿y轴

正方向平移t个单位.平移后的直线为I、平移后A、B的对应点分别为/V、

B'.当t为何值时，在直线r上存在点P,使得^ABP是以AB为直角边的等

腰直角三角形？

>'A

6-

5-

4-

3-

2-

1-

-6-5-4-3-2-10123456x

-3

-4

-5

-6

【分析】(1)令y=o,即可求出A、B两点坐标，令x=0,可得点C坐标.

(2)根据平移的性质，可用t表示出直线I，的解析式以及A、B，的坐标；由于抛

物线在向右平移的过程中，开口大小没有变化，因此AB的长度和AB相等，

由此可得到AB的长；若△ABT是以AB为直角边的等腰直角三角形，那么

可有两种情况：①NPAB=90°,此时PA'=A'B'；②NPB'A'=90°,此时PB'=A'B'；

根据PA、PB，的表达式及AB的长，即可求出t的值.

【解答】解：(1)令x=0,y=-4,得点C(0,-4),

令y=0,则X2-4=0,解得X=±2,

.•.点A(-2,0),点B(2,0).

AA(-2,0),B(2,0),C(0,-4).

(2)由题意,可得直线I'的解析式为y=3x+t,A'(t-2,0),B'(t+2,0),A'B'=AB=4

VAA'B'P为以AB为直角边的等腰直角三角形，

...当NPA'BGg。。时，点P的坐标为(t-2,4)或(t-2,-4)

|3(t-2)+t|=4

解得t=5或t=l,

22

当NPB'A'=90。时，点P的坐标为(t+2,4)或(t+2,-4)

|3(t+2)+t|=4

解得t=-3或t=-l■(不合题意，舍去)

22

综上所述，1=3或1=2.

【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到根的判别式、勾股定理、二次函数解

析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，需注意的是在等腰直角

三角形的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解.

28.（7分）已知：如图，AB为。。的直径，G为AB上一点，过G作弦CE，AB,

在前上取一点D,分别作直线CD、ED,交直线AB于点F、M,分别连结0E,

CO,CM.

（1）若G为0A的中点.

①NCOA=60。,ZFDM=120°；

②求证：FD・OM=DM・CO.

（2）如图，若G为半径0B上任意一点（不与点0、B重合），过G作弦CEXAB,

点D在前上，仍作直线CD、ED,分别交直线AB于点F、M,分别连结0E,

CO,CM.

①依题意补全图形；

②此时仍有FD・OM=DM・CO成立.请写出证明FD・OM=DM・CO的思路.（不写出

证明过程）

【分析】（1）①由于CGLOA,根据垂径定理可得出，弧CA=MAE,那么根据圆

周角定理可得出NCDE=NCOA,在RtACOG中，可根据0G是半径的一半得

出NAOC是60°,那么就能得出NFDM=180°-ZCDE=120°；②由直径AB^CE,

根据垂径定理得出AB垂直平分CE,由线段垂直平分线的性质得到MC=ME,

则NCMA=NEMA,NFMD=NCMA,然后根据相似三角形的想尽快得到结论；

（2）①根据题意作出图形即可；②可按（1）的方法得出NDMF=NCMO,关键

是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出

弧AC=MAE,那么NAOC=NEDC,根据等角的余角相等即可得出NC0M=N

FDM,由此可证出两三角形相似.

【解答】解：（1）①..•OA、0C都是。。的半径，且G为0A的中点,

.•.在R/XOCG中,cosZCOG=l,

2

AZCOG=60°,即NCOA=60°；

,•*AC=AE=-^CE-

2

AZEDC=ZCOA=60°,

AZEDF=120°,即NFDM=120°；

故答案为：60,120；

②：直径ABLCE,

...AB平分CE,即AB垂直平分CE,

，MC=ME,

NCMA=NEMA,

又•.,NFMD=NEMA,

NFMD=NCMA,

VZFDM=ZCOM=120°,

DF_DM；

**OC=OM，

.,.FD»OM=DM«CO；

(2)①如图所示；

②结论仍成立.

VZEDC的度数」祕的度数=宜的度数=NCOA的度数,

2

AZFDM=1800-ZCOA=ZCOM,

VAB为直径，

ACE±AB,

在RtACGM和RtAEGM中，

'GM=GN

"ZCGM=ZGM

CG=EG

ARtACGM^RtAEGM(SAS)

，NGMC=NGME,

VZFMD=ZEMG,

，NFMD=NCMG,

.,.△FDM^ACOM,

DFDM；

.,.FD»OM=DM«CO.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形和相似三角形的判

定及性质等知识点，根据垂径定理得出角相等是解题的关键.

29.(8分)一般地，在Rt^ABC中，ZC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比

叫做NA的正弦，记作"sinA",即5［出=/瑛、》边・类似的，我们定义：在等

斜边

腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对.如图1,在^ABC中，AB=AC,

顶角A的正对记作sadA,即sadA=曾受.根据上述角的正对定义，完成

腰AB

下列问题：

(1)sad6O°=1；

(2)已知：如图2,在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=2,试求sadA的值；

5

(3)已知：如图3,在平面直角坐标系xOy中，A(0,2),B(虫内，0),点C

为线段AB上一点(不与点B重合)，且A