新教材人教A版高中数学选择性必修第一册课时练习-用空量研究距离、夹角问题

课时练习（八）

（建议用时：40分钟）

［4组基础巩固练］

一、选择题

1.如图，在正四棱柱ABCD-AICbDi中，AAi=2AB,则异面直线AbB与ADi

所成角的余弦值为（）

B

1234

A.§B.§c5D.5

D［以。为坐标原点，DA,DC,DDi所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间

直角坐标系D-盯z(图略)，设A3=l.

则8(1,1,0),4(1,0,2),A(1,0,0),D(0,0,2),A^B=(0,1,~2),ADi=(~1,0,2),

4

.,.异面直线Ai3与A£h所成角的余弦值为亍］

2.在空间直角坐标系中有长方体A3CD-4BCLDI,AB=1,BC=2,AAi=3,

则点3到直线4c的距离为（）

B［过点3作3E垂直AC,垂足为E,设点E的坐标为(x,y,z),则Ai(0,0,3),

B(1,0,0),C(1,2,0),启=(1,2,-3),A^E=(x,y,z—3),BE=(x-l,y,z).

DJC,

AB

\AiE//AiC

因为j_，

[BE-A?C=Q

任=卫=士

所以J12-3

lx—l+2y—3z=0

解得vy=y,所以靛=(一,,y,勺,

所以点3到直线4C的距离I盛产斗5]

3.已知长方体ABCD-ALBCLDI中，AD=AAi=l,AB=3,E为线段AB上一

点，且AE=14B,则DQ与平面DiEC所成角的正弦值为()

AE

MHR量「近

•3573

A[以。为原点，DA,DC,防1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建

立空间直角坐标系(图略)，则C(0,3,0),£(1,1,0),£)i(0,0,1),Ci(0,3,l),£)(0,0,0),DCi

=(0,3,1),ZXE=(1,1,-1),求=(0,3,-1),设平面DEC的法向量为n=(x,y,

IDiE-n=Q,

z),贝q_可得平面DLEC的一个法向量为"=(2,1,3),

C〃=0,

所以DCi与平面D1EC所成角的正弦值为

_6_3A/35

sin8=cos(DCi,n)一9*®—35J

\n\-\DCi\

4.如图所示，在长方体A3CD-431GD1中，AD=AAi=l,AB=2,点E是

棱A3的中点，则点E到平面ACDi的距离为（）

1

-

2

A.

C1

-

3

C［以。为坐标原点，以D4,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直

角坐标系，如图所示：

则4(1,0,1),01(0,0,1),£(1,1,0),A(l,0,0),C(0,2,0)

:石为A3的中点，

：.DiE=(l,l,-1),AC=(-1,2,0),ADi=(~l,0,l)

设平面ACDi的法向量为〃=(a,b,c),

n-AC=O-a+2b=Q

即4

叫ln-A_Di=O[—6/+c=0

a=2b

可得《

1<7=C

可取”=(2,1,2)

.♦.点E到面ACDi的距离为公端叽2；2』

5.如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且以，平面ABCD,

必=AD=AC,点R为PC的中点，则二面角C-3RD的正切值为（）

C

A立B近

A・64

C近D”

J3D.3

D[如图所示，设AC与BD交于点0,连接OF.以。为坐标原点，OB,0C,

QF所在直线分别为1，y,z轴建立空间直角坐标系。-孙z.

设出=AD=AC=1,则小，所以。（0,0,0）,3母，0,oj,《0,0,

C（0,I，0）,元=（0,I，oj,易知元为平面BDF的一个法向量，由诙=

[-坐,0）,丽=惇，0,一",可得平面BCR的一个法向量为”=（1,小，

l一\[21一2s一2s

y]3）.所以cos〈〃，0C）=7，sin〈〃，0C）=7,所以tan（n,OC）=3.

故二面角C-BF-D的正切值为手.］

二、填空题

6.若直线/的方向向量a=(—2,3,1),平面a的一个法向量"=(4,0,1),则直

线I与平面a所成角的正弦值为.

噜［由题意，得直线,与平面a所成角的正弦值为慌舟而=

叵

34」

7.在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为At+3y+Cz+D=0(A,

B,C,DGR,且A,3,C不同时为零)，点P(xo,yo,20)到平面a的距离d=

|Axo+By。+Czo+£>|

,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心。到侧面

y/A2+B2+C2

的距离等于

苧［作出正四棱锥P-A'B'C'D',如图,

以底面中心0为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz,则(1,1,0),B'(~

1,1,0),P(0,0,2),设平面必®的方程为Ax+3y+Cz+D=0,将以上3个坐标代入

计算得A=0,B=~D,C=所以平面RV夕的方程为一.一5%+。=0,

|2Xp+012|2小

即2y+z-2=0,所以点0到侧面的距离d=卷+Q=5•1

8.如图，已知E,R分别是棱长为1的正方体ABCD-AbBCiDi的棱3C,CCi

的中点，则截面AEFDx与底面ABCD的夹角的正弦值为

方-［以。为坐标原点，以D4,DC,DDi所在直线分别为x轴,轴，z轴

建立空间直角坐标系，如图所示.

则A(1,O,O),心0)，Di(0,0,D,

.*.ADi=(—1,0,1),AE=(一/1,0

设平面AERDi的一■个法向量为〃=(x,y,z),

-x+z=0,

n-ADi=0,

则j_••x=2,y=z.

ln-AE=0,-]+y=0,

取y=l,则”=(2,1,2).

又平面A3CD的一个法向量为w=(0,0,1),

•/\2■■/\或1

..cos\n,u)=§,..sin\n,u)=3」

三'解答题

9.如图，直四棱柱ABCD-ALBICLDI的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=

60°,E,M,N分别是3C,BBi,4。的中点.

(1)证明：MN〃平面CLDE；

(2)求面AMAi与面MAiN的夹角的正弦值.

［解］(1)连接BC,ME.因为E分别为BBi,3c的中点，所以ME〃BiC,

且AfE=；3iC.又因为N为A\D的中点，所以ND=1ALD.

由题设知A\B\aDC,可得BiC=^AiD,故MEaND,因此四边形MNDE为

平行四边形，MN〃ED.又MNQ平面EDCi,所以MN//平面CiDE.

(2)由已知可得DE,DA以。为坐标原点，D4的方向为x轴正方向，DE为y

轴正方向，DDi为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则

42,0,0),4(2,0,4),Ml,小,2),Ml,0,2),AiA=(0,0,—4),AiM=(­l,

小，-2),Q=(—1,0,-2),加=(0,一小，0).

设TM=(X,y,z)为平面的法向量，贝U

―>

mAiM=0,

―►

m-AiA=Q.

—x-\-y[3y-2z=0,f-

所以1可取根=(馅，1,0).

「4z=0.

设〃=(/?,q,r)为平面AiMN的法向量，则

\n-MN=Q,

[“.AiN=0.

一小q=0,

所以《可取”=(2,0,-1).

—p—2r=0.

于是cos〈》i,n)=।"：：，=c:—,所以面AMAi与面MAiN的夹角的

\m\\n\2X455

pn、/*-/.VlO

正弦值为^^一.

10.如图，四棱锥P-A3CD中，必，底面A3CD,AB〃CD,AD=CD=1,ZBAD

=120°,ZACB=9Q°.

⑴求证：5C,平面以C；

⑵若二面角D-PC-A的余弦值为生，求点A到平面PBC的距离.

［解］(1)证明：•.•孙，底面A3CD,3CU平面ABC。，：.PALBC,

'：ZACB=90°,：.BC±AC,又R4AAC=A,

.•.3C，平面PAC.

(2)设AP=/z,取CD的中点E,贝UAELCD,.•.AELAA又以，底面A3CD,

：.PA±AE,PALAB,故建立如图所示的空间直角坐标系,则4(0,0,0),P(0,0,h),

吟2>4

底=［乎,i-“，诙=(。，1，。),

设平面PD。的法向量“1=(x1,yi,zi),

ni-PC=0,

则

m-DC=0,

S1

方■冗i+»i—/zzi=0,

即

Ji=0,

取Xl=/l,

n\=\h,0,

-1,oj,

由（1）知平面R1C的一个法向量为3C=

|cos(m,BC)|=

/I2+|X^35，

解得〃=小，

同理可求得平面P3C的一个法向量“2=（3,事,2）,

所以，点A到平面P3C的距离为

f\AP-n2\2^/3^3

d~\m\-4-2，

［B组素养提升练］

11.（多选题）如图，ABCD-AIiCiDi为正方体，下面结论正确的是（）

A.3。〃平面CB\D\

B.ACi±BD

C.AC平面CBDi

D.异面直线AD与CBi所成的角为60。

ABC［以D为坐标原点，分别以D4,DC,DDi所在方向为x,y,z轴的正

半轴，建立空间直角坐标系（图略），设正方体棱长为1,则可以证明AC」面CBiDi,

...AC可以作为面CBLDI的法向量，；.C正确.（-1,-1,0）,ACi=（-

1,1,1),：.BDACi=l-l=O,

3。〃面CBLDI即AB正确.又,.•AD=(-1,0,0),CBi=(l,0,l),

一fADCB\\l2

Acos(AD,CBi〉=_==一勺,・••的＞与C3i所成的角为45。,

\AD\\CBi\

.•.D错，故应选ABC.]

12.如图所示，在正四棱柱A3CD-A山1CD1中，A4i=2,AB=BC=1,动点P,

Q分别在线段QD,AC上，则线段PQ长度的最小值是()

\JC

2

3专

C[建立如图所示的空间直角坐标系，贝UA(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),

Cl(0,1,2).设点P的坐标为(0,k,2k),CW[0,1],点Q的坐标为(1一〃,〃，0),附0,1],

_C,

\PQ\=^(l-//)2+C«-A)2+4A2

2/z2+5A2—2A/z—2//+1

=错误！，

当且仅当X=1,〃奇时，

2

线段PQ的长度取得最小值，为

13.(一题两空)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD

且尸。=AD=1,AB=2,点E是线段A3上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为

:时，AE=,这时，点。到面PEC的距离为

I—A~-►-►

2一季普[设AE=a(0WoW2),以点。为坐标原点，DA,DC,DP的方向

分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系。-盯z(图略)，贝U。(0,0,0),EQ,

a,0),C(0,2,0),尸(0,0,1),则无=(1,a,-1),丘=(0,2,-1),设平面PEC的法

m±PEx+ay-z=0

向量为m=(x,y,z),贝Uj_,即'令y=l,可得x=2—a,

[2y~z=Q

Lm±PC

z=2,则加=(2—a,l,2),易知平面DEC的一个法向量为防=(0,0,1),贝力cos〈孙

-21—,—I-

DP)|='q—4+5=4"，解得。=2一也或2+小(舍去)，所以AE=2-y]3.

这时，平面PEC的法向量可以取(小，1,2),又因。尸=(0,0,1)..•.点。到平面PEC

的距离为公师=击著」

\m\2^2X12

14.在空间中，已知平面a过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),

如果平面a与平面xOy的夹角为45。，贝Ua=.

12

-y[平面xOy的法向量为〃=(OQ1),设平面a的法向量为〃=(%,y,z),

—3x+4j7=O,

则1

、―3x+az=0,

即3x=4y=az,

,(aa

取z=l,则"=|j,不1

又：。>。，.*.a=-y.]

［C组思维提升练］

15.如图，在三棱台DEFA3C中，AB=2DE,G,“分别为AC,3c的中点.

(1)求证：平面RGH；

(2)若CfU平面ABC,ABLBC,CF=DE,NA4c=45。，求平面RGH与平面

ACED所成的角(锐角)的大小.

［解］(1)法一：连接GD,CD,设C£>nGb=O,连接。H.

在三棱台DER-ABC中，