统计计算 课后习题答案 第二章习题答案

第二章2.11x03455，n=10000~1之间的随机数。x0n1000，下面进行迭代。5534870mod1000，870/10000.870；x255870850mod1000，850/10000.850；55850750mod1000，750/10000.750；x455750250mod1000，250/10000.250；55250750mod1000，750/10000.750；x55750250mod1000r250/10000.2502。6 62、使用平方取中法给出由2563生成随机数序列的前4个数。解：5263的位数为m=4，平方后为6568969，不够8位，左边补零，2m位数是06568969，中间4位数是5689，5689就是由1234得到的随机数。5689的平方为32364721，正好8位，左边不需要补零，中间4位数是3647，3647就是由5689得到的随机数。3647的平方为13300609，正好8位，左边不需要补零，中间4位数是3006，3006就是由3647得到的随机数。3006平方为9036036，不够8位，左边补零，为09036036，中间4位数是0360，360就是由3006得到的随机数。4个随机数为5689,3647,3006,360。3x0a91，c4，n13150-1之间的随机数。解：x011，a91,c4,n131，下面进行迭代。91114100588mod131，88/1310.672；x291884801221mod131，21/1310.160；91214191581mod131，81/1310.618；x491814737539mod131，39/1310.298；x591394355316mod131，r516/1310.122。4、n=5时，求有限域的所有的本原元素及非零元素的阶。解：243442232个本原元素。习题2.21f(x1n

1xn

,0x1

的随机数的抽样公式。解：XBeta(1,1)，其分布函数为n

F(x)

x111xn0n

1dxxn,0x1，1x<010x1F(x)XnXYnYXBeta(1,1)XYn。n2、使用逆变换法给出生成密度函数为f(x)nxn1,0x1的随机数的抽样公式。解：XBeta(n,1)F(xxnxn1dxxn,0x1，01x<010x1F(x)XnXYn1YXBeta(n,1)XYn。3、使用逆变换法给出生成密度函数为f(x)2x,0x1的随机数的抽样公式。解：随机变量X的密度函数为f(x)2x,0x1，即Beta(2，1)分布，其分布函F(xx2xdxx2,0x1。因此YF(xX2X0

Y。当Y服从（0，1）上的均匀分布，则Xf(x2x,0x1

。因此抽样公式可取为X Y。4、f(x2(1x0x1的随机数的抽样公式。解：随机变量X的密度函数为f(x)2(1x),0x1，即Beta(1，2)分布，其分布函数为

F(x)x2(1x)dx1(1x)2,0x10

。因此0x1时，YF(x)1(1X)2,X1

1YYX的密f(x)2(1x0x1

X1

1Y。5、使用逆变换法给出生成密度函数为f(x)

2 ,0x1的随机数的抽样公1x2解：随机变量X的密度函数为f(x)

2 ,0x1，其分布函数为1x2F(x)x 2 dx2arcsinx0x1x<0时，F(x)=0x11x21x201x2因此0x1时，YF(x)2arcsinxXsinyY（0，1）上的均匀分 2布则X的密度函数为f(x)2 ,0x1因此抽样公式可取为Xsiny。11x26、f(x式。

1(1x2)

2,xR的随机数的抽样公解：随机变量X的密度函数为f(x)

1(1x2)

,xR

，其分布函数为xF(x) 1 dx1arctanx1xR。因此x1x2) 2YF(x1arctanx1Xtan(YYX 2 2的密度函数为f(x)1 ,xR(1x2)

。因此抽样公式可取为Xtan(Y)。27f(x)cosx0x的随机数的抽样公式。2解：随机变量X的密度函数为f(x)cosx,0x2

，其分布函数为F(x)xcosxdxsinx0x0xF(x)sinxXarcsiny。0 2 2当Y服从（0，1）上的均匀分布，则X的密度函数为f(x)cosx,0x 。因2此抽样公式可取为Xarcsiny。8、使用逆变换法给出生成密度函数为f(x)

2x/m,0xm

的随机数的抽样公式。

2(1x)/(1m),mx1Xf(x)

2x/m,0xm

，即三角分布，其

2(1x)/(1m),mx1x02 x2xdxx,0xmF(x

0m m 。2m2xdxx21xdx11x)

,mx10m

m1m1,

1mx1YF(x)

2x,0xmxm2

,X

Y0Ym

Y（0，1(1x)

,mx1

1

(1m)(1Y),mY1 1m1）上的均匀分布，则X服从三角分布。9、使用舍选法生成密度函数为f(x)20x(1x)3,0x1的随机数。解：使用求导数的方法，可求出密度函数的最大值为M=f(1)135。4 64伪代码为：While(Y小于等于f(x)=20x(1-x)3)1 2{UUU1 2XU,Y135U1Z=X}

64 2即可求出Z。平均迭代轮数为135/64。10、使用舍选法生成密度函数为 1 1

的随机数。3p(x)3

()2

x2ex,x0f(x)

1e2

x/2,x

0，

h(x)

1x2e

x

0，0

h(x)1，

1 1 2 4L( f(x)h(x)dx)1(

exx2dx)1

>1。3 023

()2计算过程中用到伽玛函数x1exdx)。0当U1UX2lnU1f(x)1/2的指数分布。xWhile(Y大于 xe2)1 2{UU(0,1),UU(0,1),1 2X2lnU1,YU2，if Y小于等于跳出}

xxe2，Z=X即可求出Z，效率为1 。L 411、使用舍选法生成密度函数为p(x)1xexe5,x5的随机数。6f(x1ex/2x5，2

h(x)

xx e2,x2

5，0h(x)1，当x5 1e dxe ，因此f(x)1e e ,x5， x/2 5/2 5/2x/2时，52 2L(f(xh(x)dx)1(xe5/2exdx)12e5/2>1。 54 3因为YF(xx1e5/2ex/2dx1e(5x)/2x552ln(1Y1-Y服52X52lnY当U1UX52lnU1f(x。While(Y大于

xxe2)21 2{UU(0,1),UU(0,1),1 2X52lnU1,YU2，if Y小于等于跳出}

xxe2，2Z=X即可求出Z。效率为131。L 2e5/212Zp(z1ezzR2随机数。f(x1ex，x0,f(x1exx0p(x1exxRf(x和1 2 2 2 2 1f2(xy<0.5时，Xln1(xy0.5(01)2Xln(1f2(xX。伪代码如下：R1U(0,1)yR1{ify<0.5:R2U(0,1)Xln2R2else:R3U(0,1)3Xln(12R)}3Z=X即可求出Z。习题2.31、取值为有限个的离散型分布的随机数离散型随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6，对应的概率分别为0.03,0.07,0.02,0.08,0.5,0.3，由该分布生成100个随机数。XP{XP{X0.07,P{X0.02,P{X4}0.08,P{X5}0.5,P{X6}0.3，分布函数为0, x1F(x)P{Xk},k2,,m

0.03,1x20.1,2x3，即F(x)0.12,3x40.2,4x50.7,5x6x6由定理3知，F(k1)YF(k)，此时X取值X取值如下：Y0.032,0.03Y0.13,0.1Y0.12X4,0.12Y0.25,0.2Y0.76,0.7Y10.07，0.03，0.02，相应的X的取值顺序也改为5，6，4，2，1，3。此时分布函数F的取值也相应的改为0，0.5，0.8，0.88，0.95，0.98，1。取Y为服从U（0，1）的随机数，由定理3知，F(k1)YF(k)，此时X取值如下：Y0.56,0.5Y0.84,0.8Y0.88X2,0.88Y0.951,0.95Y0.983,0.98Y1（2）实验步骤：未改进的算法：1）按照概率，计算分布函数F的值；2）生成服从U(0,1)的随机数Y；3）判断F(i1)YF(i)是否成立，如果成立的话，X=X[i-1]。改进后的算法：1）pX的取值也按照概率排序；2）按照排序后的概率，计算分布函数F的值；3）生成服从U(0,1)的随机数Y；4）判断F(i1)YF(i)是否成立，如果成立的话，X=X[i-1]。(3)输出结果：1）未改进的输出结果：产生的取值为有限个值的离散型分布随机数为:[5,2,5,4,5,5,2,5,4,6,5,6,5,5,5,5,5,6,5,5,6,2,6,6,5,6,1,6,3,6,5,6,2,5,4,6,5,6,5,2,6,5,5,5,6,5,3,5,5,6,5,5,6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,4,5,5,1,6,6,5,6,2,5,6,6,3,6,5,5,5,5,5,5,5,6,1,5,6,5,1,4,5,6,5,5,5,6,4]2）改进后的输出结果：产生的取值为有限个值的离散型分布随机数为:[5,6,5,6,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,5,5,5,5,1,5,6,4,5,5,5,6,4,6,5,1,6,4,6,6,5,6,4,5,5,6,5,5,6,5,5,2,6,5,6,6,6,5,2,4,2,5,6,2,2,6,6,6,1,5,2,5,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,2,6,6,5,6,5,4,4,6,5,3,5,5,6,5,5,5,6,5,4]2、随机排列（不放回）对自然排列1，2，……，m进行随机排列。（1）原理在1，2，……，m随机选择一个数，记为k1，将其和m进行对换；再从1，2，……，m-1随机选择一个数，记为k2，将其和倒数第2个数进行对换，依次进行下去可得到1，2，……，m的一个随机排列。（2）实验步骤1）将1，2，……，m放入列表z中。2）k=，生成服从区间(0,mysy1，此时s1msk1hx中。xsmmk1。3k=-1y，sy1s1到m-1sk2hx中。x存储zsm-1m-1个数值为本次取到的k2。x1，2，……，m的一个随机排列。5）如果要取多个随机排列，可设参数n表示取的随机排列个数，多次取随机排列即可。（3）输出结果为：产生的随机排列为[1,6,4,3,10,8,7,2,9,5]如果只想取r个，可以把k的范围限定为k>m-r即可。3、有放回的随机排列对自然排列1，2，……，m进行r次有放回的随机排列。（1）原理随机选择k21，2，……，m的一个随机排列。（2）实验步骤1）将1，2，……，m放入列表z中。2）生成服从区间(0,)ysy1，此时实现s1msk1hx中。x存储取出的数。3rx12M中有放回的取r个的随机排列。（3）输出结果：产生的随机排列为[8,9,9,10,2,5]4、生成服从负二项分布的随机数有一系列独立试验，事件A成功的概率都是p，事件A第r次成功的试验次数kXP(YmCrpr(1p)kr(krr1（帕斯卡分布XNb(r,pk（1）原理mm若1,,mp的几何分布且相互独立，那么Yi服从负二项i1m分布。所以要生成服从负二项分布的随机数，可以先生成相互独立的随机数m1,,nGpXiX服从负二项分布。i1（2）实验步骤1）生成服从U(0,1)的随机数Y；2）令X

lnY

，则可以得到服从几何分布的随机数X。 ln(1p) 3）再将X累加，即可得到负二项分布。（3）输出结果：产生服从负二项分布的随机数：[26,30,21,24,20,26,27,34,36,30,28,38,27,28,23,31,30,37,31,22,41,32,29,28,27,30,27,24,41,19,20,29,37,25,35,22,23,22,31,32,28,31,32,30,33,46,41,37,39,29,40,21,35,23,35,35,17,35,33,24,31,22,27,21,34,23,32,30,22,28,29,34,22,35,25,38,22,28,27,24,26,26,33,24,31,25,40,24,28,41,33,36,34,29,32,22,21,34,14,27]（4）Python原有库代码：importnumpyprint(numpy.random.negative_binomial(12,0.4,100))习题2.51、服从F分布的随机数的生成XY2(m2(n

ZX/m为F(m,n)Y/n（1）实验步骤：1）X2(mY2(n。2）令ZX/m，由此得到服从参数为m和n的F分布的随机数。Y/n（2）输出结果：Python原有库代码：importnumpyprint(numpy.random.f(13,21,10))2t分布的随机数的生成XY2(mt（1）实验步骤：1)生成两个均匀分布U(0，1)的U1和U2。

XY/m

为t(m)分布。2)利用U1和U2生成相互独立的服从标准正态分布的随机数X和卡方分布的随机数Y。3)t

XY/m

，可得到t分布的随机数。（2）输出结果（3）Python原有库代码：importnumpyasnpprint(np.random.standard_t(13,10))3、服从对数正态分布的随机数的生成X~N(,2，则YeX的密度函数为Yf(y)Y

1 (lny)22ye 22y0

y0y0Y服从对数正态分布，记为Y~LN(,2。实验步骤：1)生成两个均匀分布U(0，1)的U1和U2。2)利用U1和U2生成服从标准正态分布的随机数Y。3）由XeY，生成服从对数正态分布的随机数。4、服从柯西分布的随机数的生成Xf(x

1(1x2)

,x(,)，其分F(x1arctanx1 2（1）逆变换法随机变量X的密度函数为f(x

1(1x2)

,xR

，其分布函数为xF(x) 1 dx1arctanx1xR。因此x1x2) 2YF(x1arctanx1Xtan(YYX 2 2f(x实验步骤：

1(1x2)

,xR

。因此抽样公式可取为Xtan(Y)。2（1）生成YU(0,1)；（2）由抽样公式Xtan(Y)，得到服从分布为柯西分布的随机数。2输出结果：Python原有库代码：importnumpyasnpprint(np.random.standard_cauchy(10))（2）其他变换实验步骤：（1）生成独立的服从标准正态分布的随机数X1,X2。（2）X

X1，服从柯西分布的随机数。X25、使用逆变换法生成密度函数为

f(x)

111xnn

,0x1

的随机数。随机变量X服从Beta(

1,1)F(xx1

1xn

1dxxn,0x1，n 0n1当x<0时，F(x)=0，x1时，F(x)=1。因此0x1时，YF(x)Xn,XYn。当YXBeta(1,1)XYn。n6、使用逆变换法生成密度函数为f(x)2x,0x1的随机数。Y解随机变量X的密度函数为f(x)2x,0x1即Beta(2，1)分布其分布函数为F(x)x2xdxx2,0x1。因此0x1时，YF(x)X2,X 。Y0Y服从（0，1）Xf(x)2x,0x1

。因此抽样公式可取为X Y。7、使用逆变换法生成密度函数为f(x)2(1x),0x1的随机数。解：随机变量X的密度函数为f(x)2(1x),0x1，即Beta(1，2)分布，X1

1Y

F(x)x2(1x)dx1(1x)2,0x1。因此0x101Y时，YF(x)1(1X)2,X1Y

。当Y服从（0，1）上的均匀分布，则Xf(x)2(1x0x1

。因此抽样公式可取为。1x28、1x2

2 ,0x1的随机数。1x2解：随机变量X1x2

2 ,0x1，其分布函数为F(x)x 2 dx2arcsinx0x1x<0时，F(x)=0x1时，F(x)=1。1x201x21 y因此0x1YF(x)XnXsin

。当Y服从（0，1）上的均匀分布，2则X的密度函数为f(x)2 ,0x1。因此抽样公式可取为Xsiny。1x1x29、使用逆变换法生成密度函数为f(x)cosx,0x的随机数。2解：随机变量X的密度函数为f(x)cosx,0x2

，其分布函数为F(x)xcosxdxsinx0x0xF(x)sinxXarcsiny。0 2 2当Y服从（0，1）上的均匀分布，则X的密度函数为f(x)cosx,0x 。因2此抽样公式可取为Xarcsiny。10f(x)

2x/m,0xm

的随机数，此m=0.6。

2(1x)/(1m),mx1解：随机变量X的密度函数为f(x)

2x/m,0xm

，其分布函数为2(1x)/(1m),mx1

x02 x2xdxx,0xmF(x)

0m m 。2m2xdxx21xdx11x)

,mx10m

m1m1,

1mx1YF(x)

2x,0xmxm2

,X

Y0Ym

。当Y服从（0，1(1x)

,mx1

1

(1m)(1Y),mY1 1m1）上的均匀分布，则X服从三角分布。取m=0.6，则X1

0.Y0Y0.6(0.4(1Y),0.6Y111、使用舍选法生成密度函数为f(x)20x(1x)3,0x1的随机数。解：While(Y小于等于p(x)=20x(1-x)3)1 2{UU(0,1),UU(0,1),1 2XU,Y135U1Z=X}

64 2即可求出Z。12、使用舍选法生成密度函数为

1 1

的随机数。解：While(Y大于

xxe2)

f(x)

3