四川省绵阳市东塔镇中学高三数学理上学期摸底试题含解析

四川省绵阳市东塔镇中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正四面体A-BCD中，P为AD的中点，则过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成60°的平面共有（注：若二面角的大小为120°，则平面与平面所成的角也为60°）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：D2.已知命题“”，命题

“”，若命题为真命题，则实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.若集合M=，N=，那么为（

）A.(－∞,3]

B.[3,+∞)

C.(0,3]

D.[0,3]参考答案：C4.函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的解析式求得f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．5.已知向量a，b不共线，设向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（A）10

（B）2（C）－2

（D）－10参考答案：B略6.函数，则的自变量的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】分式，绝对值不等式的解法E3

E2D解析：或或或或故选D．【思路点拨】对于分段函数，分清楚每个条件对应下的解析式，再按条件求解即可.7.已知，那么=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知及诱导公式可求sinα=，利用诱导公式化简所求后即可得解．【解答】解：∵，可得：sinα=，∴=sinα=．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.若0≤x≤2，则f(x)=的最大值()A．

B．

C．

D．2参考答案：B略9.已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10..若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则(

)A．64 B．32 C．16 D．8参考答案：A

略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.参考答案：2试题分析：，则，所以，，故答案为2．12.设等差数列{an}的前项和为，若，则________，________.参考答案：－4

－20【分析】根据等差中项的性质可得，利用等差数列的前项和公式及等差中项的性质可得的值．【详解】解：依题意，；．故答案为：，．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了等差数列的前项和，主要考查了推理能力和计算能力，属于基础题．13.为了做一项调查,在、、、四个单位回收的问卷数依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本,若在单位抽取20份问卷,则在单位抽取的问卷份数是

.

参考答案：40略14.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则__________，__________．参考答案：；由题知，，，且，∴．15.若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_____________.参考答案：2

本题主要考查了三角形的解法以及正弦定理，属容易题因为，又a=2,有一个角是的等腰三角形是正三角形，所以AB=216.已知，则的最小值为

．参考答案：-1∵又∵∴，当且仅当，即时取等号∴最小值为-1故答案为-1点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中等题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17.抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件A∪B的概率P（A∪B）=．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．专题：概率与统计．分析：由题意分别可得P（A），P（B），P（AB），而P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），代入计算可得．解答：解：由题意抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数共6种可能，其中为偶数的有2，4，6三种可能，故P（A）=，向上的点数大于2且小于或等于5有3，4，5三种可能，故P（B）=，而积事件AB只有4一种可能，故P（AB）=，故P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==故答案为：点评：本题考查古典概型的求解，涉及概率的基本性质和全概率公式，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设数列满足：，，．（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，.求的通项公式，并证明：．参考答案：（1）因为，又，所以，因此是首项为1，公比为3的等比数列，

……………2分所以，.

……………6分（2）设等差数列的公差为，依题意，

所以，即，故.

……………8分由此得，.…………10分所以，

……………12分.因此所证不等式成立.

……………14分19.如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（1，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）联立?x2﹣kx+k=0，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，可得k的范围，利用，求出k，即可求AB所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，∴p=，∴抛物线E：y=x2，…（3分）∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，∴圆M的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；…（6分）（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）联立?x2﹣kx+k=0…（8分）又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，则即，而k2﹣4k＞0，故.（其中d表示圆心M到直线AB的距离）=…（12分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直线方程为：即．…（15分）【点评】本题考查抛物线E及圆M的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．20.（本小题满分13分）已知点（）满足，，且点的坐标为.（Ⅰ）求经过点，的直线的方程；（Ⅱ）已知点（）在，两点确定的直线上，求证：数列是等差数列；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有，

能使不等式成立的最大实数的值.参考答案：（1）∵，∴.所以.

…1分∴过点，的直线的方程为.

…2分（2）∵在直线上，所以.所以.

……3分由，得.即.∴.所以是公差为2的等差数列.

…5分（3）由（2）得.∴.∴.

…7分∴.

…8分依题意恒成立.设，∴只需求满足的的最小值.

…9分∵==，∴（）为增函数.

……11分∴.∴.所以.

……13分21.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________．参考答案：1

略22.（本题满分16分）对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；（2）若双曲线的方程为，过点且与的伴随曲线相切的直线交曲线于、两点，求的面积（为坐标原点）（3）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程.参考答案：（1）∵，

………1分由，得，即可得

………3分∴的渐近线方程为

………4分（2）双曲线的伴随曲线的方程为，设直线的方程为，由与圆相切知

即

解得

……………