平面向量的实际背景及其基本概念教案 人教课标版

§平面向量的实际背景及其基本概念

教学目的：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念

掌握向量的加法和减法

掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件

.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可

以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件

教学重点：运用共线向量和平面向量的基本定理，掌握平面向量的数量积及其几

何意义，

教学难点：与三角函数、数列、不等式、解几等的结合

教学过程：

一'知识梳理

向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用口瓦亍……来表示，或用有向线段的

起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB,a；坐标表示法

a-xi+yj-（x,y）向量的大小即向量的模（长度），记作即向量的大小，记

作IaI

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

②零向量：长度为的向量，记为0,其方向是任意的，。与任意向量平行零向量

«=O<=>\a\=由于0的方向是任意的，且规定。平行于任何向量，故在有关

向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有"非零向量"这个条件.（注意与的

区别）

③单位向量：模为个单位长度的向量

向量4,为单位向量oI诙I=

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以

移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作日〃B由于向量可以

进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量

也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选

取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要

理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为

五=在大小相等，方向相同（X1，M）=（%2，%）O**%

〔％=>2

向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设AB=a,6C=匕，则2AA3+3CAC

()0+«=a+6=a；()向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

()用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已

知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指

向被减向量

()三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个

向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减

向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，

用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

AB+BC+CD++PQ+Q?=4?,但这时必须“首尾相连”.

向量的减法

①相反向量：与不长度相等、方向相反的向量，叫做G的相反向量

记作-心零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有：()-(-«)«；()«(-a)(-a)«6；

0若。、B是互为相反向量，则5-彼5-3万

②向量减法：向量A加上B的相反向量叫做。与B的差，

记作：3=力+(-5)求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：可以表示为从行的终点指向G的终点的向量(。、5有共同起

点)

实数与向量的积：

①实数人与向量"的积是一个向量，记作人心它的长度与方向规定如下：

(I)|丽=冈.同；

(II)当2>()时，入2的方向与A的方向相同；当2<0时，入2的方向与G

的方向相反；当2=0时，Aa=0,方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

两个向量共线定理：

向量B与非零向量。共线o有且只有一个实数力，使得B面

平面向量的基本定理：

如果不潺2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量心

有且只有一对实数4,4使：5=44+4瓦其中不共线的向量召,当叫做表示这一

平面内所有向量的一组基底

注意：

（）向量的加法与减法是互逆运算

（）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件

（）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行

则包括共线（重合）的情况

（）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其

相对位置有关

两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为。，则\a\-\b|0

叫做a与〃的数量积（或内积）规定0・a=0

向量的投影:称为向量b在。方向上的投影投影的绝对值称为

射影

数量积的几何意义：等于〃的长度与〃在。方向上的投影的乘积

向量的模与平方的关系：a-a=a2=\a^

乘法公式成立：

（0+/?）・（。一/?）=。2_/72=|可2_1|；

（a±Z?）-a2±2a-b+b2=|a|"±2tz-/?+|/?|

平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：a-b^ba

②对实数的结合律成立：（⑼2=2（。力）=〃•（劝R）

③分配律成立：^a+b^-c-a-c±h-c-c-^a+b^

特别注意：（）结合律不成立：a・仅•<?）声（“•8）•（?；

。消去律不成立。为不能得到。=<>

（）a-b不能得到a0或〃0

两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量a=（X，y）,Z?=（%,必），则a，。%|X2+y,y2

向量的夹角：己知两个非零向量a与。，作04。，。88，则/。（0°〈”18（f）

叫做向量。与人的夹角

a，bXjX+yy

0cos<a,b>=2{2

M+y：力才+才

当且仅当两个非零向量a与同方向时，。，当且仅当a与/?反方向时。，同时0

与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

垂直：如果。与人的夹角为则称。与。垂直，记作a_L8

两个非零向量垂直的充要条件：

.3==须々+%％=0平面向量数量积的性质

二、典型例题

例：给出下列命题：

①若a=b,则ab；

②若，，，是不共线的四点，则A3=DC是四边形为平行四边形的充要条件;

③若ab,bc,则ac,

④ab的充要条件是ab且ab；

⑤若ab,bc,则ac,

其中正确的序号是

解：①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.VAB=DC,|钻|=|。。|且48〃。。，

又，，，是不共线的四点，四边形为平行四边形；反之，若四边形为平行

四边形，则，AB〃DC且|AB|=|OC|,

因此，AB=DC.

③正确.:ab,，八力的长度相等且方向相同；

又b=c,：.b,c的长度相等且方向相同，

a,c的长度相等且方向相同，故a=c.

④不正确.当"且方向相反时，即使ab,也不能得到ab,故a〃且ab不是ab

的充要条件，而是必要不充分条件.

⑤不正确.考虑匕0这种特殊情况.

综上所述，正确命题的序号是②③.

点评：本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为

此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的

模型进行类比和联想.

例：如图所示，已知正六边形，是它的中心，若BA“，BCb,试用“，b将向

量OE,BF,BD,FO表示出来.

解：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量％8来表示

其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.

解：因为六边形是正六边形，所以它的中心及顶点，，四点构成平行四边形，

所以84+BC=8A+AO=3O,

所以8。。+/?,所以。E8。46,

由于，，，四点也构成平行四边形，

所以BFBO+OFBOBAabaab,

同样在平行四边形中，BD=BC+CD=BC+BO=h+(a+b)=a+b,FD=

BC-BA=b—a

点评：其实在以，，，，，及七点中，任两点为起点和终点，均可用。，6表

示，且可用规定其中任两个向量为。，b,另外任取两点为起点和终点，也可用n,

b表示.

例：设、、、、是平面上的任意五点，试化简：

®AB+BC+CD,®DB+AC+BD®-OA-OC+OB-CO

解：①原式(AB+BC)+8=AC+8=AD

②原式(DB+BD)+AC=O+AC=AC

③原式(。3-04)+(-OC-CO)=AB-(OC+CO)=AB+0=AB

例：设x为未知向量，a、〃为已知向量，解方程x-(ax-8

解：原力程可化为：(x—x)(―a54)(b—b)

例：设非零向量。、〃不共线，cab,dab(e),若＜:〃(/,试求

解：•.,，〃[

，由向量共线的充要条件得：cXd(Xe)

即ab\(ab).\(-X)a(-X)b0

又•••〃、b不共线

二由平面向量的基本定理'=0nZ=±l

[1-U=O

例：如图：已知在平行四边形中，，设"a,ADb,试用。、力分别表示AM、

4

MH、AF

•••〃••&//T.

22A*^-~tO-^D

...四边形也是平行四边形，...

333—1I

又BM=-BC=-AD=-a,而尸8=——BC=一一b

44444

31

：.AM=AB+BMa-b,MH=FA=FB+BA一一b-a

44

AF=-FA=-(--b-a)-ba

44

例：求证：起点相同的三个非零向量a,b,“一人的终点在同一条直线上.

证明：设起点为，0A=a,OBb,OC=a—b,

则AC=OC—T),AB^OB-OAb-a,AC^-2AB,

共线且有公共点，因此，，，三点共线，

即向量。，b,。一〃的终点在同一直线上.

点评：⑴利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：

①证明向量平行；②说明两个向量有公共点；

⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：

①证明向量平行；②说明两向量无公共点.

例：在△中，AB(,),AC(,),且△的一个内角为直角，求值

3

解：当。时,ABAC,AXXA--

2

当。时，ABBC,BCAC-AB(--)(--)

...X㈠X㈠Ay

当。时，ACBC,(-)3士屈

2

例：已知不=(,),B=(,),求的值使b)±a,且|商BI

分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想

解：由日=(,),b=(,),有&B()

又(日5)±a<=>(a)•&=0O()()

即=0①

又|万B\<^>\ab|'=1

O(3)?+(4)2=1

整理得2+2=1即()2=1②

由①②有2=1③

将①变形代入③可得：±5

'2424

X=---X------

再代回①得：35和35

归纳小结：

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的

运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面

向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂

直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合

起来进行综合考查，是知识的交汇点

§平面向量的坐标运算

教学目的：.了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形

式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平

行的条件；

掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可

以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件

教学重点：平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念

教学难点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌

握向量垂直的条件学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题

教学过程：

一、知识梳理

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向

量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量。可表示成

a=xi+切，由于a与数对()是----对应的，因此把0叫做向量a的坐标，记作a(),

其中叫作“在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标

0相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量

0向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与

其相对位置有关

平面向量的坐标运算：

(1)若a=(x，y),。=(%，%)，则。±8=(占±々，y|±%)

(2)若A(F，y),8(X2，y2)，则筋=(七一百,%-乂)

(3)若a(),则2

(4)若a=(x],yj,b=(孙％)，则-々y=。

⑸若a=(X],yJ,Z?=(工2，%)，则a包=可/+%.%

若a_L/?,则X]•々+M•%=0

向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的

坐标表示和性质

运几何方法坐标方法运算性质

算

类

型

向

平行四边形法则

量。+方=(&+$,>+)。

三角形法则a+h=b+a

的

加(5+^)+c=5+(S+c)

法

AB+BC=AC

向三角形法则

量a-b^-^y-y^)a—b-a+(—b)

的

减AB=-BA

法

OB-OA^AB

向然是一个向量，

Aa=(/U,Ay)%(必)=(%)2

量满足：

的

/I＞时，而与。同

乘(A+/Li)a=A5+)

向；

法

4〈时，酒与G异

4(2+方)=劭+萩

向；

九时，河0a//boa=Ab

向

a»b是一个数a^b=x}x2+)\y25•h=b•a

里

的

方=6或6=6时,(海)•方二行•(篇)=2(G・B)

数

量

a^b=•工

积

2

。工0且各工0时，a=|5匕团|=出行

a^b=}a^b\cos<a,b>\a»b\^a\\b\

二'典型例题

例:已知向量。=(1,2),8=(工,1),〃=4+%,v=2a-b,且〃〃丫,求实数%的值

解：因为4=(1,2),/2=(工,1),〃=4+2/?,v=2a—b

所以〃=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3)

又因为M〃丫

所以3(2x+l)—4(2—x)=0,即10x=5

解得x

2

例:平面内给定三个向量〃=(3,2)/=(-l,2),c=(4,l),回答下列问题：

()求满足。=成?+〃。的实数；

()若(a+Zc)//(2b-4),求实数；

()若d满足(d-c)〃—，且卜-c卜石，求d

解：()由题意得(3,2)="-1,2)+“(4,1)

(一利+4〃=3/w=-

所以,得9

2m+〃=2o

inM=—

()a+kc=(3+4%,2+A),2Z?—〃=(-5,2)

.•.2*(3+4女)-(-5、2+&)=0,；乂=-3

()d-c=(x-4,y-l),a+人=(2,4)

4(x-4)-2(y-l)=0

由题意得

g4)2+(y-l)2=5

X=3或，x=5

得

』=T)=3

例:已知±=(i,o)石=(2,1).()求|。+3加；()当*为何实数时，ka-B与a+3b

平行，平行时它们是同向还是反向？

解：()因为商=(L0)石=(2,1).

所以。+3匕=(7,3)

则|a+3b|==屈

()ka-b=(A:-2,-1),a+3b=(7,3)

因为人之一6与方+3日平行

所以3伏_2)+7=0即得k=_；

_7

此时女a-b=(%—2,-1)=(——,-1),a+3b=(7,3)

则a+36=-3(ka-b),即此时向量M+3B与版-8方向相反

例:已知点44,0),8(4,4),。(2,6),试用向量方法求直线4。和。5(。为坐标原点)交

点P的坐标

解:设P(x,y),则OP=(x,y),AP=(x—4,y)

因为P是AC与。8的交点

所以P在直线AC上，也在直线上

即得。尸〃03,AP〃AC

由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC=(-2,6),OB=(4,4)

得方程组*D+2)'=°

4x-4y=0

解之得■

1y=3

故直线AC与OB的交点户的坐标为(3,3)

例:已知点0(0,0),A(l,2),3(4,5)及OP=f•AB,试问：

()当f为何值时,P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？

()四边形Q4BP是否能成为平行四边形?若能,则求出，的值若不能，说明理由

解：()OP=OA+tAB=(l+3t,2+3t),则P(l+3t,2+3f)

若P在x轴上，则2+3，=0,所以/=二；

若P在y轴上，则l+3x=t,所以，

若「在第三象限，则l+3x<0，所以x<-5?

2+3x<03

()因为Q4=(l,2),心=(3-3r,3_3r)

若OABP是平行四边形，则=

(3-3/=1

所以此方程组无解；

3-3/=2

故四边形。ABP不可能是平行四边形

例：已知A4BC中，()，()，0边上的高为，求4。

解：设0

则AO=(x-2,y+l),8O=(x-3,y-2),8C=(—4-3)

•:AD±BC,BD±BC

_6（彳_2）_3。+1）=0得卜=1

-3（x-3）+6（y-2）=0y=1

所以AD=（-1,2）

例：如图，设抛物线(>)的焦点为经过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物

线的准线上，且〃轴，证明直线经过原点

解法一:设00(B),则法一)

22

则FA=(X|-^,丫]),FB=(x2-py2),OA=(x],yl),OC=(-^,y2)

>）

,/FA与FB共线

⑶-1）（x2

即----?_=----（*）

Yiy2

代入(*)式整理得，•

y；

-22

因为上」=0_=上，=工="

(_P)(_P)-p-yMy2

.•.GN与6?是共线向量，即、、三点共线,

也就是说直线经过原点

解法二：设()，(-P),()

2

欲证、、共线，只需且仅需1<办=1<8,即江="

X|_p

2

又

2p

•••只需且仅需，用韦达定理易证明

点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段(直线)平行，三点共

线(多点共线)问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运

算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了

例：已知向量a=(x,y)与n=(y,2y-x)的对应关系用u=/(”)表示

(1)证明：对于任意向量及常数，恒有

f(ma+nh~)-rnf\a)+nf(h)成立；

(2)设a=(1,1)1=(1,0),求向量/(a)及/())的坐标；

求使/(c)=(P，q)，(，为常数)的向量c的坐标

解：()设。=(q,4),1=(4也),则

ma+nb—(“74+nb1,ma,+nb->'),故

f(ma+nb)={ma-,+曲，2/m,+2必-maA-nbj

-m(a22a2—q)+n(b2,2Z?2一仿)，

/.f(ma+nb)=mf\d)+nf(b)

()由已知得/(a)(,),/(/?)(,一)

()设c(,),则/(c)=(y,2y-x)=(p,q),

,一,即c(—>)

例：平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点()，(),若点满足OC=aQ4+尸。3,

其中且a+月=1,则点的轨迹方程为()

A(x-l)2+(y-l)2=5及3x+2y—11=0

C2x—y=0Dx+2y—5=0

解法一:设C（x,y）,则OC=（x,y）,OA=（3』）,OB=（T,3）

由OC=aOA+J3OB得（尤,>1）-（3a,«）+（-尸,3尸）=（3a-]3,a+3/3）

x=3a-0

于是vy=a+31

a+/?=1

先消去夕，由P=]—a得|x=4a—l

y=3-2a

再消去cz得x+2y-5=0所以选取

解法二：由平面向量共线定理，

当OC=aOA+0OB,。+尸=1时，、、共线

因此，点的轨迹为直线，由两点式直线方程得x+2y-5=0即选

归纳小结：

熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算

两个向量平行的坐标表示

运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合

§平面向量的应用举例

教学目的：（）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念（）

掌握向量的加法和减法

。掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件

（）了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐

标运算

0掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理

有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件

（）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能

熟练运用掌握平移公式

教学重点：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念掌握平

面向量的数量积及其几何意义.

教学难点：运用向量解决实际问题.

教学过程：

一、知识梳理

向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的

坐标表示和性质

运几何方法坐标方法运算性质

算

类

型

向平行四边形法则

a+bEWi+y?)a+b=b+a

量三角形法则

的

(a+b)+c=a+(b+c)

加

法

AB+BC=AC

向三角形法则

旦。-力=(%-孙卜切a—b-a+(—b)

里

的

AB=-BA

减

法

OB-OA=AB

向然是一个向量,

量Aa=(Ax,Ay)M曲)=(四)五

满足：

的

2〉时，而与万同

乘(A+=贬+［万

法向；

九〈时，而与，异

Z(a+b)=Aa+Ab

向；

2时，Aa6a//boa=2b

向

a^b是一个数^•b=xx+yy^•b=b•a

量l2l2

的

2=0或6=6时,(4)・5=2・(加=破而

数

旦

里

a*b伍+很)•工=2•工+B

积

a#0且分声。时，a2=\a\2,\a\=^x2+y2

港E=|5||E|COS<2,G>\a»b\^a\\b\

重要定理、公式：

()平面向量基本定理：不，&是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个

平面内任一向量，有且仅有一对实数4,4，使G=4曷+办&

()两个向量平行的充要条件：a//b<n>a=Ab<r>xty2-x2yt=0

()两个向量垂直的充要条件：aA-b<r>a•b=<=>xtx2+y{y2=0

()线段的定比分点公式：设点分有向线段所成的比为人即片P=4P£,

则。尸(线段的定比分点的向量公式)

■1+，(线段定比分点的坐标公式)

♦+仪

1+2-

当4=时，得中点公式：

X.+X,

1x=—

OP=一(禽+。上)或《/

2

I2-

()平移公式:设点尸(x,y)按向量M=(〃,女)平移后得到点P'(x',y),则0P=。尸a

Y'—y+/?

或，’，曲线)，=/*)按向量M=平移后所得的曲线的函数解析式

y=y+k.

为：y-k=f(x-h)

两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与〃，它们的夹角为。，则“必lal-l/?I0

其中I8I称为向量匕在a方向上的投影

1«1

向量的夹角：己知两个非零向量a与。，作04。，。88，则(0°〈”18(f)

叫做向量。与。的夹角

8cos<a,b>="31…产

H*H括+/温+4

二、典型例题

例:已知a、匕是两个非零向量，当ab(G)的模取最小值时，

()求的值；

()求证：b±(ab)

分析：利用(ab)进行转换，可讨论有关的最小值问题，若能计

算得力•(«/?),则证得了b±(«/?)

。解：设“与的夹角为0,则

ab(ab)aba•(/?)

ababOb(0)a0,

\b\

所以当一⑷〃一回也1警一警时，“b有最小值

SI16121612

()证明：因为8•Cab')b•(“一巴士•h)a•h-a,h,所以〃_L

|6|2

（«±Z?）

点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的

坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便

对4〃的变形，有两种基本的思考方法：一是通过4b进行向量的

数量积运算；二是设。、8的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者

可尝试用后一方法解答本题

例：已知平面向量。=（6,-1）为=（g,等）.若存在不同时为零的实数和，使

x=a+(r-3)b^y=-kci+tb,^xl,y.

（）试求函数关系式（）

（）求使（）＞的的取值范围

解：()=0.艮P[(a+产-3)〃卜(一履+也)=0.

a-b—0,6f2=4,/?2=1,.*.—4攵+，(产—3)=0,即Z=—t(t2—3).

4

（）由（）＞,得一3）＞o,即o.

4

则一6＜/＜0或，＞G

例：将函数一进行平移，使得到的图形与函数一一的图象的两个交点关于原点对

称（如图）求平移向量及平移后的函数解析式

解法一：设平移公式为

代入y=—》2,得到

y=y-k

yf—k=-(xf—TO?.即y=—x2+2hx-h2+k,

把它与y=Y-x-2联立,

Iy=-x2+2hx-h2+k

得〈，

y=_x_2

设图形的交点为（，），（，）,

由已知它们关于原点对称，

即有[…2

5=一%

由方程组消去得：2%2_（1+2h）x-2+h2+k^O

由X]+%=]+；卜且项+x2=0得〃=一;.

又将（王,必），（看,必）分别代入①②两式并相加，

彳寸：+丫2=—+x£+2/?不—x?—h~+k—2.

0—（%2—X]）（12+斗）一（玉+X，）---卜k—2

4

919

解得々=—.a=（--,—）

424

平移公式为：「=”+!代入y=—/得：y=-x2-x+2

解法二：由题意和平移后的图形与y=/一%—2交点关于原点对称，可知该图形

上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可

y=F—x—2的顶点为它关于原点的对称点为（-措《），即是新图形

的顶点由于新图形由y=-一平移得到，所以平移向量为

1199

h=----0=—,k=0=—以下同解法一

2244

§解斜三角形

教学目的：会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，

确定解三角形的方法；

搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、

方位角等；

熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；

通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力

教学重点：利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

教学难点：运用所学知识解决实际问题的能力

教学过程：

一、知识梳理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的

直径

即，—=上=_二=2/?（其中表示三角形的外接圆半径）

sinAsinBsinC

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（）已知两角和任一

边，求其他两边和一角；（）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从

而进一步求出其他的边和角）

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角

的余弦的积的两倍

a2+c2_/

第一形式，b~a1+c2-2accosB,第二形式,

2ac

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：()已知三边，求三

个角；()已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

三角形的面积：△的面积用表示，外接圆半径用表示，内切圆半径用表示，半周

长用表示则

®5=—a-h=­•-；②S=L"csinA=…；

22

®S=2R2sinAsinBsinC；@S=—；

47?

⑤S=1p(p-a)(p-b)(p-c)；®S=pr(其中p=)

三角形内切圆的半径：“焉‘特别地，Q空尸

三角学中的射影定理：在4中，h=a-cosC+c-cosA,•••

两内角与其正弦值：在a中，A<BsinA<sinB,…

三内角与三角函数值的关系：在^中

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC

,A+BCA+B.CA+BC

sin-------=cos—cos=sin—tan-------=cot—

222222

tanA+tanB+tanC=tanAtanB-tanC

解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大

边对大角定理及几何作图来帮助理解”

二'典型例题

例：在△中，已知内行°,求及边.

tzsinBy/3-sin45°百

解：由正弦定理得:

bV2一

因为。<°且

所以有两解。或。

()当。时。()°,

bsinC_V2-sin750_V6+V2

sinBsin4502

0当。时。。°,

bsinC_V2-sinl5°_76-V2

sin3-sin45°一~T~

思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意

解的情况的讨论.

例：△的三个内角、、的对边分别是、、，如果()，求证：

分析析：研究三角形问题一般有两种思路一是边化角，二是角化边

证明：用正弦定理，，，，代入()中，得

2A()=^2A-

1-cos2A_1-cos2Sz、

n，(-2A)()

2

n()(一)(),

因为、、为三角形的三内角，所以()W

所以(一)

所以只能有一，即

点评：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三

角公式变换求解

例:已知锐角△中，()(-)-

55

()求证：；

()设，求边上的高

分析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，以。为铺垫，解决

()证明：•••()3,(一)L

55

sinAcos8+cosAsinB=—

5

sinAcos3—cosAsinB=一

5

,八2

sinAxcosn=—

5ntanA

一tanB

cosAsinnn=—1

5

()解：巴VVJi,・•・()3

25

即tanA+tan3_3

1一tanAtanB4

将代入上式整理得一一,

解得寺&（负值舍去）

2

得笥心

/.V6

设边上的高为,则CDCD3CC

tanAtanB2+^6

由得6,所以边上的高为而

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计

算能力

例:在△中，、、分别是N、/、N的对边长，已知、、成等比数列，且一一，求N

的大小及更i股的值

C

分析：因给出的是、、之间的等量关系，要求N,需找/与三边的关系，故

可用余弦定理由可变形为更，再用正弦定理可求㈣叱的值

cC

解法一：•・・、、成等比数列，・・・

又---，.•.一

在△中，由余弦定理得

b2+c2-a2be1./。

2bc2bc2

在△中，由正弦定理得更时，

a

V,Z°,

.bsinBb2sin60°V3

・・-------=-----------o—

cac2

解法二：在△中，

由面积公式得

22

••*，£/—o，••

.bsinBV3

c2

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间

的关系常用正弦定理

例：设函数/（工）=。力，其中向量。=（2以）5%』）,方=（85儿7^亩2工）

xeR（1）若。一百且£［一巳，求；

33

（2）若函数的图象按向量，=（,〃,〃）（＜］）平移后得到函数。的图象，求实

数、的值

解：（1）依题设可知，函数的解析式为

f(x)=a=V3(—)

6

由(工)一百，可得三角方程

6

(与-亘

62

♦.乃vv兀♦乃^5%.兀兀日口生

33266634

(2)函数的图象按向量c=(〃?,〃)平移后得到函数(一)的图象，即函数〃的图

象

由⑴得。嗫)

点评本小题是年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函

数的恒等变换及