高考数学文一轮复习学案第十一章统计与概率

第十一章统计与概率第一节抽样方法、用样本估计总体本节主要包括2个知识点：1.抽样方法与统计图表；2.样本的数字特征.突破点(一)抽样方法与统计图表基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．简单随机抽样(1)定义：一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n＜N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)最常用的方法：抽签法和随机数表法．2．系统抽样将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样．3．分层抽样一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．4．三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样均为不放回抽样，且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样元素个数很多且均衡的总体抽样分层抽样将总体分成几层，分层按比例进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成5.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．6．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．7．茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”抽样方法类型(一)简单随机抽样1．抽签法的步骤第一步，将总体中的N个个体编号；第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；第三步，将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出．2．随机数表法的步骤第一步，将个体编号；第二步，在随机数表中任选一个数开始；第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．[例1](1)以下抽样方法中是简单随机抽样的序号是________．①在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖；②某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格；③某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见；④用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验．(2)总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481[解析](1)①②不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；③不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；④是简单随机抽样．(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.[答案](1)④(2)01类型(二)系统抽样系统抽样的步骤[例2](1)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．(2)湖南卫视为了解观众对《我是歌手》的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．[解析](1)由系统抽样定义可知，所分组距为eq\f(840,42)＝20，每组抽取一人，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含eq\f(500,50)＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.[答案](1)12(2)210[易错提醒]用系统抽样法抽取样本，当eq\f(N,n)不为整数时，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．类型(三)分层抽样进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)eq\f(样本容量n,总体的个数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．[例3](1)(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．(2)(2018·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________.(3)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．[解析](1)应从丙种型号的产品中抽取60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝18(件)．(2)依题意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.(3)由题意知eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,45＋15＋30＋10＋a＋20)，解得a＝30.[答案](1)18(2)90(3)30[方法技巧]分层抽样的解题策略(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．(4)抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本数量,各层个体数量).频率分布直方图和茎叶图类型(一)频率分布直方图[例4](1)(2018·扬州市考前调研)随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为________．(2)某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000人中抽出100人做询访，则(30,35](百元)月工资收入段应抽出________人．[解析](1)由图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3000＝900.(2)月工资收入落在(30,35](百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出100×0.15＝15(人)．[答案](1)900(2)15[方法技巧]1．绘制频率分布直方图时需注意的两点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；(2)频率分布直方图的纵坐标是eq\f(频率,组距)，而不是频率．2．与频率分布直方图计算有关的两个关系式(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率；(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．类型(二)茎叶图1．茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．2．茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．[例5]某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下．品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[解](1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．[方法技巧]茎叶图问题的求解策略(1)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表问题时，要充分对这个图表提供的样本数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图数据求出样本数据的数字特征，进一步估计总体情况．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一·类型一])某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1,2,3，…，100；②001,002，…，100；③00,01,02，…，99；④01,02,03，…，100.其中正确的序号是________．解析：根据随机数法编号可知，①④编号位数不统一．答案：②③2.eq\a\vs4\al([考点一·类型三])(2018·南京市高三年级学情调研)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为________．解析：400×eq\f(40,150＋150＋400＋300)＝16.答案：163.eq\a\vs4\al([考点一·类型三])甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________．解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为eq\f(3,5＋3)×4800＝1800(件)．答案：18004.eq\a\vs4\al([考点一·类型二])为了了解本班学生对网络游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取时的分段间隔是6.即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：575.eq\a\vs4\al([考点二·类型二])在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．解析：35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在20÷5＝4个小组中，每组取1人，共取4人．答案：46.eq\a\vs4\al([考点二·类型一])某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于________．解析：依题意，0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018.答案：0.018突破点(二)样本的数字特征基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．众数、中位数、平均数数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低2.标准差、方差(1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(2)方差：标准差的平方s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是样本平均数．(3)方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．3．平均数、方差公式的推广若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差为m2s2.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”样本的数字特征1.用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，需先计算数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)，分析稳定情况．2．若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性比较方差(标准差)的大小．考法(一)与频率分布直方图交汇命题[例1]某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解](1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．[方法技巧]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二)与茎叶图交汇命题[例2](1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别是________．(2)(2017·南京三模)如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．[解析](1)甲组数据的中位数为17,故y＝7，乙组数据的平均数为eq\f(3×10＋20＋9＋6＋6＋x＋9,5)＝17.4，解得x＝7.(2)由茎叶图知，得分较为稳定的那名运动员应该是乙，他在五场比赛中得分分别为8,9,10,13,15，所以他的平均得分为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(8＋9＋10＋13＋15)＝11，其方差为s2＝eq\f(1,5)×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.[答案](1)7,7(2)6.8[易错提醒]在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．样本数据与优化决策[例3]甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数eq\x\to(x)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．[解析]由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，所以最佳人选是丙．[答案]丙[方法技巧]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一·考法二])如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________．解析：依题意，所剩数据的平均数是80＋eq\f(1,5)×(4×3＋6＋7)＝85，所剩数据的方差是eq\f(1,5)×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.答案：85,1.62.eq\a\vs4\al([考点二])甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)＞seq\o\al(2,甲)，故甲更稳定．答案：甲3.eq\a\vs4\al([考点一·考法一])我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．4.eq\a\vs4\al([考点一·考法二])某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．解：(1)由题可知，这20名工人年龄的众数是30，极差是40－19＝21.(2)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(3)这20名工人年龄的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，∴这20名工人年龄的方差为s2＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(20))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(112＋6×22＋7×12＋5×02＋102,20)＝eq\f(252,20)＝12.6.[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是___________________________．解析：在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．答案：分层抽样法，简单随机抽样法2．(2018·江苏省淮安市高三期中)某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取________名血型为AB的学生．解析：在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为eq\f(60,500)＝eq\f(3,25)，所以血型为AB的学生应抽取的人数为50×eq\f(3,25)＝6.答案：63．(2018·常州模拟)某地区有高中学校10所，初中学校30所，小学学校60所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________所．解析：抽样比为eq\f(20,10＋30＋60)＝20%，所以应抽取初中学校30×20%＝6所．答案：64．(2018·徐州市高三年级期中)已知一组数据：87，x,90,89,93的平均数为90，则该组数据的方差为________．解析：由题意eq\f(1,5)(87＋x＋90＋89＋93)＝90，得到x＝91，所以方差s2＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2017·苏州暑假测试)已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d＝________.解析：因为{an}为等差数列，所以a1，a2，a3，a4，a5的均值为a3，所以方差为eq\f(1,5)[(－2d)2＋(－d)2＋0＋d2＋(2d)2]＝2d2＝8，解得d＝±2.答案：±22．(2018·南通模拟)如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋92)＝90；eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(87＋89＋90＋91＋93)＝90.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝eq\f(1,5)(4＋1＋4＋1)＝2；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(87－90)2]＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(1,5)(9＋1＋1＋9)＝4.答案：23．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为________．解析：由题意得，年龄在[20,25)的网民出现的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的网民出现的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又[30,45]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.6÷3＝0.2.答案：0.24．(2018·南通中学高三月考)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为________．解析：这个月生产的轿车共有100＋300＋150＋450＋z＋600＝1600＋z(辆)，A类轿车400辆，所以eq\f(400,1600＋z)＝eq\f(10,50)，得z＝400.答案：4005．(2018·盐城模拟)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的标准差为________．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，eq\x\to(x)′＝eq\f(2,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，s2＝eq\f(1,5)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)－5(eq\x\to(x))2]＝2，s＝eq\r(2)，s′2＝eq\f(1,5)[(2x1)2＋(2x2)2＋(2x3)2＋(2x4)2＋(2x5)2－5(2eq\x\to(x))2]＝4s2，所以s′＝2s＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)6．(2018·连云港模拟)如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分．复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．解析：分类计算，(1)当x＝1时，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(89＋91＋91＋92＋92)＝91;(2)当x＝2时eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(89＋91＋92＋92＋92)＝91.2，不合题意，所以x＝1.答案：17．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的eq\f(1,4)，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．解析：由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝1，所以x＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：328．某公司300名员工2017年年终奖金情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年终奖金在1.4～1.6万元的共有________人．解析：由频率分布直方图知年终奖金低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年终奖金在1.4～1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年终奖金在1.4～1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72.答案：729．高一(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法抽取一个容量为4的样本．已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．解析：由题意得各组间距为eq\f(52,4)＝13，因为在第一组中抽取的是6，所以以下各组依次应该抽取：6＋13＝19,6＋2×13＝32,6＋3×13＝45，即另一个编号为19.答案：1910．(2018·泰州质检)甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：选手第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.04＋0.01＋0.01＋0.04)＝0.02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244.因为seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成绩最稳定，其方差为0.02.答案：0.02二、解答题11．(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq\f(1,2)＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.12．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以选B款订餐软件．第二节概率本节主要包括3个知识点：1.随机事件的频率与概率；2.古典概型与几何概型；3.互斥事件与对立事件.突破点(一)随机事件的频率与概率基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．事件的分类2．频率和概率(1)若在相同的条件下，随机事件A在n次试验中发生了m次，则称eq\f(m,n)为事件A发生的频率；当试验的次数n很大时，事件A发生的频率eq\f(m,n)可以作为随机事件A的概率的近似值．(2)对于给定的随机事件A，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数称为事件A的概率，记作P(A).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”随机事件的频率与概率事件A发生的频率eq\f(m,n)是利用频数m除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率．[典例](2018·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2016年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放金额50100150200(1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．[解](1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3≤x＜0.50.5≤x＜0.60.6≤x＜0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为：eq\f(50×400＋100×300＋150×280＋200×20,1000)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，由(1)有P(y＝150)＝P(0.6≤x＜0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．2．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计概率，可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，故甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，故乙应选择L2.突破点(二)古典概型与几何概型基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．基本事件在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．基本事件的特点：(1)任何两个基本事件都是不可能同时发生的；(2)每个基本事件的发生都是等可能的．2．古典概型具有以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的．3．古典概型的概率公式如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是eq\f(1,n)，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，则事件A发生的概率为：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)＝eq\f(m,n).4．几何概型的定义设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．5．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．6．几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(d的测度,D的测度).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”古典概型古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，解决问题的一般步骤如下：第一步，阅读题目，判断试验是否为古典概型，若满足有限性和等可能性，则进行下一步．第二步，在理解题意的基础上，若基本事件的个数较少，可用列举法、列表法或树状图法将基本事件一一列出，求出基本事件的总数n，并在这些基本事件中找出题目要求的事件所包含的基本事件的个数m.第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率．[例1](1)(2017·苏北三市三模)现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________.(2)(2018·苏州高三暑假测试)有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7.现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的概率是________．[解析](1)把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”，“中”“梦”“国”，“国”“中”“梦”，“国”“梦”“中”，“梦”“中”“国”，“梦”“国”“中”，共计6种，能组成“中国梦”的只有1种，概率为eq\f(1,6).(2)从长度分别为2,3,4,5,7的五条线段中任取三条，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,4,5)，(3,4,7)，(3,5,7)，(4,5,7)共10个基本事件，记“这三条线段可以构成三角形”为事件A，则事件A包含了(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，(3,5,7)，(4,5,7)共5个基本事件，所以这三条线段可以构成三角形的概率是eq\f(1,2).[答案](1)eq\f(1,6)(2)eq\f(1,2)[方法技巧]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．几何概型[例2](1)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20cm2的概率为________．(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．(3)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．(4)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点[解析](1)设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).(2)过点C作CN交AB于点N，使AN＝AC，如图所示．显然当射线CM处在∠ACN内时，AM＜AC.又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率为P＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).(3)因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0，))B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).(4)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－eq\f(\f(2,3)π,8)＝1－eq\f(π,12).[答案](1)eq\f(2,3)(2)eq\f(3,4)(3)eq\f(1,4)(4)1－eq\f(π,12)[方法技巧]1．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．如本例中的第(2)题极易求错．3．与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．4．与体积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213,312)等．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．解析：由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个；由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421，共6个；由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431，共6个；由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,423,432，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．故这个三位数为“凹数”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2.eq\a\vs4\al([考点一])将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)3.eq\a\vs4\al([考点二])(2017·江苏高考)记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)4.eq\a\vs4\al([考点二])如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A­A1BD内的概率为________．解析：设事件M为“动点在三棱锥A­A1BD内”，则P(M)＝eq\f(V三棱锥A­A1BD,V长方体ABCD­A1B1C1D1)＝eq\f(V三棱锥A1­ABD,V长方体ABCD­A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·S△ABD,V长方体ABCD­A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5.eq\a\vs4\al([考点二])在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为________．解析：要使该函数无零点，只需a2－4b2＜0，即(a＋2b)(a－2b)＜0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b＞0，∴a－2b＜0.作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，,a－2b＜0))的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝eq\f(1－\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)突破点(三)互斥事件与对立事件基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．概率的基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.不可能事件的概率：P(A)＝0.2．互斥事件和对立事件事件定义概率公式互斥事件不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件如果事件A、B互斥且至少有一个发生，记作A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)对立事件如果两个互斥事件必有一个发生，称这两个事件为对立事件；事件A的对立事件记为eq\x\to(A)P(eq\x\to(A))＝1－P(A)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”事件关系的判断[例1](1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是________(填序号)．(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的________条件．[解析](1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A与事件B是对立事件，则A＋B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1，充分性成立．设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要条件．[答案](1)③(2)充分不必要[方法技巧]事件间的关系的判断方法(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．(3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝Ω(Ω为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．互斥事件、对立事件的概率[例2]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分别为eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).[方法技巧]求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件．其中真命题的序号是________．解析：对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①是假命题；对②，对立事件首先是互斥事件，故②是真命题；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③是假命题；对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④是真命题．答案：②④2.eq\a\vs4\al([考点二])从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．解析：“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，则所求概率P＝1－P(A)＝0.35.答案：0.353.eq\a\vs4\al([考点二])口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．解析：由题可知，摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.答案：0.324.eq\a\vs4\al([考点二])围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)5.eq\a\vs4\al([考点二])某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).则P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(2018·南京市高三年级学情调研)记函数f(x)＝eq\r(4－3x－x2)的定义域为D.若在区间[－5,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为________．解析：D＝{x|4－3x－x2≥0}＝[－4,1]，所以P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则 红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．解析：从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的情况有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的情况有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)3．(2018·苏州市考前模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数x，coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为________．解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，即x∈[－1,1]时，要使coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之间，需使－eq\f(π,2)≤eq\f(πx,2)≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤eq\f(πx,2)≤eq\f(π,2)，∴－1≤x≤－eq\f(2,3)或eq\f(2,3)≤x≤1，区间长度为eq\f(2,3)，由几何概型知coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为eq\f(\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq\f(1,15).答案：eq\f(1,15)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的概率为________．解析：数据落在[10,40)的概率为eq\f(2＋3＋4,20)＝eq\f(9,20)＝0.45.答案：0.452．(2018·镇江模拟)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a解析：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))3．(2018·盐城模拟)甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2