高斯小学奥数五年级上册含答案-质数与合数

第三讲质数与合数

什么是质数？

每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本

身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：623-824222,

122634223……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数.而像2,3,

7这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数•如果说得形象一点，质数就是拆不

开”的数，合数就是拆得开的数.

严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数：合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数

•注意，1既不是质数也不是合数.

我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位

十位之后还是质数的两位质数.

______________________________________________________（填写在横线上）

相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松.质数是我们后面学习的

基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.请同学们在下面的横线上写出100以内的所

有质数：

同学们还可以这样做：从大到小写出100以内的质数.如果你能一个不少地写出来，

明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了

在100以上还有无穷多个质

fVWMMMNMNNMNNMMNMNNMMMNMMMMMMMNMNNMMNNMNHMMMMMW

当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角.

区分联蝴放触懒搬抑卸瞰I蹿搬次找出对应的汉字‘这句话就出来了♦

F面是主试委员会为第六届华杯赛写的一首诗:

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云，九七共庆手相握;

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.

自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多

少个?

(1)如果两个不同的质数相加等于26,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.

(2)如果两个不同的质数相加等于25,那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.

(3)三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘

积可能是多少？请全部写出.

相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松.质数是我们后面学习的

【分析】对于第1问，依次枚举即可­可知这两个不同的质数一定都是奇数•那么后两问中的质数可以都是奇

数吗？

如果三个互不相同的质数相加，和为52,这三个质数可能是多少？

通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解.下面我们来学习这一讲中最重要的内

容：分解质因数•分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式•如：30235>

1002255■28022257•同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到

大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的.

分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程

中要善用各种特殊数的整除特性.

能整除

30相除后得

22

100在分解质因数时也可以写成：10025；280在分解质因数时也可以写成

3

280257•这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数

»0257

叫作指数，如：

这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略.

如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要一一验算197

以内的所有质数吗？

同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个就能判

断.例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了！因为

1515225比197大-类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内

的质数,因为45452025比2011大-有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是

质数就非常方便了.

请把下面的数分解质因数：

3

(1)360;(2)539;(3)999;(4)10101.

请把下面的数分解质因数：

「分析」将一个数分解质因数，可以从最小的质数开始,一个一个去试商，写成短除的形式.

(1)373;(2)12660.

在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数.解决这类问题的方法同样是质因数分

解•下面我们来看一个例题.

0?

【分析】乘积的末尾要出现一个0,只需要乘数中凑出一个10,那么能凑出来几个10,末尾就有多少个连续

的0•注意到1025，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了.

算式123L30的计算结果的末尾有多少个连续的0?

分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练的将一个数分解质因

数-这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的

问题.

三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少？

「分析」39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质因数进行适

当的组合，凑出题目中的三个连续自然数.由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时

候也必须尽量接近.

360与•个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少?

【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数.而

32

360235,它不是一个平方数.它最小再乘上多少，结果就是平方数了？

通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀•样，把整数解剖开来，让我们把

整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单.

质数有无穷个吗?1

在正整数里走得越远，我们就发现质数变得越来越稀少.有人可能会问：质数出现频率

越来越小，它们会不会在某处终止呢？会不会从某个数开始之后就没有质数了呢？

早在公元前300年左右，欧几里得就第一次证明了质数有无穷多个.他用的是如下的反

证法：

设n代表最后一个质数，那么从2到n的所有质数的积是2357Ln.将这个积加1称

为k,因为2,3,5,7,11,…，n都不能整除k,所以k必然含有一个更大的质因数！这与n

代表最后一个质数相矛盾！

作业

1.(1)如果两个不同的质数相加等于39■那么这两个质数的乘积是多少？

(2)三个互不相同的质数相加，和为30,这三个质数的乘积是多少？

2.自然数49，87-101-103-121中，哪些是质数？

3.请把下面的数分解质因数：

(1)240；(2)1080.

4.三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？

5.算式123L35的计算结果的末尾有多少个连续的0?

第三讲质数与合数

例题1.答案：少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山

详解：1-56中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、

37、41、43、47、53共16个.

例题2.答案：(1)69、133;(2)46;(3)434详解：(1)26可以拆成3与23

的和，或者7与19的和；(2)25只能拆成2和23的和;(3)三个数的和是

偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇.考虑到质数中只有2是偶数，可知

一定是一偶两奇，且偶数是2.另外两个奇数是7和31.

例题3.答案：(1)36023325；(2)539(4)101017211；(3)9993337；

371337.

例题4.答案：24

详解：末尾0的个数与算式结果所含质因数2和5的个数有关，结果中质

因数的个数又与乘数中质因数的个数有关.因为2的个数要比5的个数多,

所以0的个数等于5的个数.乘数中5的倍数有20个,25的倍数有4个,

所以质因数5的个数有20424个.末尾有24个连续的0.

例题5答案：102

详解：3927023571117.考虑其中最大的质因数17,三个自然数中一定有

17的倍数.如果是17,那么一定有16或18.这不可能.如果是34,另外

两个数是33和35,正好满足.333435102.

例题6.答案：160

详解：完全平方数的每个质因数的次数一定是偶数.而36023325,至少要再

乘上2510才是一个平方数.题目要求是三位数，即

3601Q，一」是一个平方数.可知空格上也要填入一个平方数，最三位数

小要填16•要乘的三位数最小是160・

练习1.答案：23、37、53、73

简答：一位数中的质数只有2、3、5、7•而N的个位数字只能是3和7，

分类枚举即可•

练习2.答案：2、3、47