2022-2023学年北京市海淀区十一学校九年级上学期线上“一起练习”（一）数学试卷含详解

初三线上“一起练习”（一）数学

一、选择题（共16分，每题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列关于防范“新冠肺炎”标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.有症状早就医少出门少聚集

C.戴口罩讲卫生D.勤洗手勤通风

2.如图，已知“SC，点。,E分别在边A3,AC的反向延长线上，且Z）E〃BC.若AE=4,

AC=8,AD^5,则43为()

C.10D.15

再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解

析式是（）

A.y=2(x+2y+5B.y=2(x+2)2+lC.J=2(X-4)2+1D.y=2(x—4了+5

4.如图，“SC内接于。0,8。是。。的直径.若NABD=47°,则NC等于（）

A.40°B.43°C.45°D.53°

5.已知圆内接正六边形半径为2,则该内接正六边形的边心距为（)

A.1B.2C.V3D.75

6.近年来，盲盒受到越来越多人关注.某公司生产一种盲盒，在自动售卖机销售，物价局规定，这种盲盒

的市场销售单价不得高于50元，不得低于35元.经市场调查发现，当盲盒的销售单价不高于40元和高于

40元时，每月销售量与销售单价分别满足某种函数关系.下表是部分市场调查数据：

销售单价/元353739404850

月销售量/盒850810770750625600

设该种盲盒的月销售量为y盒，销售单价为x元，则y与尤之间满足的函数关系式可以为（）

-20x+1550(3540)-20x+1550(35<%<40)

A.y=<29750“c-B.y=<30000,“c,6、

--------(40<^<50)--------(40<x<50)

X2-20X+1550(35<X<40)X2-20X+150(35<^<40)

C.y=<29750D.y=<30000,“c

--------(40<%<50)--------(40<%<50)

7.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）

A.点8在。A内B.点C在。A上

C.直线8c与。A相切D.直线BC与。A相离

8.四位同学在研究二次函数丁=依2+8—6（。。0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=l；乙

同学发现当％=3时，y=-6；丙同学发现函数的最小值为-8；丁同学发现x=3是一元二次方程

狈2+法—6=0（。/0）的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是

（）

A.甲B.乙C.丙D.T

二、填空题（共16分，每题2分）

9.如图，尸是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为2,则反比例函数的解析式是

x10,如图，AD//BE//CF,如果AB=6,BC=4,DF=12,则ER的长为

关于x的一元二次方程ax1+bx+c=O满足a-/?+c=0,则方程一定有一个根是x

12.在平面直角坐标系中，若4（—3,%）,B（l,y2）,C（2,%）是二次函数y=（尤—1丫—根图像上的

三点,则%,内，%的大小关系是.（用“〈”号连接）.

13.如图，"RC的周长为16,。。是的内切圆，若NA=60°,BC=6,则的长为

14.如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形.若制作一个圆心角

为140°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料700;rmm,则此圆弧所在圆的半径为mm.

140。B

15.将含有30°角的直角三角板。45如图放置在平面

直角坐标系中，。8在x轴上，若OA=2上,将三角板绕原点旋转120。得到△QAB',则点A的对应点

A的坐标为.

16.某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为。A,B是舞台边缘

上两个固定位置，由线段A8及优弧AB围成的区域是表演区.若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其

照亮区域如图1中阴影所示.此时若在B处安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如

图2中阴影所示.

若将灯光装置改放在如图3所示的点N或尸处，能使表演区完全照亮的方案可能是.（填写方

案序号即可）

①在M处放置2台该型号灯光装置②在尸处放置2台该型号灯光装置

③在N处各放置1台该型号灯光装置

三、解答题(共68分，第17题6分，第18—23题，每题5分，第24—26题，每题6分,

第27—28题，每题7分)

17.解方程：

⑴x2-2x-8=0;

(2)(x+1)2=4%2.

18.如图，点、B、C在线段AD上，且AB=9,CD=4,APBC是边长为6的等边三角形.

求证：八ABPs△pCD.

19.关于x的一元二次方程/+侬;+〃=0.

(1)当机=〃+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的叩〃的值，并求此时方程的根.

20.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点。是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OCLAB,垂

足为D已知AB=60m,CD=10m,求这段弯路的半径.

+Zzx+c(awO)的部分图象如图所示，点。，A,B在二

次函数图象上.

(1)写出此二次函数的对称轴,并求这个二次函数的解析式;

(2)关于龙的一元二次方程or?=—法―。的根为

(3)当—l<x<3时，y的取值范围是.

22.己知：A,B是直线/上的两点.

求作：AABC,使得点C在直线/上方，且NAC3=150°.

1作法:

AB

①分别以A,B为圆心，A3长为半径画弧，在直线/下方交于点。；

②以点。为圆心，Q4长为半径画圆；

③在劣弧A3上任取一点C（不与A,8重合），连接AC,BC.AABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：在优弧A8上任取一点〃（不与A，8重合），连接A",BM,OA,OB.

OA=OB=AB,

...AQAB是等边三角形.

ZA（9B=60°.

VA,B,M在O。上，

：.ZAMB=-ZAOB（）（填推理的依据）.

2

ZAMB30°.

•.•四边形内接于。。，

AZAMB+ZACB^180°（）（填推理的依据）.

k

：.ZACB=150°.23.在平面直角坐标系xOy中，直线V与反比例函数y二一图象有两个交点A、

x

B.

（1）若点A的坐标为（1,2）,

①点B坐标为：

②不等式mx<-的解集为；

X

⑵若AB>2小，直接写出左取值范围为

24.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度O"为1.5m.灌溉车喷出水的上、下边缘可以分

别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形A3CD,其水平宽度A3=3〃，竖直高度

BC=0.5m.记喷出的水与喷水口的水平距离为上边缘距地面的高度为Xm,下边缘距地面的高

度为%m.测量得到如下数据：

X00.511.523456

%1.51.721.881.9721.881.50.880

为1.51.220.880.470

（1）在平面直角坐标系xQy中，描出表中各组数值所对应的点（羽乂），并画出上边缘函数的图像;

（2）结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水最大射程OM

为m,并求上边缘抛物线的函数解析式；

（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离。4的

取值范围为.

25.如图1,AB是。。的直径，点。、。在上，连接8C,OD,OD//BC.

（1）求证：。为弧AC的中点;

图1图2

（2）如图2,过点。作A3的垂线与。。交于点E,作直径所交5C于点G.若G为6c中点，。。的

半径为5,求弦的长.

26.已知，在平面直角坐标系xQy中，二次函数＞=%2一（2。一1）%.

6

4

3

2

1

-I___I______I____I____I__L.I![I1]A(1)若函数图象的对称轴为y轴，直接写出。的值

-6-5-4-3-2-10123456

-1

-2

-3

-4

-5

-6

为______

(2)点尸(租,“)是抛物线上一点，当-24〃在1时，〃的最小值记为N.

①若a=3,直接写出N的值为

②若TWNW0,结合函数图象，求a的取值范围.

27.在中，/B4c=90°,AB^AC,D在线段6c上，点E为直线A5上一动点，连接

DE.射线Z5E绕点。顺时针旋转90°,交直线AC于点尸，连接

图1图2图3

(I)如图1,若股=L当点E在线段AB上且满足。石〃AC时，BE=2a,CF=2b,请直接写出

BC3

所的长为(用含a,b的式子表示)；

(2)如图2,若。为中点，当点E在A3延长线上时，设BE=m,CF=n,请直接写出所的长

为(用含m，n的式子表示)；

(3)如图3,若。为中点，当点E在B4延长线上时，请补全图形，用等式表示线段BE,CF,EF

之间的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，对于线段尸。，给出如下定义：若存在APQR使得SK°R=；PQ2,则称

△PQR为线段PQ的“幸福三角形”，点R称为线段PQ的“幸福点

6

5

4

3

2

1

(1)已知

4(2,0).

①在点片(—3,1),£(L—2),6(4,—1),巴(—2,2)中，是线段Q4的“幸福点”的是；

②若存在等腰直角三角形AQAB是线段OA的“幸福三角形”，直接写出点B的坐标为；

③过线段。4上一动点M,作直线y=f+"记此直线上线段Q4的“幸福点”为点C,直接写出点C的横

坐标m的取值范围为；

(2)已知点。的坐标为(26,2),eT的圆心为&0),半径为3,若eT上存在线段0。的“幸福点”，

直接写出f的取值范围为.

初三线上“一起练习”（一）数学

一、选择题（共16分，每题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.©有症状早就医B.

戴口罩讲卫生D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项判断即可.

【详解】解：A选项中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

B选项中的图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

C选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

D选项中的图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握定义是解题的关键.如果一个图形沿着一条直

线对折，两侧能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后

的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

2.如图，已知“WC,点。，E分别在边A3,AC的反向延长线上，且。若AE=4，

AC=8,AD=5,则48为（）

C.10D.15

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可.

详解】解：

.AEAD

；AE=4，AC=8,AT>=5,

"AC~AB

.4_

••=,

8AB

解得：AB=10,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解本题的关

键.

3.把抛物线y=2(x-1)z+3先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解

析式是()

A.y=2(x+2y+5B.y=2(x+2)2+lC.J=2(X-4)2+1D.y=2(x-4)2+5

【答案】D

【解析】

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【详解】解：把抛物线y=2(尤+3向上平移2个单位长度后所得图象的解析式为

,=2(1)2+3+2=2(1)2+5,

再向右平移3个单位长度后所得图象的解析式为y=2(x—1—3)2+5=2(x—4)2+5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移规律：左加右减，上加下减.

4.如图，AABC内接于OO,8。是。。的直径.若NABD=47°,则/C等于()

A.40°B.43°C.45°D.53°

【答案】B

【解析】

【分析】如图所示，连接CD,根据直径所对的圆周角是直角得到4CD=90。，再根据同弧所对的圆周

角相等得到ZACD=NABD=47°,由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接CD,•••8。是直径，

ZBCE>=90°,

•/ZACD=NABD=47°,

NACB=/BCD—NACD=43°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，正确

作出辅助线是解题的关键.

5.己知圆内接正六边形的半径为2,则该内接正六边形的边心距为（）

A.1B.2C.抬D.75

【答案】C

【解析】

【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出.

【详解】解：连接。4,作贝UNAOM=30°,AB=2,

根据勾股定理可得OM=SA2-AM。=V22-l2=百，

正六边形的边心距是

故选：C.

【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正六边形的性质是解题关键.

6.近年来，盲盒受到越来越多人关注.某公司生产一种盲盒，在自动售卖机销售，物价局规定，这种盲盒

的市场销售单价不得高于50元，不得低于35元.经市场调查发现，当盲盒的销售单价不高于40元和高于

40元时，每月销售量与销售单价分别满足某种函数关系.下表是部分市场调查数据：

销售单价/元353739404850

月销售量/盒850810770750625600

设该种盲盒的月销售量为y盒，销售单价为x元，则y与尤之间满足的函数关系式可以为（）

-20%+1550(35<x<40)-20x+1550(35<%<40)

A.y=<29750B.y=<逊(40K50)

--------(40<x<50)

V-20x+1550(35<%<40)X2-20X+150(35<%<40)

C.y=<29750D.y=迪(40K50)

--------(40<x<50)

L%

【答案】B

【解析】

【分析】根据表格数据可知销售单价不高于40元时，y与尤之间满足一次函数关系；当销售单价高于40元

时，y与x之间满足反比例函数关系，分别根据待定系数法求解即可.

【详解】解：根据表格数据可知：销售单价不高于40元时，y与尤之间满足一次函数关系，

设一次函数解析式为：y=kx+b,

850=35x+b

则《，

[810=37x+b

左=—20

解得：〈

b=155Q

一次函数解析式为y=-20%+1550(35<x<40),

k

设反比例函数解析式y=,，

x

贝ij尢=40x750=48x625=50x600=30000,

/.反比例函数解析式为y=迎曳(40<%<50),

-20x+1550(35<x<40)

综上：y与尤之间满足的函数关系式可以为y=30000，

--------(40<%<50)

故选：B.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握一次函数

与反比例函数的性质以及点的坐标特征是解本题的关键.

7.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是()A.

点8在。A内B.点C在。A上

C.直线8c与。A相切D.直线BC与。A相离

【答案】C

【解析】

【分析】过A点作AHLBC于反，如图，利用等腰三角形的性质得到即/="/=5&7=4,则利用勾股定

理可计算出AH=3,然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和2选项进行判断；根据直线与圆的

位置关系对C选项和。选项进行判断.

【详解】解：过A点作于"，如图，

"：AB=AC,

；.BH=CH=』BC=4,

在RtAABH中，AH=dAB，-BH?=^52-42=3,

\"AB=5>3,

...8点在0A外，所以A选项不符合题意；

VAC=5>3,

；.C点在。A外，所以B选项不符合题意；

；.AH=3,AH±BC,

...直线BC与。A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为广，圆心。到直线/的距离为4,若直线/和

。。相交=40;直线/和。。相切Qd=r；直线/和。。相离也考查了点与圆的位置关系和等腰

三角形的性质.

8.四位同学在研究二次函数丁=依2+次—6（。工0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=l；乙

同学发现当％=3时，y=-6；丙同学发现函数的最小值为-8；丁同学发现％=3是一元二次方程

依2+旅一6=0（aw0）的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是

（）

A.甲B.乙C.丙D.T【答案】B

【解析】

【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成

立.

b

【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线%=1时，—一=1,即人=—2Q.

2a

当乙同学的结论正确，即当％=3时，y=—6时，9a+3b-6=-6,可得Z?=—3a.

一—24〃一

当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为-8时，—==-8,可得从=8Q.

4a4a

当丁同学的结论正确，即当％=3是一元二次方程依2+法—6=0（。wO）的一个根时，9。+3匕—6=0,

可得人=2—3a.

根据/?=-3。和〃=2—3。不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，

假设丁同学的结论错误，联立〃=—2。和/?=—3a,得。=0,b=0,不满足awO,故假设不成立；

假设乙同学的结论错误，联立〃=—2。和〃=2—3a,得。=2,b=4此时满足从=8a，故假设成

立；

故选：B.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关

系是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.如图，尸是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOE的面积为2,则反比例函数的解析式是

【解析】

【分析】因为过双曲线上任意一点引尤轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|川，再根据反比例

函数的图象所在的象限确定上的值，即可求出反比例函数的解析式.【详解】解：由图象上的点所构成的矩

形PEOB的面积为2可知，

矩形PEOF的面积=|川=2,k=±2.

又由于反比例函数的图象在第二、四象限，左＜0,

则k=-3,所以反比例函数的解析式为y=--,

x

故答案为：y=-2.

x

【点睛】本题考查反待定系数法求反比例函数的解析式，比例函数系数上的几何意义，过双曲线上的任意

一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于因.

10.如图，AD//BE//CF,如果A3=6,BC=4,DF=12,则ER的长为.

【答案】4.8

【解析】

【分析】由AO〃8石〃CF可得成比例线段，代入数据可求得所.

【详解】解：：AD〃5石〃CF,

.BCEF

“就一而‘

：AB=6,BC=4,DF=12,

•4EF

••一,

1012

解得：EF=4.8,

故答案为：4.8.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线得出成比例线段是解本题的关键.

11.关于尤的一元二次方程or2+6x+c=0满足。-6+c=0,则方程一定有一个根是工=.

【答案】-1

【解析】

【分析】将X=-1代入方程ax2+bx+c=。中的左边，得至ua-b+c,由a-b+c=0得到方程左右两边相

等，即x=T是方程的解.

【详解】解：将x=T代入ax2+bx+c=0的左边得：ax(-1)2+bx(-1)+c=a-b+c,

Va-b+c=0,；.x=-l是方程ax2+bx+c=0的根.

故答案为：-1.

【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次

方程的解.掌握定义是解题的关键.

12.在平面直角坐标系中，若4(—3,%),5(1,必)，。(2,%)是二次函数丁=(尤—I)?—根图像上的

三点,则%,内，%的大小关系是.(用“〈”号连接).

【答案】%<%<%

【解析】

【分析】根据函数解析式得出其对称轴与开口方向，然后根据点AB,C与对称轴的距离进行判断即可.

【详解】解：：二次函数解析式为y=(x—加，

...对称轴为l=1,

'/a=1>0,

，抛物线开口方向向上，

则离对称轴越远点函数值越大，

—(―3)=4,1—1=0,2—1=1»

乃<为<%，

故答案为：%<%<%.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质得出对称轴与

开口方向是解本题的关键.

13.如图，AABC的周长为16,。。是AABC的内切圆，若NA=60°,BC=6,则的长为

【解析】

【分析】利用切线长定理可知CF=CE,AF=AD,BD=BE，结合已知条件求出4产=A£>=2,再

证△">/是等边三角形即可得出。£="=AD=2.

【详解】解：；。。是的内切圆，

AC,BC,AB均是。。的切线，切点分别为RE,D,

由切线长定理可知CF=CE,AF=AD,BD=BE，

CF+BD=CE+BE=BC=6,

■■■443C的周长为16,

AF+AD=16-(CF+BD)-BC=16-6-6=4,

AF=AD=2,

又；ZA=60°,

△">/是等边三角形，

DF=AF=AD=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查切线长定理的应用、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理，即从圆

外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

14.如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形.若制作一个圆心角为140。的圆弧形窗帘轨道

（如图2）需用此材料700%mni,则此圆弧所在圆的半径为_____mm.

【答案】900

图1图2

【解析】

【分析】由弧长公式/="建得到R的方程，解方程即可.

180

140万R

【详解】解：根据题意得，700万=-------,

180

解得：R=900,

答：这段圆弧所在圆的半径R是900mm.

故答案是：900.

【点睛】本题考查了弧长的计算公式，解题的关键是熟记弧长公式/="£,其中/表示弧长，w表示弧

180

所对的圆心角的度数.15.将含有30°角的直角三角板Q4B如图放置在平面直角坐标系中，在x轴

上，若OA=26，将三角板绕原点旋转120°得到△043',则点4的对应点A'的坐标为.

【答案】"，⑹或（0,-2—卜#（0,一2⑹或卜3,⑹

【解析】

【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出点A的坐标，分三角板绕原点顺时针旋转和逆

时针旋转两种情况，得到点A的位置，即可求解.

【详解】解：由题意2408=30。，

点A的纵坐标为工OA=工x24=括，

22

■■■点A的横坐标为=3，

...点A坐标为卜,6）・

当三角板绕原点逆时针旋转120。时，如图所示:

可知点A与点A关于y轴对称,

,点A'的坐标为（一3,卜

当三角板绕原点顺时针旋转120。时，如图所示:

•.@=2行

,点A'的坐标为（0,-2百）.

故点A，的坐标为",⑹或（0,-2百）.

故答案为：卜3,后）或（0,-2百）.

【点睛】本题考查坐标与图形的变化一旋转，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理.熟练运用分类讨

论和数形结合的思想是解题的关键.

16.某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为。.A,B是舞台边缘上两个固定位置，由线段

48及优弧AB围成的区域是表演区.若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所

示.此时若在8处安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示.

若将灯光装置改放在如图3所示的点M,N

或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是.（填写方案序号即可）

①在M处放置2台该型号灯光装置②在尸处放置2台该型号灯光装置

③在N处各放置1台该型号灯光装置

【答案】①③##③①

【解析】

【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.

【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图

•••在A、8两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，

AZCAB+NCBA=优弧A8所对圆周角，

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为4MF,且/FMF=/AMR

ZAMB为优弧A8所对圆周角

/.ZAMB=ZCAB+ZCBA,即①方案成立；

在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和。。相切于点尸

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总ZEPF=180°

根据题意，ZCAB+ZCBA<180°,即两台灯光照亮角度总和<180°

•••②方案不成立；

在M,N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接AM、BM、AN、BN、CM、AN,如下图,

VZANC=ZABC,/BMC=/BAC

，③方案成立；

故答案为：①③.【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质,

从而完成求解.

三、解答题(共68分，第17题6分，第18—23题，每题5分，第24—26题，每题6分,

第27—28题，每题7分)

17.解方程：

⑴x2-2r-8=0;

22

(2)(%+1)=4%.

【答案】(1)为=-2,x2—4

【解析】

【分析】(1)利用因式分解法求解；

(2)先移项，再利用因式分解法求解.

【小问1详解】

解：x2-2x-8=0-

因式分解，得(x+2/x—4)=0,

当x+2=0时，x=-2,

当x-4=0时，x=4,

故该方程的解为玉=-2,々=4；

【小问2详解】

解:(X+1)2=4九2,

移项，得(x+以-4/=0,

因式分解，得(x+l+2x)(x+l—2x)=0,

即(3%+1)(1-%)=0,

当3x+l=0时，x=--,

3

当1一元=0时，x=l,

故该方程的解为玉=—g，%2=1・

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关

键.18.如图，点2、C在线段A。上，且A6=9,CD=4,APBC是边长为6的等边三角形.

求证：△ABPs△pCD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△A3Ps/ipcD.

【详解】证明：：APBC是边长为6的等边三角形，

..PB=PC=6,ZPBC=ZPCB^60°,

ZABP=ZPCD=180°-60°=120°,

又.45=9,CD=4,

,AB93_PB_6_3

拓-H'CD-4-2;

,ABPB

,,一,

PCCD

AABPs/\PCD.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键.

19.关于尤的一元二次方程％2+〃打+〃=0.

(1)当机=〃+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的优，〃的值，并求此时方程的根.

【答案】(1)方程有两个不相等的实数根

(2)wi=4,"=4时，％1=%=-2

【解析】

【分析】(1)计算根的判别式得到A="+小则可判断A>0,进而得出结论；

(2)利用方程有两个相等的实数根得到A=>—4〃=0,设m=4,〃=4时原方程为好+4%+4=0,解

方程即可.

【小问1详解】

解：由题意得：A-b2-4-ac-m2-4n-(n+2)~-4n-n2+4,n2>0>

A>0,

.•.方程有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

•.•方程有两个相等的实数根，

A=m2—4n=0>

若根=4,"=4,

则原方程为/+©+4=0，

因式分解得：0+2)2=0,

%—%2=-2.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程分2+法+C=0(4片0)的根与A=〃_4ac有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程无实

数根.

20.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点。是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC±AB,垂

足为D已知A3=60m,CD=10m,求这段弯路的半径.

【答案】这段弯路的半径为50m

【解析】

【分析】连接。3,根据垂径定理可得40=8。=30m,然后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：连接02,

2

设半径为小则0D=厂—10,

在RtZXOB。中，OD~+BD~=OB^

即(r—10)2+3()2=/，

解得r-50m,

答：这段弯路的半径为50m.

【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，关键是在于设出半径「后，用厂表示出05,。。的长度.

21.已知二次函数丁=依2+法+。(。00)的部分图象如图所示，点。，A,B在二次函数图象上.

,并求这个二次函数的解析式;

(3)当—l<x<3时，y的取值范围是

【答案】(1)直线x=2,y=-x2+4x

(2)石=0,x2=4

(3)-5<y<4

【解析】

【分析】(1)根据A、B两点关于对称轴对称进行求解对称轴，然后利用待定系数法求出解析式即可;

(2)根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点即可得到答案；

(3)分别求出当x=—1时，当x=2时的函数值即可得到答案.

【小问1详解】

〃+b+c=3

1+3

解：由题意得二次函数对称轴为直线九二—二2,代入A、B、C坐标得《9〃+3b+c=3,J

2

c=0

a=-l

<6=4,

c=0

二次函数解析式为y=-x2+4x；

【小问2详解】

解：：二次函数与x轴的一个交点为（0,0）,对称轴为直线龙=2,

二次函数与x轴的另一个交点坐标为（4,0）,

...关于尤的一元二次方程以2=一所―c即ad+法+c=。的根为%=0,%=4；

【小问3详解】

解：当x=—1时，y=-（-1）2+4x（-1）=-5,当x=2时，>=—22+2x4=4,

...当-L<x<3时，y的取值范围是—5<y<4,

故答案为：-5<y<4.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解

题的关键.

22.已知：A,8是直线/上的两点.

求作：AABC,使得点C在直线/上方，且NACB=150°.

-------3/作法：

①分别以A,8为圆心，A3长为半径画弧，在直线/下方交于点O；

②以点。为圆心，Q4长为半径画圆；

③在劣弧A8上任取一点C（不与48重合），连接AC,BC.AABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：在优弧A3上任取一点加（不与4B重合），连接BM,OA,OB.

OA=OB—AB,

，钻是等边三角形.

ZA（9B=60°.

VA,B,M在o。上，，NAM5=LNAO3（）（填推理的依据）.

2

ZAAffi=30°.

•.•四边形ACBM内接于。。，

AZAMB+ZACB=180°（）（填推理的依据）.

，ZACB=150°.

【答案】（1）见解析；

（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补.

【解析】

【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；

（2）根据等边三角形的判定与性质可得NAO3=60°,再根据圆周角定理可得/4MB=30。，最后再根据

圆的内接四边形的性质即可证得ZACB=150°.

【小问1详解】

解：如下图即为所求.

证明：如图，在优弧上任取一点加（不与A,B重合），连接40,BM，OA,OB.

c

I

OA=OB=AB,・•・△OAB是等边三角形.

M

・•・ZAOB=6Q°.

,:A,B,M在。0上,

/.ZAMB=^-ZAOB(同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半).

2

ZAMB=30°.

:四边形ACW内接于。。，

AZAMB+ZACB=180°(圆的内接四边形对角互补).

ZACB=150°.

故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.在平面直角坐标系尤Oy中，直线丁=如与反比例函数丁=七