高中数学知识扫描

高中数学基础知识扫描

一、集合与简易逻辑:

集合简易逻辑

算

运

概念关系命题

孽>

素

一

一

素

合

合

合四种命题条件

与

可

的

的

的

集

集

特

分

表

也

合

合

征

类

示

否

命

♦♦题

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性-

集合元羲的互聂性：如：A={x,^,lg（xy）}，B（O,lxl,y}＞求A；

（2）集合与元素的关系用符号生，g表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集

（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。

注意:区分集合中元素的形式:如：

A-{x\y-x2+2x+\}tB-{y\y-x2+2x+l}；C-{（x,y）\y-x2+2x+1）；

D={xIx=x2+2x+1}；f={（x,y）Iy=x2+2x+l,xeZ,yeZ）；

F=y-x2+2x+l}；G={zly=x?+2x+l,z-—}

x

（5）空集是指不含任何元素的集合。（{0}、。和{掰的区别；0与三者间的关系）

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意:、条件为A^B,一在过诊的时候丕要遗忘了A=。的情况。

如：/I={xIax2-2x-1=0}»如果AC|R+=。，求。的取值。

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“w,宏”是表示元素与集合之间关系的，立体儿何中的体现点与直线（面）的关系；

符号“三”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线（面）的关系。

（2）An§={}；AU§={}；

C.A={}

(3)对于任意集合4,8,则:

①AU8一BUA；AflB_BAA：ADB一AIM：

②=；AU6=A=：

CuAU8=U=；0"口3=肢=；

③54n。8=；=c〃(An6)；

(4)①若W为偶数，则“=；若〃为奇数，则〃=；

②若〃被3除余0,则〃=；若〃被3除余1,则〃=；若〃被3除余2,则

n=：

三、集合中元素的个数的计算：

(1)若集合A中有〃个元素，则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是,所有

非空真子集的个数是o

(2)4U8中元素的个数的计算公式为:C〃d(AU5)=；

(3)韦恩图的运用：

四、A={xlx满足条件p},3={xlx满足条件《},

若:则p是q的充分非必要条件=AB；

若；则p是q的必要非充分条件。AB；

若；则p是q的充要条件OAB；

若；则p是q的既非充分又非必要条件=

五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；

注意:“若「pnf"则pnq”在解题中的运用,

如“sina*sin夕”是“a*2”的条件。

六、反证法:当证明“若p^q”.感到困难时？—改证它的等优金鼠“若7则「p”成立,

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾：3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定

结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

正面词语等于大于小于是都是至多有一个

否定

正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个

否定

二、函数

定义图象性质方程

元

元

对

三

数

一

二

角

函

次

次

函

数

型如:函型如：

函

数

数

数

ak

y-c+----y-x+~(k>0)

.x-b

对应方程

---映射

不等式

反函数

函数的三要素图象

邛

反

调图象变换

解

析义性

豫域式域域

最值

关于y=x对称

・、映射与函数：

(1)映射的概念：A,8是两个集合，如果按照某种对应法则了,对于集合A中的一个元素，在集合6中都

有的元素与它对应；记作：；

(2)一一映射：A,8是两个集合，f8是集合A到集合8的映射、如果在这个映射下，对于集合A中

的；在集合6中有；而且8中；

(3)函数的概念：如果A,B都是,刃陷A到B的映射f:A-^B就叫做4到B的函数，记作:

如若4={1,2,3,4},6={4力,0}；问A到6的映射有个，8到A的映射有个；A到6的函数有个,

若4={1,2,3}，则A到B的一一映射有个。

函数y=叭x)的图象与直线x=。交点的个数为个。

二、函数的三要素：,，。

相同函数的判断方法：①；②(两点必须同时具备)

⑴由薮碗祈法鬲主泳

①定义法工»»如：已知”%+3=/+』，求：/(x)；

XX

②换元法:如：已知/(3x+l)=4x+3,求/(x)；

③待定系数法：如:已知/{/"(x)]}=l+2x,求一次函数f(x)；

④赋值法：如：已知2/(x)—/(，)=x+l(xwO),求/(x)：

X

(2)函数定义域的求法:

①/二上，则________________;②,=?y7^（"€汽*）则___________;

g（x）

③>="。）］。，则；④如：y=log〃x）g（x）,则；⑤含参问题的定义域

要分类讨论；

如：已知函数y=/（X）的定义域是［0,1］,求*（x）=/（3+。）+/（》一“）的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已

知扇形的周长为20,半径为「，扇形面积为S,则S=/（r）=：定义域为。

（3）函数值域的求法：

①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：/（*）=数2+必+谓工€（九〃）的形

式；

②逆求法（反求法）:通过反解，用y来表示X，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用

来解，型如：y=&一上,xe（/”,〃）；

cx+d

③判别式法:转化一个关于x的一元二次方程（其中y为参数），利用存在x使得方程成立，找方程有解的充要

条件；适用题型：y=十"*十°（b不全为0）；有两种情况:（1）%无具体范围：直接套用A20；

dx2+ex+f

（2）x有具体范围：要用实根分布来其有根的充要条件；

注意：⑴若得到的一元二次方程，二次项系数是含有丫的多项式，此时要分类讨论。

（2）若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令x取不连续点的值，求出y,再曲这个y求出与它

对应的x,如果还有定义域内有定义的£与它对应,则此y为值域中的一个值，否则，此y不在值

域中。

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型y=。—+Jbx+c；

⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本丕等式法：转化成型如：y=x+±（攵>0）,利用平均值不等式公式来求值域；

x

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑥薮拓展合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

H4-hx

求下列函数的值域：①y=土卫3>0/>0,。>"1』］）（2种方法）；

a-bx

光2—Y+3X2—x+3

②y=__L^,XE（_OO,0）（2种方法）；③y=^^,xe（-oo,0）（2种方法）；④

xx—\

X2—Y4-3/—V3

y=）、,x£（_oo,0）；⑤y=^^,xe（-oo,0）（2种方法）；

X+X+1X

®y=-2x+3)4-x:⑦y=-2x+3,4-/；⑧y=—~-----

X

三、函数的性质:

(1)函数的单调性：对于给定区间上的函数/(x),如果对于定义域内任意的占,々；1____，都有

则称/(X)为增函数；垂有_________，则称/(X)为减函数；

注意：(1)函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于X的多项式，还可以通过求导证

明：当时为增函数，当时为减函数。

(2)单调性一般用区圆表示，不能用集合表示。

(2)—函数的奇偶性：对于函数/(x),如果定义域内任意的』,都有,则称/(x)为奇函数；宝

直_______________，则称f(x)为偶函数；

奇函数的图象关于,偶函数的图象关于；

注意：(1)研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域；

(2)若函数y=f(x)^x&D是奇函数，且0eDh则

如：判断y=(x+l)土的奇偶性。

V1+X

关士函数的单调性和宜偶性的的结迨:.

1、若奇函数/(x)在区间口,切上单调递增(减)，则/(x)在区间［-6,-0上是单调递

2、若偶函数/(x)在区间［a,切上单调递增(减)，则/(x)在区间［-4-。］上是单调递；

3、既是奇函数乂是偶函数的函数的解析式为；这样的函数有个。

4、任意定义在R上的函数/(x)都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和:/(x)=g(x)+/z(x)；其中

g(x)=是偶函数，％(x)=是奇函数；

(3)函数对称性的结论:

1、设函数y=/(x)的定义域为R,且满足条件：/(a+x)=/3—幻，则函数y=/(x)的图象关于直线

对称；

如：由/(I—x)=/(l+x)成立，则/(x)关于对称；

注意：y=/(a+x)与y=-x)关于对称;

2、定港R上的函数)；=/(x)对定义域内任意x满足条件/(x)=2匕-/(2a-x),则y=/(x)关于点色力)成

中心对称，

如：/(%)=-/(-%)=>/(x)=2x0-/(2x0-x),则/(x)关于原点对称；

(4)函数的周期性：对于函数/(x),如果存在不为零的常数T,对于定义域内的每一个值，都有则函数

y=/(x)为周期函数，叫周期;

关于函数周期性的结论:

①定义在R上的函数y=/(x)对定义域内任意x,都满足条件/(x)=/(x+a)=/(x-b)成立,则y=/(x)是

以7=为周期的周期函数；

②若函数y=/(x)既关于直线x=a对称，又关于x=b(aw。)对称，则y=/(x)一定是周期函数，且7=

是它的一个周期；

③若y=/(x)既关于直线x=a成轴对称，又关于点(Ac)成中心对称，则y=/(x)一定是周期函数，且7=

是它的一个周期。

四、图形变换：

⑴平借委菰

①形如：y=/(x+a)：把函数y=/(x)的图象沿方向向或平移个单位，就得到

y=f(x+a)的图象。

②形如：y=f(x)+a：把函数y=/(x)的图象沿方向向或平移个单位，就得到

y=/(x)+a的图象。

(2)对称翻转变换:

①形如：y=f(-x)：其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

②形如：y=-/(x)：其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

③形如：y=/''(x)：其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

④形如：y=-/(-x)：其函数图象与函数y=/(x)的图象关于对称。

⑤形如y=/(lxl)：这是偶函数。其图象是关于y轴对称的，所以只要先______________________一

S___________________________；就得到了y^f(\xI)的图象.

⑥形如：y=1/(x)I：将函数y=/(x)的图象；就得到函数y=1f(x)I

的图象。

(3)伸缩变换：

①形如：y=f(cox\(o＞0)：将函数y=/(x)的图象横坐标(纵坐标不变)缩小(。＞1)或伸长(0＜。＜1)

(2)y=-/(x)；(3)y=/(lxl)；(4)y=l/(x)l；

(5)y=/(2x)；(6)y=f(x+l)；(7)y=/(x)+l；(8)y=-/(-x)；(9)y=/-l(x)»

五、反函数：

(1)定义：设y=/(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A,值域为C,由式子y=/(x)解出x,得到式子

x=9(y),如果对于.在.中的任何一个值，通过式子)="(—，.在中都有唯一确定的值和它对

廛，那么式子x=*(y)就表示x是自变量y的函数，这样的函数x=°(y),叫做y=/(x)的反函数，

记为二=/T(y),即x=e(y)=/T(y),习惯上仍用x表示自变量，y表示函数，把它改写成

丁=尸(外。

(2)函数存在反函数的条件：；

(3)互为反函数的定义域与值域的关系：；

(4)求反函数的步骤：①将y=/(x)看成关于x的方程，解出x=/T(y),若有两解，要注意解的选择；②将x,y

互换，得y=/i(x)；③写出反函数的定义域(即y=/(x)的值域)。

(5)互为反函数的图象间的关系：；

(6)原函数与反函数具有相同的单调性：

(7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

2XX

如：求下列函数的反函数：/(x)=，_2x+3(x<0)；/(x)=----；/(x)=log———2(x>0)

2-17x+\

六、复合函数：

(1)定义：如果y是"的函数，记为y=/Q),〃又是x的函数，记为”=g(x),且g(x)的值域与/(“)的定义域

的交集不空，则确定了一个y关于x的函数y=/[g(x)],这时y做x的复合函数，其中〃叫做中间变量，

y=/(M)叫做外层函数，“=g(x)叫做内层函数。

(2)复合函数单调性：；

七、常用的初等函数：

(1)一元;一次函数：y=ax+b(a*0)

当。>0时，是增函数；当。<0时，是减函数：

(2)一元二次函数：

一般式：y^ax2+bx+c{aw0)；对称轴方程是；顶点为；

两点式：y=a(x-xi)(x-x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为；

顶点式：y=a(x-k)2+h；对称轴方程是；顶点为；

①一元二次函数的单一调性：

当CZ〉0时：为增函数；为减函数；

当a<0时：为增函数；为减函数；

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为y=a(x-k)2+h的形式，

I、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

。>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

。＜0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

II、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

。＞0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

。＜0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

（1）顶点固定，区间也固定。如：y=x2+X+1,XG[—1,1]

（2）顶点含参数（即顶点变动），区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。如:

y=x2+ax+l,xe[-1,1]

（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.y=%?+x+l,xw+1]

③二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程f（x）=ax2+版+c=0的两根为毛,马；贝小

根的情况x1>x2>k<x2<k<k<x2

在区间（K+8）或

在区间（A,+00）上有在区间（-00,左）上有

等价命题

两根两根（-8,左）上有一根

充要条件

根的情况m<x1<x2<n$<in<n<x2%1G(m,/z),x2e(m.n)

在区间（机,〃）上有两

等价命题在区间（，”,〃）上无根在区间（〃?,〃）上有一根

根

充要条件

注意：若在闭区间[加,〃]讨论方程/。）=0有实数解的情况，可先利用在开区间（加,〃）上实根分布的情况，得出

结果，在令X=〃和1=机检查端点的情况。

（3）反比例数：y=@（xw0）=＞y=a+——

xx-b

y，(xwO)az,、

y=c+(x^b)

Xx-b

图形

定义域

值域

。>0

单调性

a<0

对称「口心

渐近线

(4)一指数函数：y=优(a〉0,aw1)

指数运算法则：______________________

0<a<la>\

图象

定义域

值域

x>0

函数值

x<0

单调性

(办一对“数函数：N=log„x(a>0,a1)

对数运算法则：；

(1)log，,*;________________________

(2)换底公式：_______________________________

(3)对数恒等式：_____________________________

0<Q<1a>1

图象

0<6Z<1a>1

定义域

值域

x>0

函数值

x<0

单调性

注意：(1)y=a*与y=log“x的图象关系是；

(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数

的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

(3)已知函数/。)=1081。2+日+2)的定义域为夫，求k的取值范围。

2

已知函数/(x)=log,(x2+kx+2)的值域为R,求k的取值范围。

(4)下图中，a1,%,%，4与4，打/3/4间的关系是:

六、y=x+—(k>0)图象:

x

定义域：；

值域：；

奇偶性：;

单调性：是增函数；是减函数。

七、补充内容：

(1)抽象函数的性质所对应的•些具体特殊函数模型：

①/(X,+x2)-f(x})+f(x2)二>正比例函数/(x)=kx(k*0)

②/(X]+》2)=/(七)"。2)；/Uj-x2)=/(^!)4-/(%2)=>

Y

③/(X]・X2)=/(X|)+/(X2)；/(,)=/(芯)一/。2)=>；

④fix,)+/(x2)=2/(号9/(与2)=>：

(2)不等式恒成立的条件:

(1)已知/(x)=ax+b,a,bGR,且a中eR；贝！]

(a)/(x)>0在xw("久,〃％)时恒成立=>;

(b)/(x)<0在xe(g,团2)时恒成立=>;可借助一次函数得到。

(2)已知/(x)=ax2+bx+c,a,b,ceR

(a)/(x)>0在xeR时恒成立n或；

(b)/(x)20在xeR时恒成立n或；(可借助一次函数

(c)/(x)<0在xwR时恒成立=>或；或二次函数得到)。

⑶/(x)>a恒成立o[/(x)]min>a；/(x)<a恒成立=[/(x)]max<a

三、不等式

一、不等式的基本性质为：

①；②；

③；④；

⑤；⑥；

⑦⑧；

注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

三均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若a1>0,则七心2J茄（当且仅当a=b时取等号）

2

2

基本变形：®a+b>___________；（^）>_____________;②学V_______<_________耳

2a+bV2

③若a,beR,则a*+/22ab,--3一>；④W（―――）2W

222

基本应用：①放缩，变形；

②求函薮届值:注意：①一正二定三取等;②积定和小，和定积大。

当ab=p（常数），当且仅当时，；

当a+b=S（常数），当且仅当时，；

常用的方法为：拆、凑、平方;

91

如：①函数y=4x-2彳-（%>耳）的最小值_____________-

②已知0<x<（,则y=/（i-5x）的最大值.

③y=sinxcos2x,xG（0,—）的最大值__________________。

2

④若正数x,y满足x+2y=1,则,+工的最小值_____________________

xy

推广：①若a,b,c>0,则"+'+匕出而（当且仅当。=b=c时取等号）

3

基本变形：a+b+c>；（"+；+与3>；

Z7-4-d-4—•••*4―f

②若火,。2,…，>0，则=-------------二■…%（当且仅当〃]=。2=..•二。”时取等号）

n-

三、绝对值不等式：<<<

注意:Ia+匕1<1aI+16Io；Ia+Z?1=1aI+I/?1<=>；

\a-b\<\a\+\bl<=>；\a—b\=\a\+\bl<=>；

\a\-\b\<\a+b\<^>；\a\-\b\=\a+bI—；

\a\-\b\<\a-bl<=>；\a\-\b\=\a-b\<^>；

四、常用的基本不等式:

（1）设。/£尺，则。2N0,（〃—b）220（当且仅当时取等号）

（2）\a\>a（当且仅当时取等号）；\a\>-a（当且仅当时取等号）

3322

(3)若〃>0,Z?>0,MiJ6f+/?>ab+ah；(4)a,b,cGR,则〃？+/??+c?2Q/?+/?C+CQ

(5)若a,b,c£R,则3(一b+bc+ca)V(a+b+c)?<3(/+b2+c2)

(6)柯西不等式：设。],02,61，匕2eR，则(a/]+。2〃2)2<+。22)3「+%2)

———一一2f2

注意：可从向量的角度理解：设。=(%,。2)力=(%/)，则06)2W。b

/、，，c1111

(7)a>b,ah>0=>—<—i—<—o________________；

abab

/c、,八八+u-b.bb+mb.bb+m

(8)a,b>0,/?2€R>若一<1,ni则l一<-----；若"一>1,则nil一〉------；

aaa+maaa+m

五、证明不等式常用方法：

A

(1)比较法：①作差比较：A-B<0^>A<B；②作商比较：一21(3〉0)=428

B

作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数(或式)作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

(2)综合法：由因导果。

(3)分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……

(4)反证法：正难则反。

XQ—般法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

磁法的方法有：

(1)添加或舍去一些项,如：yja2+1>|a|；+>n

(2)将分子或分母放大(或缩小)

(3)利用基本不等式,如：log3.1g5〈(思与峻>=lg屏<1g丽=1g4；+<2+；+1)

⑷利用常用结论:

T7八n+bb+m

I>a>b>O.meR<-------；

aa+in

n、J&+1_>Jk=_[—f=<—f=；

VTH+VT24k

11111111工1、

THTIT、——<-------=---------；-r->---------=---------(程度大)

k2k(k-l)k-lkk2k(k+\)k&+1

IV、-=-----------=•-(---------)；(程度小)

Ek2-1(2—1)(4+1)2k-\攵+1

V、—r=<-j=---/=2(-J左-1)；­f=>—j=---/

4k4k+Nk-\y[k4k+〃+1

(6)判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的根据其有实数解或无解建立不等式关

系。

1Y24-X+13v2-J-Y4-1

如：证明土七«三,可转化为求函数旷二三芋2的值域。

2x2+l2x2+l

元法三换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

如：

已知/+丁2=。2,可设x=acos6,y=asin。；

已知/+y2<1,可设x=rcosff.y=rsin^(O<r<1)；

X2V2

已知一=可设x=QCOs0,y=/?sin。；

ab-

X2y2

已知r--=1，可设x=asec。,y=/?tan。；

a2h2

(8)构造法：通过构造函数、方程、数列、复数(向量)或不等式来证明不等式；

六、不等式的解法：

(1)如果两个不等式的解集相等，那么这两个等式就叫做同解不等式，解不等式主要是依据不等式的性质和同解变形

原理，求解原不等式的同解不等式。

(2)不等式的同解原理主要有：

1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。

2、不等式两边都乘上(或除以)同个正数或同•个大于零的整式，所得不等式与原不等式同解。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后，所得不等式与原不等

式同解。

(3)一元一次不等式：

I、ax〉H0)：⑴若a>0,则；⑵若a<0,则；

II、ax<h(a0)：⑴若a>0,则；⑵若a<0,则：

(4)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；

注：要对△进行讨论：

I、ax2+bx+c>0(a>0)：

(1)；(2)；(3)；

IIax2+bx+c<0(a>0)：

(1