高考数学实验班学生辅导练习题

专题一含参数导数问题的分类讨论

导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数

问题几乎是每年高考的必考试题之一.随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题

成为了历年高考命题的热点.由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论,

如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点.

模块1整理方法提升能力

在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见

的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性.对于含参数导数问

题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：

分类讨论点1：求导后，考虑:(力=0是否有实根，从而引起分类讨论；

分类讨论点2：求导后，/'(x)=0有实根，但不清楚尸(x)=0的实根是否落在定义域内,

从而引起分类讨论；

分类讨论点3：求导后，r(x)=O有实根，/(x)=0的实根也落在定义域内，但不清楚

这些实根的大小关系，从而引起分类讨论.

以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问

题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论.因此，对含参数的导数问题的分类讨

论，还是有一定的规律可循的.当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时

的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类

讨论，需要灵活把握.

©例1

设a>0,讨论函数/(力=111>+a(1-4)的一2(1-的单调性.

【解析】/(%)的定义域是(0,+oo)./,(%)=—+26/(1-«)%-2(1-67)

2Q(1一2(1一Q)X+1

——11•

X

令g(x)=2a(l—a)--2(l—a)x+l,则f'(x)=0的根的情况等价于g(x)=O的根的情

况.由于g(x)的函数类型不能确定，所以需要对a进行分类讨论从而确定函数的类型.

(1)当a=l时，g(x)是常数函数，此时g(x)=l,r(x)=J>0,于是在(0,+8)

上递增.

(2)当axl时，g(x)是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1——/"(x)=0是

否有实根的问题.由于g(x)不能因式分解，所以我们考虑其判别式△=4(a-l)(3a-1),判

别式的正负影响到g(x)=O的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：①当A<0,即

时，g(x)=O没有实根；②当△=(),即a=g时，g(x)=O有两个相等的实根；③

当△>(),即0<“<g或a〉l时，g(x)=O有两个不等的实根.

对于第①种情况，g(x)=O没有实根且永远在x轴上方，于是f'(x)>0,所以在

(0,+oo)上递增.

对于第②种情况，g(x)=o有两个相等的实根x=于是尸(x)ZO,所以/(x)在(0,一)

上递增.

对于第③种情况，g(x)=O有两个不等的实根，百=」--也可牛】和

2a2a[l-a)

x,」+皿'])(3〃1).由于不知道两根是否落在定义域(0,y)内，因此要考虑讨论点2,

2a2a(\-a)

而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法.

因为玉+工2=,，X\X2=一7-——7，所以当时，有％+W>0且匹M>0,此时

a2a\\-a)3

两个根都在定义域内切0<西v%(因为X与W的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点

3).由广(』)>0可得0<%<%或%>%2,所以/(%)在(0,%)和(町+8)上递增;由/'(x)<0

可得芭所以f(X)在(外,太2)上递减.

当时，有玉+玉>。且演工2<°，此时工2<0<11，由/'(X)>O可得OVX<X],所以

/(%)在(0,%)上递增;由r(x)v0可得X",所以f(x)在(％,+00)上递减.

综上所述，当0<a<g时，/(同在(0,王)和(々,+8)上递增，在(再,声)上递减;当;

时,“X)在(0,+oo)上递增;当时,在(0,%)上递增,在(对一)上递减.其中

_1-_1-1)(3〃-1)

12a2a(1-o)22a2a(\-a)

【点评】只要按照3个分类讨论点进行思考,就能很好地处理含参数导数问题的单调性.此

外，涉及两根与0的大小比较的时候，利用韦达定理往往比较简单.

©例2

已知函数/(x)=lnx-Ax+k(A:eR).

(1)求〃x)在［1,2］上的最小值；

(2)若In对xe(-1,1)恒成立，求正数a的最大值.

1—kx-4-1

【解析】(1)定义域为(。,+8),广(另=，一%=上1.

XX

法1：①当上=0时，r(x)=J>0,函数f(x)在［1,2］为增函数，所以

［f(x)L"⑴=。

②当时，令/'(x)=0可得x=：.

(i)当，<0,即％<0时，/'(x)>0在［1,2］上恒成立，函数，(x)在［1,2］为增函数，所

k

以上(乩=/(1)=0・

(ii)当0<31,即女-1时,-)40在［1,2］上恒成立,所以“X)在［1,2］为减函数,

k

所以［〃x)l「〃2)=In2-底

(iii)当即时,尸(力20在［1,2］上恒成立,所以〃x)在［1,2］为增函

k2

数，所以Mx)L=/(1)=o-

(iv)当1<，<2,即时，由/(x)>0可得,由//(x)<0nJW-<x<2,

所以在11

上递增，在上递减.于是f(x)在［1,2］上的最小值为"1)=0或

f（2）=ln2-&.当0<1112—左，即;<A<ln2时，"⑴=0；当0wln2—%,即

ln24%41时，=/（2）=ln2—2.

综上所述，当Z<ln2时，［〃刀0而产/⑴=。；当左AiE时，

法2：①当"0时，/'(x)>0,函数f(x)在［1,2］为增函数，所以［/(x)L,=〃l)=O.

②当4>0时，由/'(x)>0可得0<同，由((x)<0可得x>/所以"X)在卜).上

递增，在(:,也)上递减.于是“X)在［1,2］上的最小值为/(1)=0或〃2)=ln2-k.

⑴当0<ln2—左，即0<C<ln2时,［/(%)］，n=/(l)=0.

(ii)当021n2—%,即ZNln2时，［/(x)］.=〃2)=ln2—.

综上所述，当&<ln2时，［〃x)［、=〃l)=0；当ZNiE时，［/(力入=〃2)=ln2-Z.

(2)解答详见专题三例1.

【点评】处理好函数的单调性，就能求出函数的最值.法1是按照常见的3个分类讨论

点进行讨论：当&=0时，广(x)=0没有实根.当%#0时，尸(x)=0有实根x=L此时需

k

考虑根在不在定义域［1,2］内.当』<0或0<』Wl或,22时，根都不在定义域内(把』=1和

k.kkk

：=2并在里面是为了减少分类的情况)；当1<：<2时，根在定义域内，由于定义域内只有1

个根，所以就不用考虑第3个分类讨论点了.法2是根据式子和题目的特点进行分类：由

/'(同=：—A可知当ZW0时，“X)在［1,2］上递增；当％>0时，/(x)在(0,+QO)上先增后减,

所以最小值只能在/(1)或/(2)处取到，此时只需要比较两者的大小就可以了.由于法2是根

据式子和题目的特点进行分类的，所以能减少分类的情况.

©例3

设函数/(%)=%」+bln(x+l),其中6工0.

(1)当匕〉(时，判断函数“X)在定义域上的单调性；

(2)当8x0时，求函数/(x)的极值点.

【解析】(1)函数/(犬)=X2+61n(x+l)的定义域为(-l,+oo),

/⑴=2x+g=2、+j：+令g(x)=2x2+2x+6,则△=4—88.当6>g时，A<0,

所以g(x)在(T,+oo)上恒大于0,所以尸(x)>0,于是当时，函数“X)在定义域

上递增.

(2)首先考虑g(x)=0是否有实根.

①当AvO,即时，由(1)知函数/(x)无极值点.

②当△=(),即匕=g时，g(x)=O有唯一的实根，g(x)>0,于是/(x)20在(T+oo)上

恒成立，所以函数“X)在(-1,+8)上递增，从而函数f(x)在(-1,+8)上无极值点.

③当△>(),即6<工时，g(x)=0有两个不同的根玉=上曰二丝，,=T+g_2J

其中芭<9.这两个根是否都在定义域(-1，转)内呢？这需要对参数匕的取值进一步分类讨

论.

当b<0时，X,<-1,.==1+?13>-1,由((力>0可得x>X2，由

/(x)<0可得—1<X<X2,所以在(一1,々)上递减，在(%,+0。)上递增，所以当8<0时,

“X)在(-L+8)上有唯一极小值点/=———■•

当0<%<g时，X,>-1,.=.T+?二竺〉由尸(x)>0可得

一1VXVX］或1>工2，由/'(X)<O可得芭<工<々，所以)(X)在(T,%)上递增，在(%,工2)上

递减，在(々，一)上递增，所以当0<}<g时，“X)在(-1,+8)上有一个极大值点

—1—J1—2b工人士口।/古上—1+J1—2b

X,=---------和一个极小值点冗2=---------•

综上所述，当。<0时，在(-i,+w)上有唯一的极小值点々=土弓3；当

0<6<g时，/(X)有一个极大值点％=二1二］§和一个极小值点w=二1NJ当

bzg时，函数“X)在(-1,+00)上无极值点.

【点评】当g(x)=o有两个不同的根X产土手药和入2=士亭羽的时候，由于

x,<x2,所以只需要考虑讨论点2,判断这两个根是否都在定义域(-1,+8)内就可以了，显然

X2>-1,因此只需对芭作判断就可以了.判断的方法有三种，第一种方法是待定符号法，将为

_1_Jl_2hI----/---

与一1之间的大小符号待定为W,则有——----W1=-1-V1-2&W-201Ml-2bo

1W—»oZAM),所以当0<匕<］时，x,>-1；当匕<0时，x,<-1.第二种方法是韦达定

理，判断X、乙与T的大小关系等价于判断±+1、x,+l与0的大小关系，由此把韦达定理

X+招=—1(X1+1)+伍+1)=1

b

=调整为，、，、〃，此时的判断就变得十分容易了.第三种方法是利用

2-(%+力&+1)=不

二次函数的图象，g(x)是开口方向向上，对称轴为x=-』的二次函数，与丫轴的交点是(0功)，

由图象可知当0<5<g时%>—1,当6<0时

模块2练习巩固整合提升

练习1：设函数/(x)=alnx+；3,其中a为常数.

(1)若a=0,求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)讨论函数“X)的单调性.

71

【解析】（1）当a=0时，/（x）=—xe（o,+oo）.此时/（X）=,于是尸⑴=

''x+l（x+l）-2

/(1)=0,所以曲线y=/(x)在点处的切线方程为x_2y_l=0.

(2)函数〃x)的定义域为(0,+oo),7⑺，++2(4+乎+4

X(x+l)~x(x+l)~

①当aNO时，/'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+8)上递增.

②当a<0时，令g(x)=ox2+2(a+l)x+a,则△=4(a+1y-4/=4(2a+l).

(i)当g时;A<0,所以g(x)40,于是尸(x)40,所以函数在(0,+。。)上

递减.

(ii)当一，<。<0时，△>(),此时g(x)=O有两个不同的根，.=(a+l)+―2a+1,

2a

一+-J2a+1__.De..।ix/\.

下判断％、%是否在定义域（。，0内，

X2=---------------------,X,<^.8）

法1：（待定符号法）二（"'）+--2”+4）。（”+1）-侬+lW）oa+IWs/2a+1o

(a+l)3W2a+l<^a2W),由于a>0,所以百>0.

2(a+l)

法2：(韦达定理)由再+々=-->°可得。<不<々.

xix2=1>0

法3：(图象法)g(x)是开口方向向下的抛物线，对称轴为—空1>0,g(0)=a<0,由

a

图象可知玉、马都在定义域(°，+00)内.

当0cxe玉或工>々时，有g(x)<。，/r(x)<0,所以函数/(x)递减；当尤2时，

有g(x)>。，/r(x)>0,所以函数/(x)递增.

综上所述，当时，函数/(X)在(0,+8)上递增；当时，函数“X)在(0,+oo)

上递减;当」■<♦<()时,函数/(无)在0,--],(--,+8]」二

2Ia)[aJ

递减，在卜(〃+1)+后1一(〃+1)一历斤]上递增.

aa

\7

练习2：设函数/(x)=ln(x+a)+X2.

(1)若当x=-1时，“X)取得极值，求〃的值，并讨论八司的单调性;

(2)若f(x)存在极值，求。的取值范围，并证明所有极值之和大于ln|.

【解析】(1)由/'(-1)=0解得a=3,此时f\x)=—与+2x=2xf,由广⑴>()

一x+—x+—

22

31由尸(x)<()解得所以/(x)在区间,

解得—<x<—1或x>—，

22

1;收)上递增，在区间(T-£|上递减.

(2)〃x)的定义域为(-a,+8),/f(x)^2A-+2—1,记g(x)=2x2+2ax+l,其判

x+a

别式为A=4/—8.

①若A<0,即-及夜时，尸(x)20在(-4,+00)上恒成立，所以/⑺无极值.

②若△>(),即a>0或血时，g(x)=0有两个不同的实根改=一"一和

玉+工2二一。(x,+°)+(々+a)=a

x=~a+^，2~~,且不＜々，由韦达定理可得,

21，即<1.

X.•x=—(X|+a)G+a)=]

.92

(i)当。〈一及时，有％+。＜0,x+a＜0即为＜一。，从而(在

2fx2<-a,(x)=0

(-a,+8)上没有实根，所以f(x)无极值.

(ii)当血时，有百+。＞0,x+a＞0,即石＞-a,从而/'(力在

2x2>-a,=0

(-4+8)上有两个不同的根，且“X)在x=x，了=々处取得极值.

综上所述，“X)存在极值时，a的取值范围为(直,+8).〃x)的极值之和为

口[(玉而

/(xl)+/(x2)=ln(x1+a)+^+ln(x2+a)+x；=1+a)(x2+a)]+(X]+/)-2xtx2，

2工用=(一2所以

In[(%1+a)(w+a)]=ln；,(%+x2)-2-2xg=a-1,

2

/(xl)+/(x2)=ln^+a-l>ln|+l=ln|.

练习3：已知函数/(x)=e*-ax2_法-1,其中“、beR,e=2.71828为自然对数的

底数.

(1)设g(x)是函数的导函数,求函数g(x)在区间［0,1］上的最小值;

(2)若f(l)=0,函数/(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围.

【解析】(1)g(x)=f\x)=e-2ax-b,g'(x)=e=2a.因为xe[0,l],所以

\-2a<^Z(x)<e-2tz.

①若2心1,即时，有g'(x)=e，-2a20,所以函数g(x)在区间[0,1]上递增，于

是[g(吼in=g(°)=j.

②若1<2a<e,即5<a<5时，当0<x<ln(2a)时，g'(x)=e'一2。<0,当ln(2tz)<x<l

时g，(x)=ex-2a>0,所以函数g(x)在区间(0,ln(2a))上递减，在区间[ln(2a),l]上递增，

于是[<?(-^)]inin=8[ln(26/)]=2a-2aIn(2a)—b.

③若2aNe,即时，有g，(x)=e'-2a«0,所以函数g(x)在区间[0,1]上递减，于

是[g(x)L,=g(l)=e-2a-b・

l-b,a<—

2

]e

综上所述，g(x)在区间［0』上的最小值为［g(x)h=,2a-2a\n^2a^-b,—<a<—

->e

e-2a-b,a>—

(2)法1：由"1)=0可得e—〃—b—l=0,于是/?=e—Q—l,又/(0)=0,所以函数/(x)

在区间(0,1)内有零点，则函数/(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间.

由(1)知当awg或aw］时，函数g(x)即尸(X)在区间［0,1］上递增或递减，所以不可

能满足“函数””在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.

则[g(x)]n=2Q-2oln(2。)一〃二3〃一2〃ln(2〃)一e-l.令

/?(x)=3x-2xln(2x)-e-1(Jcxc]),贝U〃[x)=l-21n(2x).由”(工)>()可得3<了<^^,

由〃(x)<0可得当<x<|,所以〃(x)在区间(g,制上递增，在区间卜叵，父上递减，所

22

Ve

以0(切2=〃=3-2In—e—1=Ve—e—1<0,即[g(x)].<0,

g(0)=2—e+4〉0

于是函数〃x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间。<，由此解得

e-2<a<l,又因为<士，所以e—2<a<l.

22

综上所述，Q的取值范围为(e-2,1).

法2：由/(l)=0可得e-a-b-l=0,于是力=e-a-l,又f(0)=0,所以函数g(x)在

er__|_1

区间(。,1)上至少有两个零点.g(x)=0=e、-2奴一©+〃+1=0=.=-----e--,所以g(x)

2x—1

A

e_e-L1%e;』)的图象至少有

在区间(0』)上至少有两个零点0y=〃与Z(x)=2;；1H

两个交点.

2xe'-3e'+2(e-l)

Z'(x)=,令p(x)=2xe*-3e*+2(e-l),则p'(x)=e'(2x-l),由

(21)2

“(》)>0可得工>3,由p'(x)<0可得所以p(x)在(0,£］上递减，在(；/)上递增,

PA

e-2

=p(；］=2e-2&-2>0,所以,于是

心）在尾］上递增，在上1也递增.因为％（O）=e-2,

2

1-1+

^(1)=1,当X-5时，女(力—>+00,当X.］时，/：(%)->-00,

于是y=a与攵（力二2c；

I,1的图象有两个交点时，a的取值范围是

（e-2,1）.

专题二函数零点问题

函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰

富的数形结合思想.诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数

零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐

多样化，备受青睐.

模块1整理方法提升能力

对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点.

对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）.其

中以一平一曲的情况最为常见.

分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直

接考虑函数/（X）的图象与x轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用

零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数.

0函数的凸性

1.下凸函数定义

设函数f（x）为定义在区间（a,b）上的函数，若对（a,b）上任意两点七，总有

/（七斗/（'）；/⑷,当且仅当王=々时取等号，则称“X）为（4,。）上的下凸函数.

2.上凸函数定义

设函数〃x）为定义在区间（”力）上的函数，若对（a,b）上任意两点不，马，总有

■卜/("；/⑷,当且仅当为=々时取等号，则称“X)为(凡与上的上凸函数.

3.下凸函数相关定理

定理：设函数”X)为区间(a,b)上的可导函数，则/(力为®b)上的下凸函数o7(%)

为(。力)上的递增函数o/"(x)20且不在⑼的任一子区间上恒为零.

4.上凸函数相关定理

定理：设函数〃x)为区间(。力)上的可导函数，则为(a,b)上的上凸函数o尸(x)

为(。力)上的递减函数o/〃(x)40且不在(。/)的任一子区间上恒为零.

。例1

已知函数/(x)=ae2x+(a-2)e*-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若〃x)有两个零点，求a的取值范围.

【解析】(1)f\x)=2ae2v+(a-2)e'-1=(2ev+l)(ae'-1),2ev+l>0.

①当a<0时，aer-l<0,所以尸(x)<0,所以/(x)在R上递减.

②当a>0时,由尸(x)>0可得x>InL由/'(x)<0可得xclnL所以f(x)在

aa

上递减，在1n，,+co)上递增.

(2)法1：①当〃<0时，由(1)可知，"X)在R上递减，不可能有两个零点.

②当a>。时,[/(x)Ln=/(lnJ=T+lna,令g(a)=[/«L，则

g，(a)=4+1>0,所以g(a)在(0,+oo)上递增，而g(l)=0,所以当aNl时，

g(a)=[/(x)]minNO,从而/(x)没有两个零点.

当0<a<l时，/fln-k(),/(—1)=刍+0+1—2>0,于是/(x)在上有1个

Va)eee\a)

零点；因为fIn(。-1)=a(3—1)+(a—2)(。—1)—ln(。—1)=(。—1]—In13—1]>0,且

ln^--l^>ln^—j,所以/(x)在卜nL+oo)上有1个零点.

综上所述，。的取值范围为（0,1）.

法2：ae2'+(a-2)e(-x=0<»ae''+aex-2e'+xoa-+X.令g(x)=

e+eve+e

则，()(2er+l)(e2A+ev)-(2ev+x)(2e2x+ex)e*(2e*+l)(e*+x-l)

，令

(e2x+e')-(e2x+er)2

〃(x)=e*+x-l,则/f(x)=e*+l>0,所以〃(x)在R上递增,

而力（0）=0,所以当x<0时，力（x）<0,当x>0时，/7（A-）>0,

于是当x<0时,g<x)>0,当x>0时,g,(x)<0,所以g(x)

在（TO,0）上递增，在（0,+o。）上递减.g（0）=l,当x->-oo时,

g（x）->-8,当xf400时，g（x）->0+.若/（X）有两个零点，则y=a与g（x）有两个交点,

所以a的取值范围是（0,1）.

法3：设，=e'>0,则％=lnr,于是%=0=〃/十/=？…］。，u>

(2+；j«2+f)(2f+inf)(2f+l)

2t+\nt人、2r+Inr

”=^77,令G(f)=^y，则G'(fx)=

任+4

(2z+l)(r-l+lnr),令”(r)=f—1+lnf,贝iJ“'(z)=l+；>0,

-2+t

所以。在（0,+00）上递增，而4⑴=0,所以当0</<1时,

H(r)<0,G,(/)>0,当r>l时，"(f)>o,G,(r)<0,所以

G（。在（0,1）上递增，在（1,+8）上递减.G（l）=l,当/.0+时,G(f)当t—>-HX）时，

G(r)->0+.若/(x)有两个零点，则y=a与G(f)有两个交点，所以a的取值范围是(0,1).

法4：设，=e”>0,则x=hu,于是Qe2x+(a-2)eX-x=0oa『+G_21_inf=0=

a(r+l)—2=手.令Mf)=a(f+l)—2,*)=}则/(另有两个零点等价于y=%(。与

y=S(f)有两个交点.因为“(，)=1,由“(f)>0可得0<r<e,由s'(f)<0可得r>e,

所以9⑺在(0,e)上递增，在(e,+QO)上递减,(p(e\--,当x一四时，^»(/)->0+.y=&(/)

e

是斜率为a,过定点A(-l,-2)的直线.

当了=人(，)与卜=。(/)相切的时候，设切点户&,%)，则有

_Int„

y°~~

%=a&+l)-2,消去a和%,可得也=+1)-2,

..’0‘0

1-Inr0_

大一

即(2to+1)(In+J—1)=0,即Inf()+f()—1=0.令p(7)=lnf+f—1,

显然P(r)是增函数，且"1)=0,于是f0=l,此时切点P(l,0),斜率a=l.所以当y=&(/)

与y=c(/)有两个交点时,0<。<1,所以”的取值范围是(o,i).

法5：y(x)=0<»a(e2t+e')=2er+x,令M(x)=a(e2*+e*),/n(x)=e2x+e',

”(x)=2e*+x,则f(x)有两个零点=M(x)与〃(x)的图象有两个不同交点.

机(0)=〃(0)=2,所以两个函数图象有一个交点(0,2).令

T(x)=机(x)-=d*—e*—x,则r(x)=2e2j-ev-l=(2e'+l)(er-l),由T'(x)>0可

得x>0,由T'(x)<0可得x<0,于是T(x)在(YO,0)上递减，在II

(0,+<»)上递增，而T(0)=0,所以因此与〃(x)\l

相切于点(0,2),除切点外，m(x)的图象总在〃(x)图象的上方.m(xJ\

由⑴可知，a>0.„(.v)/o|-------二

当。>1时，将，“(X)图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的〃倍，就得到了

M(x)的图象，此时M(x)与〃(x)的图象没有交点.当a=l时，制了)的图象就是M(x)的图

象，此时M(X)与〃(X)的图象只有1个交点.当0<4<1时，将7"(x)图象上每一点的横坐标

固定不动，纵坐标变为原来的。倍，就得到了M(x)的图象，此时加(x)与〃(x)的图象有两

个不同交点.

综上所述，”的取值范围是(0,1).

法6：/(x)=0oa(e2x+e')=2e'+xoa(e'+l)—2=三，令p(x)=a(e*+1)-2,

4(x)=/,则f(x)有两个零点op(x)与q(x)的图象有两个不同交点.

,(x)=F，由/(x)>0可得X<1,由d(x)<0可得x>l,所以q(x)在(-8,1)上递

增，在(1,+co)上递减，当x->+<»时，</(%)—>0+.

由(1)可知，a>0,所以p(x)是下凸函数，而q(x)是

上凸函数.当p(x)与g(x)相切时,设切点为尸(%,%),则有

x

y0=a(e°+1)-2

,消去。，%可得+1)-2叠即（2e%+l）（e*+不-1）=0,

即己+无一1=0.令W(x)=e*+x-1,显然是增镯数，而W(0)=0,于是%=0,此

时切点尸(0,0),a=l.所以当p(x)与g(x)的图象有两个交点时，0<a<l,所以a的取值

范围是(0,1).

【点评】函数零点问题，其解题策略是转化为两个函数图象的交点，三种方式中(一平

一曲、一斜一曲、两曲)最为常见的是一平一曲.法1是直接考虑函数/(X)的图象与X轴的

交点情况，法2是分离参数法，法3用了换元，3种方法的本质都是一平一曲，其中法3将指

数换成了对数，虽然没有比法2简单，但是也提示我们某些函数或许可以通过换元，降低函

数的解决难度.法4是一斜一曲情况，直线与曲线相切时的。值是一个重要的分界值.法5

和法6都是两曲的情况，但法6比法5要简单，其原因在于法5的两曲凸性相同而法6的两

曲凸性相反.

函数零点问题对函数图象说明的要求很高，如解法2当中的g(x)是先增后减且极大值

^(0)=1,但Xf-8和xf+8的状态会影响。的取值范围，所以必须要说清楚两个趋势的

情况，才能得到最终的答案.

©例2

设函数设£,(x)=x+/++xn-1,/?eN*,n>2.

(1)求《(2)；

(2)证明:力⑴在内有且仅有一个零点(记为％),且()<《,-

【解析】(1)因为£：(x)=l+2x++nx"T,所以£'⑵=1+2x2++〃-2"T…①.由

2力'⑵=2+2x2?++〃-2"…②，①—②，得—£：(2)=1+2+22++2n-'-n-2"=

1_

所以<'⑵=(〃-1)2"+1.

1—2

【证明】(2)因为/(O)=-l<(),f

n2

3

由零点存在性定理可知((X)在爪内至少存在一个零点.又因为

力'(x)=l+2x++加1>0,所以£,(x)在［0,1)内递增，因此<(x)在［0,|)内有且只有

一个零点%.

由于£x~^-1,所以—^-1=0,由此可得%=；+9可”，即

1-xan22

%-g=•因为0<%<|，所以。<；a:<余『，所以0<1：川mTlJ，

所以o«W停｝

【点评】当函数/(x)满足两个条件：连续不断，f(a)f(b)<0,则可由零点存在性定理

得到函数f(x)在(。力)上至少有1个零点.零点存在性定理是高中阶段一个比较弱的定理，

首先，该定理的两个条件缺一不可，其次，就算满足两个条件，也只能得到有零点的结论，

究竟有多少个零点，也不确定.零点存在性定理常与单调性综合使用，这是处理函数零点问

题的一种方法.

©例3

己知函数/（x）=ev-ln（x+/??）.

（1）设x=0是的极值点，求用，并讨论“X）的单调性；

（2）当〃?W2时，证明：/（x）＞0.

【解析】（1）r（x）=e，一一匚，由x=0是“X）的极值点，可得尸（0）=0,解得机=1.于

x+m

是/（x）=e，-ln（x+l）,定义域为（一1,+oo）,/'（x）=e，--—,则/"（x）=e，+—^＞0,

x+l（X+1）

所以r（力在（T+00）上递增，又因为广⑼=0,所以当一IcxvO时当x＞0时

,f（x）＞0,所以/（力在（—1,0）上递减，在（0,+8）上递增.

【证明】（2）法1：4X）定义域为（一九+＜»）,/7x）=eA------，

x+m

/"（x）=e*+—，＞0,于是尸（x）在（-肛+oo）上递增.又因为当xf—M时，

（x+机）-

/'（九）--00，当Xf+8时，/所以/（无）=0在（一加,+CO）上有唯一的实根与,

当TWVXVXo时，/（x）＜0,当X〉/时，/'（力＞0,所以〃工）在（一八/）上递减，在（%,+00）

上递增，所以当％=%时，"X）取得最小值.

由/'（工0）=。可得e%---：—=0,即ln（%+加）=一40，于是

x=e

f(o)^一ln(xo+m)=------i-x0=-----+xQ+m-m>2-m.当机<2时，/(x0)>0；

x0+mxQ+m

当机=2时，等号成立的条件是％=-1,但显然。一1H—。0,所以等号不成立，即

（T）+2

综上所述，当机W2时，/（x）＞/（xo）＞O.

法2：当mW2,xw(-机,+oo)时，ln(x+/w)<ln(x+2),于是〃x)2e"-ln(x+2),所

以只要证明0(x)=e“-ln(x+2)>0,xe(-2,+oo),就能证明当口42时,/(x)>0.

"("=，'一堂’.a)=e*+([)2>。，于是d(x)在(一2,+8)上递增’又因为

d(-l)=：-1<0,^(0)=1-1>0,所以“(x)=0在(—2,+oo)上有唯一的实根与,且

x0€(-1,0).当一2cx时，9'(无)<0,当A：>/时,“(x)>0,所以9(x)在(一2,X0)上递

减，在(%,+oo)上递增，所以当x=x0时，8(尢)取得最小值.

1

由“(x°)=0可得e闻—=0BPln(x0+2)=-xQ于是

与+2

J。,

*(%)=e&Tn(x0+2)=—5―+%=于是9(%)之9(4)>0.

•X"()I/*^0+乙

综上所述，当时，/(%)>().

法3：当m42,xe(T7?,+8)时，ln(x+m)<ln(x+2),于是/(x)2e*-ln(x+2),所

以只要证明e*-ln(x+2)>0(x>-2),就能证明当时，/(x)>0.

由InxWx—1(x>0)可得ln(x+2)Vx+l(x>-2),又因为e*21+x(xeR),且两

个不等号不能同时成立，所以e'>ln(x+2),即e'-h(M2>0(x>-2),所以当〃区2时，

/(x)>0.

【点评】法1与法2中出现的x°的具体数值是无法求解的，只能求出其范围，我们把这

种零点称为“隐性零点”.法2比法1简单，这是因为利用了函数单调性将命题e*-In(x+胴)>0

加强为e,-ln(x+2)>(),转化为研究一个特例函数的问题，从而大大降低了题目的难度.

法2中，因为夕(％)的表达式涉及e与、ln(x0+2),都是超越式，所以夕(修)的值不好计

算，由此，需要对“隐性零点”满足的式子e*。-一二=0进行变形，得到两个式子e*=」一

%+2X。+2

和ln(/+2)=