高等数学学习介绍

第一讲高等数学学习介绍、函数

教学目的卜了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函

数的分解。

重难点|:数学新认识，基本初等函数，复合函数

教学程序|:数学的新认识一＞函数概念、性质（分段函数）一＞基本初等函数一＞

复合函数一,初等函数一〉例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）

授课提要：

前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行

复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型,是事物普遍联系的定量

反映。高等数学主要以函数作为研究对象,因此必须对函数的概念、图像及性质

有深刻的理解）。

一、新教程序言

1、为什么要重视数学学习

（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是

现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；

（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左

脑）有全面的作用；

（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活

和工作的一种能力和技术；

（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一

生提供持续发展的动力。

2、对数学的新认识

（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思

想和方法，是推动人类进步的重要力量；

（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方

法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。

（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而

培养人的“一般素质”。[见教材“序言”]

二、函数概念

1、函数定义:变量间的一种对应关系（单值对应）。

（用变化的观点定义函数），记：），=/*）（说明表达式的含义）

(1)定义域：自变量的取值集合(D)。

(2)值域：函数值的集合，即｛y|y=/(x),x€。

例1、求函数y=InQ-，)的定义域？

2、函数的图像:设函数y=/(x)的定义域为D,则点集｛(x,y)|y=/(x),xe。｝

就构成函数的图像。

例如：熟悉基本初等函数的图像。

3、分段函数:对自变量的不同取值范围，函数用不同的友达式。

例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。

分段函数的定义域:不同自变量取值范围的并集。

X2r<0c

例2、作函数/(x)='的图像？

2x,x>0

例3、求函数/(x)=的定义域及函数值/X-1)J(O)J⑴？

1,x<0

三、基本初等函数

丽:五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。

四、复合函数：设y=f(u),u=g(x),且与x对应的u使y=f(u)有意义，则y=f［g(x)］

是x的复合函数，u称为中间变量。

说明卜(1)并非任意儿个函数都能构成复合函数。

如：y=ln”,“=-/就不能构成复合函数。

(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。

(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。

例5、设/(x)=，,g(x)=2,,求〃g(x)),g(/(x))?

例6、指出下列函数由哪些基本初等函数(或简单函数)构成？

(1)y-ln(sinx2)(2)y-e~2x(3)y--\/l+arctan2x

五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一

个表达式所表示。

谑画：(1)一般分段函数都不是初等函数，但y=|x|是初等函数；

(2)初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。

思考题:

1、确定一个函数需要有哪儿个基本要素？［定义域、对应法则］

2、思考函数的几种特性的儿何意义？［奇偶性、单调性、周期性、有界性］

3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？［不能］

探究题卜

一位旅客住在旅馆里，图1-5描述了他的•次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一

个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图1一5标上个

具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个

函数解析式表达出来吗？/\/

石国：函数本质上是指变量间相依关系的数V\/

学模型,是事物普遍联系的定量反映；复合函|图1-5Fl

数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事

物联系的多样性。

作业|：P4(A：2-3)；P7(A：2-3)

课堂练习(初等函数)

【A组】

1、求下列函数的定义域？

2

(l)y=7771(2)y="(3)y=log2(x-l)(4)y--^-+ln(4-x)

2、判定下列函数的奇偶性？

xx

(l)y=〃x)+〃—x)(2)y^e+e-⑶y=”+上〃为自然数)

3、作下列函数的图像？

丫2_]

(1)y=:~-(2))，=e-x⑶y=|sinx|

x-1

4、分解下列复合函数？

(1)y=(2)y=eSin，-(4)y=ln2(cosx)

Vl-sin3x

【B组】

1、证明函数〉=皿》+4r71)为奇函数。

2、将函数y=|x-1|+悟x-1|改写为分段函数，并作出函数的图像？

3、设/(犬+工)=3+—,求/1(X)?

xx

4、设八功=一一，求/"(x)]，/{/[/«]}?

1-X

数学认识实验：初等函数图像认识

1>幕函数：(如y=x,y=》2,)，=/)

2、指数与对数函数:(如y==Inx)

3、三角函数与反三角函数：(y=cosx,y=arccosx)

4、多项式函数：(y=$3-3x+3)

5、分段函数：(y=M)>=sgnx)

第二讲导数的概念（一）、极限与导数

教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。

重难阖：求极限，导数定义及由定义求导法

教学程序|:极限的定义及求法（例）一＞导数的引入（速度问题）一＞导数的概念

一〉导数与极限一＞基本初等函数的导数（定义法）一＞例子（简单）

授课提要：

前言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系（函数），本节将复习函数

的变化趋势（极限），在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数

是高数的重点,它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。

一、理论基础——极限（复习）

1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）

2、极限的四则运算法则（略）

3、求函数的极限（几类函数的极限）

(1)若/(x)为多项式，则lim/(x)=/(x°)

例1:求下列极限

(1)lim(x2+2x-l)(2)lim(x2+2x-l)(3)lim(x2+2x-l)

（2）若熟为有理分式且g（x0）HO,则期恐=击彳（代入法）

例2：求下列极限

x+1..x?-2x+2x2-1

lim⑵但下丁(3)lim

⑴XT12x—1XT1X+1

/（X）

（3）若分式g（x）,当x~*Xo时，/（4）=g（Xo）=O,则用约去零因子法求极限

例3：求下列极限

..%'-1..Jx+8-3+2x—3

⑴噌E⑵哂丁厂lim—

⑶X->1x-1

（4）若分式同，当时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法

求极限。

例4：求下列极限

22

1.x-1「x+2x—1-x—1

⑴hm--——hm---------(Q\hm--——

“，x->82x2—1⑵x-85x-12x—]

3、两个重要极限

「sin尤1

(i、hm----=10)lim(l+—=e或lim(l+x"=e

K17XTOx'乙'Xf8XA->0

说明：其中尤可以是“(X)的形式，且当Xf0时，"(x)fO。

例5：求下列极限

sin3x「sin3x-[.八3、x

⑴!山⑵盛赢7⑶盟(l+3x)'⑷&(1+?

x

二、导数定义(复习增量的概念)

引例1、速度问题(自由落体运动S=；g/)

引例2、切线问题(曲线y=%2)

以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数

)关于自变量》在某一点4处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极

限，这种特殊的极限就是函数的导数。

解决问题的思路：

1、自变量比作微小变化〃，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率

f=包，作为点与处变化率的近似值；

Ax

2、对歹求及-0的极限lim包，若它存在，这个极限即为点X。处变化率的

-Ax

精确值。

定义:设函数y=/(x)在/点及附近有定义，当x在与点取得增量Ax时，相

应函数取得增量Ay=/(/+-)-/(%),若当时，比值包的极限存在，

Ax

则称此极限值为“X)在X。处的导数或微商。记/'(X。)或虫|x=x0,即

dx

/,(x0)=lim/G+Ar)7K)=iim电

Ar—oAx21V—°AY

邈：(1)比值包是函数/(x)在bo，x°+Ax］上的平均变化率；而/'(%)是

/(X)在X。处的变化率，它反映函数在点X。随自变量变化的快慢程度；

..Ay

（2）若4%屋不存在（包括8），则称/（x）在X。点不可导；

（3）若/（x）在（a,b）内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记尸（x）,称

为导函数，简称导数。

（4）/*（%）是%的函数，而/'（xo）是一个数值，/1（%）在点X。处的导数/（%（））就是导函

数「（无）在点尤o处的函数值。

三、导数与极限的关系

导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-9有极限，反之不成立。

四、基本初等函数的导数（定义）

由定义知求函数导数的步骤：（三步骤）

（1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。

例6、由定义求函数y=C的导数？

例7、由定义求函数y=sinx的导数？（推导）

思考题|：

1、lim.是否存在，为什么？[0]

X->4<0X

2、若曲线y=d在。0，孔）处切线斜率等于3,求点（乙,%）的坐标。

sin（/—兀+xX）—1

3、已知（sinx）'=cosx,利用导数定义求极限lim-----------。[0]

探究题|：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法”

有什么体会？[近似转化为精确的数学方法]

注国：导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电

流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思度方法：（1）在小

范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”,获得近似值；（2）利用极限思想

使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性

形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线

的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。

作业|：P22（A：1-3；B：3-4）

课堂练习(导数的概念一)

【A组】

1、求下列极限

(x+l)3(2x-l)2

(1)lim(3)lim

A->0(2X+3)2⑵/—2x-x+3

arcsinx/八..arccosx

(4)lim(5)lim(l+2x)x(6)lim-------

102XXTOx—82x

求极限lim@+D"2X；D]?3、求极限：nm(l+巴严”？[e，

2、

XT8(2x+3)~X

4、已知lim(1+“x+2—x)=],求a的值？[2]

Xf8X+1

5、用导数定义，求函数/(》)=/_1在x=l处的导数？

6、设物体的运动方程为s=产+3,求(1)物体在t=2秒和t=3秒间的平均速度？

(2)求物体在t=2秒时的瞬时速度？

【B组】

1、设/(X)=，,求极限理+'—?[八x)=e」

2、设函数/(x)=lim(l+土y(xwO),<f(ln2)?[2]

r—>ccf

3、证明导数公式：(xay^oxa-'

4、一药品进入人体t小时的效力E='(9f+3/—J'owf=4.5,求t=2,3,4时

的效力E的变化率？

2尤3X<1

5、设/(x)=「x'.则Ax)祗=1处A。

x2,x>1

A、左右导数都存在B、左导数存在，右导数不存在

C、右导数存在，左导数不存在D、都不存在

6.若lim、⑶二/⑷=4(A为常数)，试判断下列命题是否正确。[全部]

•ix-a

(1)/(幻在点X=Q处可导；(2)“X)在点/=〃处连续；

(3)f(x)-f(a)=A(x-a)+o(x-a)；

数学认识实验：两个重要极限的图像认识

1、极限：物辛=1

2、极限：lim(l+—)'=e

xfgx

2004006008001000

3、等价无穷小的直观认识：(x->0,x〜sinx〜tanx)

第三讲导数的概念(二)

教学目的：熟悉导数基本公式；理解导数的儿何意义，会求切线方程。

重难点：基本导数公式，导数的几何意义(求切线方程)

教学程序|:复习导数定义一＞基本导数公式一＞例子(求导数)一＞导数的几何意

义一＞例子(切线方程)一＞导数的物理意义(例子)

授课提要：

一、基本初等函数的导数

例1、求y=/的导数？(由导数的定义推导)

于是我们有公式：(C)'=0；(x")'=axa-';(smxy^cosx

同样，由定义可得基本初等函数的导数公式：

(cosx)'=-sinx;(lnx)'=一;(ex)'=ex

x

二、导数的运算法则(u,v为可导函数)

1、代数和：("±y)'=M'±M

2、数乘：(ku)'=ku'

例2、求下列函数的导数

(1)y=2x2+3x-1(2)y=x2+—(3)y=3sinx-l(4)y-x24x

x

例3、求函数在给定点的导数值？

(1)y=tanx,x=兀(2)y=2ex+3x+2,x=1

三、导数的几何意义(作图说明)

结论:/'(X。)表示曲线y=f(x)在点(x°,f(x。))的切线斜率。

例4、求曲线y=在点(1,0)处的切线方程？

X-

例5、设f(x)为可导函数，且lim当二止义=1,求曲线kf(x)在点

XT。2x

(l,f(l))处的切线斜率？［导数定义及儿何意义］

四、导数的物理意义

结论:设物体运动方程为S=s(f),则s'⑺表示物体在时刻t的瞬间速度。

例6、设物体的运动方程为s=〃+2/+3,求物体在时刻t=l时的速度？

例7、求曲线y=x—3上一点，使过该点的切线平行于直线

2x-y+2=0o［x=3或x=-1］

例8、设某产品的成本满足函数关系：C(x)=/+x—3(x为产量)，求x=2时

的边际成本，并说明其经济意义。

思考题I：f'(x。)与"(x。)］，有无区别？"缶)=/'(到『，"(X。)］=。］

探究题|：导数/(x0)的值可不可以为负值？举例说明。［可以］

|小结卜导数的美学意义：局部线性之美(>=/(/)(%-4)+/(/))。它将

可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。

作业卜P25(A：1)；P28(A：1,3)

课堂练习(导数概念二)

【A组】

1、求下列函数的导数

22

(1)y=x(2)y=(3)y=2sinx(4)y=x^(5)y=3x-^-

2、求下列函数的导数

1_*

(1)y=1+x2-3x3(2)y=——:--:—(3)y=x+\nx(4)y=ex-2

x

3、求函数y="+2x在x=l处的导数值？

jr

4、设/(x)=r+2sinx+3，W(0)C

5、设物体的运动方程为s=2/+3r-1,求时刻t=3时的速度？

6、抛物线y=/在何处切线与Ox轴正向夹角为三，并且求该处切线的方程.

4

【B组】

1、一球体受力在斜面上向上滚动，在t秒末离开初始位置的距离为

5=%-产，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？

2

2、已知曲线y=±r尸4-1与y=l+lnx相交于点(1,1),证明两曲线在该点处

相切，并求出切线方程？

数学认识实验：导数的几何意义和美学价值

1、导数的定义(切线问题)

(1)在x=0处比较：曲线y=sinx与切线y=x；

(2)在x=l处比较：曲线y=/+i与切线y=2x。

第四讲求导公式与求导法则(一)

教学目的：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。

重难阖：基本导数公式与法则

教学程序|:基本公式一＞运算法则一＞例子一＞二阶导数的定义及求法

授课提要：

一、基本导数公式

由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：

(C)'=0;(x)'=l;(xay=ctxa-\(e')'=e'；(\nx\=-

X

(sinx)"=cosx;(cosx)r=-sinx;(tanx)"=sec2x;(cotx)'=-esc2x

二、导数的四则运算法则

设U、V为可导函数，则

1、(w±v)=〃±/2、(如)=ku'(kH0)

f

n/4/八UV-UVr,八、

3、\uv)=uv+uv4、一=--------("0)

例1、求下列函数的导数

2_V-2

(1)y-3x2-x+1(2)y---------(3)y=\nx-ex(4)y=excosx

x

例2、求函数在给定点的导数值？

(1)y-tanx,x=n(2)y=2ex+3x+2,x=1

例3、设y=/lnx,求证：xyf-2y=x2

例4、已知曲线y=xln6的切线与直线2x+2y+3=0垂直，求此切线方程?

三、二阶导数

1、定义：若导函数/(x)再求导数，称为“X)的二阶导数。记：/〃&)

2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。

例5、求下列二阶导数

1^2

(1)y=3x2-x+l(2)y=-------(3)y=lnx+e，(4)y=xex

x

3、二阶导数的物理意义

设物体的运动规律为：S=s(f),则丁⑺表示物体在时刻t的加速度。

例6、设物体的运动方程为：s=3/-2f+2,求t=2时的速度和加速度?

思考题卜

L思考下列命题是否成立？

(1)若/(尤)，g(x)在点X。处都不可导,则〃x)+g(x)点X。处也T定不可导.

答：命题不成立.

0,x<0,x,x<0,

如：/(x)=<g(x)=«

x,x>0,0,x>0,

f(x),g(x)在x=0处均不可导，但其和函数/(x)+g(x)=x在％=0处可导.

(2)若/(x)在点与处可导,g(x)在点X。处不可导，则/(x)+g(x)在点/处一定

不可导.

答：命题成立.

原因：若/(x)+g(x)在X。处可导，由/(X)在X。处点可导知

g(x)="(x)+g(x)］-/(X)在x0点处也可导,矛盾.

探究题卜

某产品的需求方程和总成本函数分别为P+0.1X=80,C(x)=5000+20%,其

中x为销售量，P为价格。求边际利润，并计算x=150和x=400时的边际利

润，解释所得结果的经济意义。［导数的经济意义］

小结|：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的

变化率。s'(f)指路程对时间的变化率，s"Q)指速度对时间的变化率。二阶导数的

儿何意义：反映曲线的凹向。

作业|：P30(A：1-2)

小知识卜数学的三次危机

第一次数学危机：无理数的产生。(单位正方形的对角线长)

第二次数学危机：微积分的产生和完善。(极限和无穷小的定义)

第三次数学危机：集合论的产生。(罗素悖论)

课堂练习(导数公式与法则一)

【A组】

1、求下列导数

2

(1)y=3x2-lnx+3(2)y=—(3)y=xInx(4)y=(sinx)2

x

2

2、曲线y=”/在何处有水平切线？[x=-2/3]

3、已知曲线y=xln«的切线与直线2x+2y+3=0垂直，求此切线方程？同

4、求下列二阶导数

(1)y=3x2-Inx(2)y=—(3)y-x\nx

X

【B组】

1、设曲线y=x"在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(Xn,O),求极限如R/(x“)？

2、若/(0)=0,lim^^=3,刹"(0)?[1]

X

3、设/(x0)=2,求卜2]

力TOh

4、已知f(x)=x2夕(x),o(x)二阶连续可导，求1r(0)?[2^(0)]

5、设某种汽车刹车后运动规律为S=192-043,假设汽车作直线运动，求

汽车在/=4秒时的速度和加速度。

数学认识实验:函数与导函数的图像比较(y=x3,y,=3/,y”=6x)

第五讲求导法则（二）、连续与导数

教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。

重难点：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系

教学程序|:复习基本导数公式、法则一＞连续概念（极限定义）一＞连续的条件

—＞初等函数的连续性一＞可导与连续（例）一＞连续函数的极限（例子）

授课提要：

一、复习基本导数公式和法则

举例：（略）

二、连续的概念（作图直观理解）

1、定义:设函数y=/（x）在X。点及附近有定义，当时，有

/（x）ff（x0）,则称f（x）在X。点连续。

画：连续是一种特殊的极限。连续分有极限，反之不成立。

例1、试证y=|x|在x=O处连续？

三、函数连续的条件

（1）£G）在加点及附近有定义

（2）£&）在设点的极限存在

（3）极限值等于函数值。

例2、讨论函数＞=卜2，"2°在x=（）处的连续性？

l,x＜0

四、初等函数的连续性

初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。

五、可导与连续

1、可导与连续的图象特征

（1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例）

（2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点）

2、可导与连续的关系

定理：若函数f（X）在X。点可导，则f（x）在点X。连续；反之，结论不成立。

例3、试证函数y=|sinx|在x=O点连续但不可导。

例4、试证函数〉=行在x=O点连续但不可导,但切线存在。

3、极限、连续、可导之间的关系

x2x>0

可导玲连续分有极限；反之不一定成立。如/(x)='在x=0处。

六、连续函数的极限

若f(x)在X。点连续，则lim/(x)=f(x0)

XTX0

例5、求下列极限

..ln(l+x)

(1)limx2⑵limcosx(3)崛：一⑷理

X->1x->;r人'/人•Tr4

1-COSX

例6、讨论"X)=|F-'*<°在x=0处的连续性？

x2+l,x>0

思考题|：

1.如果/(X)在X。处连续，问|/(x)|在X。处是否连续？［连续］

2.如果/(x)在/处可导，问|/(x)|在与处是否可导？［不一定］

V2-1

3.求函数/(幻=工^的间断点，并判断其类型。

(x-l)x

探究题|：作图说明函数不可导点的类型。［不连续点、尖点、折点］

小结|：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社

会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩

和社会发展中的跳跃性。

作业：P34(A：1-2)；复习题(2-5)

课堂练习(求导公式与法则二)

【A组】

1、求下列函数的导数

1r_1

(1)=2x2+3x-l(2)y=-v2+—+Injf(3)y=xlnx(4)y=-----

7vxx+1

2、求函数y=x"nx在x=l处的导数值？

3、求曲线y=3x；2x+l在点(/,0)处的切线方程？[左=2]

x+23

Ji4-r2-11

4、试定义f(0)的值，使函数〃x)=^—5——在x=0处连续？"(0)=—]

x2

2.1

5、设/(x)20,问a为何值时，函数在x=0处连续？[2]

a-e\x<0

【B组】

1、作函数y=V'X>l的图像？

'1,X<1

2、设函数f(x)在x=2处连续，且lim&=2,求八2)?［2］

32X-2

3、设f(x)有连续导数，/(2)=2,/(2)=1,求lim"(刈々？［12］

12x-2

■X2X<1

4、设/(%)='~，问a,b为何值时，函数f(x)处处连续、可导？

ax+b.x>1

5、x=l是函数y=的(B)

(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)无穷间断点

*6、若f(x)在［0,a］上连续，且f(0尸f(a),试证：方程/(x)=在

(0,a)内至少有一个实根。

［提示：作新函数，在［0e］上使用零点存在定理］

数学认识实验：不可导点的类型

2^不连续点为不可导点:

-1.5

第六讲定积分的概念

教学目的：了解定积分的概念，理解定积分的儿何意义。

重难点：作为面积的定积分概念

教学程序|:提出问题一＞解决问题（思想）一＞定积分定义一＞定积分的几何意义

（例子）一＞定积分的性质（简单）

授课提要：

前言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常会遇到各种平面

图形的面积计算。对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学

的方法计算，但由任一连续围成的图形的面积就不会计算。下面讨论由连续曲线

所围成的平面图形的面积的计算方法。

一、问题引入

1、曲边梯形的定义

所谓曲边梯形是指有三条直线段,其中两条相互平行，第三条与这两条相互

垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。（如图所示）

2、引例：如何求曲线y=x2,x=o,x=l,y=O所围成的面积？（特殊曲边梯形）

（1）分析问题

若将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有一

条边是曲的。

gg：用矩形近似代替曲边梯形。为了减少误差，把曲边梯形分成许多小曲

边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。当分割越细，所得的近

似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。

（2）解决问题（思路）4

第一步：分割yT2/

第二步：近似代替y-X/

第三步：求和/

第四步：取极限（）J一一＞X

二、定积分的定义।1

现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分

割取近似,求和取极限”的方法，将所求的量归结为一个和式极限。我们称这种

“和式极限”为函数的定积分。

/(x)dx=1而£/(。)必

定义:（说明定积分中各符号的称谓）

If-kg

由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积A=fx2dx

说明卜定积分是一个特殊的和式极限，因此，它是一个常量，它只与被积函

数f(x)、积分区间［a,b］有关，而与积分变量用何字母表示无关。

三、定积分的几何意义(作图)

当函数f(x)在［a,b］上连续时，定积分可分成三种形式：

1、若在［a,b］上，/(x)>0,则定积分表示由曲线f(x),直线x=a,x=b,y=O所围

成的曲边梯形的面积A,即f/(x)dx=A

2、若在［a,b］上，/(x)<0,则定积分表示由曲线f(x),直线x=a,x=b,y=O所围

成的曲边梯形的面积A的相反数，即［f(x-)dx=-A

3、若在［a,b］上，f(x)可正可负，则定积分表示x轴上方图形的面积Ai与下方

图形的面积A2之差，即f/(x)dx=4-4

给沦定积分的儿何意义：“有号面积"，即A=j/(x)|dx。

例1、用定积分儿何意义判定下列积分的正负：

(1)fe'dx(2)f"sinxdx

~2

例2、用定积分表示由曲线y=x2+l,直线x=l,x=3和y=0所围成的图形面积？

四、定积分的性质(简略)

(1)Jf(x)dx=0(2)1f(x)dx=-Jf(x)dx(3)dx=b-a

(4)积分中值定理：

设函数/'(功在以a,b为上下限的积分区间上连续，则在a,b之间至少存在

一个自(中值)，使£f(x)dx=f(^)(b—a)

积分中值定理有以下的几何解释：若人劝在［a，b］上连

续且非负，定理表明在［a,b］上至少存在一点多使得以y=f(x)

［a,b］为底边、曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积，与同

底、高为人？的矩形的面积相等，如图所示.因此从儿何角

度看，汽号可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值

x

角度上看，人③理所当然地应该是人工)在［a,切上的平均值.oagb

因此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题.

思考题卜

1、用定积分的定义计算定积分fcdx,其中C为一定常数。［矩形的面积］

2、如何表述定积分的儿何意义？根据定积分的儿何意义求下列积分的值:

(1)xdx,(2)J：J*_%2近,(3)j2^cosxdx,(4)

探究题：用定积分的符号、定义、结果、方法等说明“什么是定积分”？

小结|：定积分的本质：从宏观(整体)研究非均匀量的“改变量”问题。是

处理非均匀量的“乘法”；其感想方法⑴在小范围内以“不变”代“变”，获

得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。其中，“分”是为

了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求。

作业|：P40(A：1-3)

课堂练习(定积分的概念)

【A组】

一、判定正误：

1、定积分表示曲边梯形的面积。(F)

2、定积分的值与被积函数f(x)、积分区间[a,b]及积分变量x有关。F

3、flnxJx>0(T)4、[[fMdx]'=f(x)(F)

二、用定积分表示面积：

(1)曲线y=直线%=-1,%=1及y=0所围成的平面？

(2)由方程/+y2=4所确定的圆的面积？

三、用定积分的定义计算定积分fcdx,其中。为一定常数。

【B组】

一、由定积分的几何意义计算：pl-x2Jx?[^]

二、由定积分的几何意义求直线y=2x+l,x=l,x=2,y=0所围成的平面图

形的面积？

三、用定积分的定义求曲线丁=1+1,_¥=1/=24=0所围成的平面图形的

面积？

数学认识实验定积分思想的几何直观

1、函数y=/在［0,1］上所围成的面积分析:

(1)步长为0.1的分割。(n=10)

(2)步长为0.05的分割。(n=20)

(3)步长为0.01的分割。(n=100)

0.20.40.60.81

第七讲定积分与导数

教学目的：掌握原函数的概念及N-L公式。

重难点：作为路程的定积分、微积分基本定理

教学程序卜复习定积分概念(和式极限)一＞原函数一＞N-L公式(求路程)

推导—＞N—L公式(计算方法)一＞定积分的计算(简单)

授课提要：

前言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所

以必须寻找新的计算方法。下面将研究定窗分与导教的关系。

一、原函数的概念

定义：若在某一区间上有F(x)=f(x),则称F(x)是f(x)的一个原函数。

如：已知(/y=2x,所以一是2x的一个原函数，同理，/+1也是它的原函

数。(说明：原函数不唯一)

*二、变上限函数

设函数f(x)在［a,b］上连续，且则称函数力为交上股函熬记

P(x)=ff(t)dto它有如下性质:

(Dp(a)=O,p3)=『/⑴力；

(2)若f(x)在［a,b］上连续,则p(x)在［a,b］上可导，且有p'(x)=/(x)。

由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是f(x)的一•个原函数。

定理(原函数存在定理)若f(x)在［a,b］上连续，则其原函数一定存在，且原

函数可表示为F(x)=f/(。力

,ifsintdt

例1、求上-(［cos?tdt)?例2、求—?

dx小xf。x

三、N—L公式(直观推导)

设一辆汽车作变速直线运动(如图)，从时刻a到b,求其经过的路程？

(1)若已知路程函数s=s(f),则s=s(b)-s(a)；

(2)若已知速度函数v=v(f),则由定积分有s=「(f)力=s(b)-s(a)；

(3)s(t)与v(t)有如下关系：s\t)=v(t),即s(t)是v(t)的一个原函数。

一般地，有如下定理：

设函数f(x)在区间［a,b］上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则

f(x)dx^F(h)-F(a)

画:(1)N—L公式揭示了定积分与原函数(不定积分)间的联系，给

定积分的计算提供了有效而简便的方法。

(2)由定义知求定积分的步聚①求原函数②求原函数的增量

例3、求下列定积分：

(1)卜2dx(2)£sinxdx(3)j(3x2+—

例4、求由曲线)，=5mX，直线x=0,x=n,y=0所围成的图形面积？

例5、求曲线y=/+l,x=l,x=2,y=0所围成的平面图形的面积？

例6、设物体的速度v=2sinf,求时段［0,幻的距离?

1、—(f'sinrdr)^?

dtA

答：因为「sinMf是以x为自变量的函数，故色「sind=0.

Ji山J1

2、(J：/(x)dx)'=?

答：因为J：/(x)dx是常数，故(J：/(x)dx)'=0.

dr0八

3、—I/(x)dx=?

dxJ”

rbdP。

答：因为I/(x)dr的结果中不含x,故一If(x)dx=0.

Jadr)"

4、—fcos/2dr=?

dx

答：由变上限定积分求导公式，知—f'cosr2dx=cosx2.

dx九

石国：N—L公式的意义：将矛盾的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中

的“对立统一”规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观

上的统一之美。

作业|：P46(A：1)；(B：1)

课堂练习(定积分与导数)

【A组】

1、计算下列定积分：

(1)『(3x2+-+2)dx

JX

(4)匚公

JxvJ)

2^求曲线y=-,x=l,x=2,y=0所围成的图形的面积？

x

3、设，(2x+k)dx=3,求k的值？［2］

4、设£=ln(x2+1),求/1(x)?［两边求导数］

【B组】

1、设6+f力=2x,求a的值？[3]

2、求导数：—[r'e'dt]?[esinxcosx]

dx

3、用定积分求极限：+、星+...+}+匕1)(

"fsn\n]lnVn内

.x2n

*4、利用定积分的性质求极限：！则jwp?(估值定理、夹值定理)

*5、证明方程3x-1-，5T=0在(0,1)内有唯一实根。

22

*6、设f(x)在［0,4］上连续，且⑴力=x-g,则f(2)=1/4。

数学认识实验|：定积分：「sinMx=0的几何直观

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第八讲习题课(导数与定积分)

教学目的：系统化本单元内容，掌握基本概念与方法。

一、基本概念及方法：

1、极限的概念，求极限的方法；

2、导数的概念，导数公式及运算法则

3、导数的儿何、物理及经济意义

4、定积分的概念，定积分的几何、物理意义(经济意义)

5、用N-L公式求定积分

二、基本题型:

1、求下列极限

/,、..x~+x—1/c、1-x~+2x—3/0、..x2+x—1//、sin3x

(1)lim--------(2)lim---------(3)lim--------(4)lim-----

•si2xIx-1is2x2x

2、求下列导数

(1)y-2x2-x+2(2)y-2ex-cosx(3)y=—+Inx+sinx

x

3、求下列导数

r2—4、、1,

(1)y-------(2)y=sin2x-lnx⑶y=(x--)2

x-2x

4、求下列积分

(1)，(2x-l)dx(2)£(2sinx-l)rfx

5、求曲线y=/+i在点(i,2)处的切线方程？

6、求S=2"—.+3在t=2时的速度？

7、设某产品的成本函数C(x)=；/+x-l,求其边际成本?

8^求曲线y=x2+1,x=0,x=2,y=0所围成的图形的面积？

9、已知物体的速度为v(f)=2cosf,求时段［0,9经过的路程?

X2,x<1

10、设/(x)=<，求［可加性］

2x,x>1

11＞设f(x)在［a,b］上连续，则曲线y=f(x