新人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间中点、直线和平面的向量表示培优练习题

1.4空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

学习指导核心素养

1.理解直线的方向向量与平面的法向1.数学抽象：对直线的方向向量、平面

量.的法向量的概念理解.

2.能用向量语言表述线线、线面、面面2.数学运算：计算直线的方向向量和平

的垂直、平行关系.面的法向量.

3.能用向量方法证明有关线、面位置关3.逻辑推理：直线、平面位置关系的判

系的一些定理(包括三垂线定理).定与证明.

第1课时空间中点、直线和平面的向量表示

出备知

知识点一空间中点、直线和平面的向量表示

(1)点的位置向量

在空间中，取一定点。作为基点,那么空间中任意一点P

就可以用向量舁来表示，向量舁称为点尸的位置向量.

(2)空间直线的向量表示

如图，a是直线/的方向向量，在直线/上耽通=a,取定

空间中的任意一点。，可以得到点P在直线/上的充要条件是存

在实数3使历5=0A+以①，将屈=a代入①式得53=向

+国.

(3)空间中平面的向量表K

如图，取定空间任意一点。，可以得到，空间一点P位于平

面A3C内的充要条件是存在实数x,y,使林=OA+

做点拨--------------------------------

(1)直线的方向向量通常有无数个，同一条直线的方向向量都是共线向量.它

们的模不一定相等.

(2)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平

行于向量a的直线.

圆TH在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，E在尸C上，且CE=

3EP,设协=a,AD=b,AP=c,以｛a,b,c｝为空间的一个基底，求直线

AE的一个方向向量.

【解】如图所示，座=AC+CE=AB+AD+|(APP

-AC)=AB+AD+|(AP-AB-AD)=|ABADA^^\\D

3广11,3工—―c

+4AP=4叫gc

113

故直线AE的一个方向向量是aa+4b+-^c.

陶题技巧------------------------------

求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起

点和终点的向量，其难点是向量的运算.

＜跟踪训练(多选)若M(l,0,-1),NQ,1,2)在直线/上，则直线/的

一个方向向量是〃=()

A.(2,2,6)B.(1,1,3)

C.(3,1,1)D.(—3,0,1)

解析：选AB.由题知疚=(1,1,3),

因为N在直线/上，

可知AB符合条件.

知识点二平面的法向量

如图，直线l±a,取直线/的方向向量a,则a叫做平面alZ

的法向量.过空间点A,且以向量a为法向量的平面a,可以用

a

集合表示为｛Pla•#=0).

微点拨--------------------------------

(1)平面a的一个法向量垂直于与平面a平行的所有向量.

⑵一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.

©TH如图，在四棱锥尸ABCD底面A3CD为

矩形，必，平面A3CD,E为尸。的中点，AB=AP=1,AD

=小，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一

个法向量.

【解】因为以，平面ABCD,底面A3CD为矩形，所

以A3,AD,AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0,

0,0),D(0,小,0),E)0,坐，J,B(l,0,0),C(l,小，0),

于是靠=[o,坐，/公=(1,小,0).

设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量,

fn.AC=0,卜+小丫=0，

叫[“一.AE=0,叫[「A，+J22一—°C，

x=一小y,

所以《

、z=~\[3y.

令y=-l,贝i]x=z=d§.

所以平面ACE的一个法向量为“=(/,—1,小).

—一题多变(变设问)本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面

PCD的一个法向量.

解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1),C(l,小,0),所以近=(1,^3,—1)即为

直线PC的一个方向向量.

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z).因为。(0,小，0),所以的=(0,73,

—1).

n-PC=Q,

则j_

LnPD=O,

x=0,

所以八.

令y=1,贝i]z=\[3.

所以平面PCD的一个法向量为〃=(0,1,小).

圈题技巧---------------------------------

待定系数法求平面法向量的步骤

(1)设向量：设平面的法向量为〃=(x,y,z).

(2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量屈，AC.

\n-AB=Oy

(3)列方程组：由〃，检，nLAC,列出方程组|一

\<n-AC=O.

[〃AB=O,

(4)解方程组：j_

[〃.AC=O.

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).

(6)得结论：得到平面的一个法向量.

<跟踪训练已知三点A(l,0,1),6(0,1,1),C(l,1,0),求平面ABC

的一个法向量.

解：设平面ABC的法向量为"=(x,y,z),

由题意得屈=(-1,1,0),BC=(1,0,-1).

,,\n-AB=—%+y=0,

因为"_LA3,n±BC,所以j

\<nBC=x—z=0.

令％=1,得y=z=l,所以平面ABC的一个法向量为〃=(1,1,1).

关键能力0提升

考点确定空间中点的位置

EB1已知点A(2,4,0),B(l,3,3),如图，以油的方

向为正向，在直线A3上建立一条数轴，P,。为轴上的两点，且

分别满足条件：

(1)AP：PB=1：2；

(2)AQ：QB=2：1.

求点P和点Q的坐标.

【解】(1)由已知，得丽=2AP,

即沅？-OP=2(OP-OA),

则历5=|OA+105.

设点P坐标为(x,y,z),

则上式换用坐标表示，

21

得avJ-(4O-

,y)1=3,33Z)

-)+

43583

---

即+

X-3--3y-33

因此，点尸的坐标是(I，y,lj.

(2)因为AQ:QB=2：1,

所以恁=-2QB,即丽-OA=-2(0B-OQ),则丽=-0A+

20B.

设点。的坐标为y,z。，

则上式换用坐标表示，

得(V,y,/)=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'

=6.

因此，。点的坐标是(0,2,6).

陶题技巧---------------------------------

求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据

向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组即可得点的坐标.

＜跟踪训练已知点A(l,-2,0)和向量a=(—3,4,12),若向量协//a,

且海|=2⑷，则点3的坐标为()

A.(-5,6,24)

B.(-5,6,24)或(7,-10,-24)

C.(-5,16,-24)

D.(-5,16,—24)或(7,-16,24)

解析：选B.设3(x,y,z),AB=(x-1,y+2,z),依题意有

卜-1y+2z

[二=丁

、(x-1)2+(y+2)2+z2=[(-3)2+42+122]X4,

尤=-5x=7,

解得jy=6,或«y=-10,即点3的坐标为(-5,6,24)或(7,-10,

、z=24、z=-24.

-24).

N课堂巩固O自1测

1.若A(0,2,1),B(3,2,—1)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()

A.(—3,0,16)B.(9,0,-6)

C.(-2,0,2)D.(-2,1,3)

解析：选检

B.=(3,0,-2)=|(9,0,—6).故选B.

2.已知直线/的一个方向向量为nz=(2,—1,3),且直线/过A(0,y,3)

和3(—1,2,z)两点，则y—z=()

A.0B.2

c.tD.3

解析：选A.由题知，AB=(-1,2—y,z—3),因为直线/的一个方向向

量为m=(2,—1,3),所以AB=km,所以一1=2左，2—y=—kyz—3=3左，解

13

得左=一］,y=z=2,所以y—z=0.故选A.

3.已知平面a内有一个点A(2,-1,2),a的一个法向量为〃=(3,1,2),

则下列点P中，在平面。内的是()

A.P(l,-1,1)B.3,I)

C.尸(1,-3,I)D.P(-1,3,一§

解析：选B.对于选项A,PA=(1,0,1),PAn=5,所以必与n不垂直,

因此

排除A;同理可排除C,D.对于选项BPA=fl,-4,,PAn=0,B

正确.

4.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=90°,SA,平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1,

试建立适当的空间直角坐标系.

(1)求平面ABCD的一个法向量；

(2)求平面SAB的一个法向量；

解：以点A为原点，AD,AB,AS所在的直线分别为

无轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,

0,0),5(0,1,0),C(l,1,0),0,0),S(0,0,

1).

⑴因为SA,平面ABCD,

所以布=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.

(2)因为ADLSA,ABHSA=A,AB,SAu平面ABS,

所以AD,平面SAB,

所以Ab=|j,0,0)是平面SAB的一个法向量.

f课后取标三检测

［A基础达标］

1.已知点A(4,1,3),BQ,-5,1),C为线段AB上一点，>AC=1AB,

则点C的坐标为（）

A.Q,一今1）-3,2)

B.

-T1)

D.住

解析：选C.因为C为线段A3上的一点，JLAC=|AB,

所以病=1AB.由此可求得点C的坐标.

设点C(x,y,z),则AC=(x—4,y—1,z—3).

又短=(-2,-6,-2),

所以(x—4,y—1,z—3)=^(—2,—6,—2),

解得x=3,y=—1,z='.所以c[3,—1,J-

2.已知A(l,0,0),3(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量

是()

A.(1,1,-1)B.(1,-1,1)

C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)

解析：选D.屈=(-l,1,0),AC=(-l,0,1).设平面ABC的法向量为

f—%+y=0,

〃=(x,y,z),则有，

—x+z=(),

取x=—1,则y=—1,Z=—1.故平面ABC的法向量是(一1,-1,-1).

3.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,—12)的方向取线段A3,且A3=34,

则3点的坐标为()

A.(18,17,-17)B.(—14,—19,17)

C.(6,$11D.1—2,一冷，13)

解析：选A.设3点坐标为(x,y,z),则AB=Aa(A>0),即(x—2,y+1,z—

7)=A(8,9,-12),因为|A3|=34,所以声百丽百I奇=34,得2=2,所

以x=18,y=17,z=—\7.

4.(多选)如图，四棱柱A5C0-ALBICLDI为棱长为1的正个

AJ_________n

方体，贝M/

7、/G

A.直线DDi的一个方向向量为(0,0,1)NF'Z

B.直线的一个方向向量为(0,1,1)

C.平面A5BA1的一个法向量为(0,1,0)’

D.平面BCD的一个法向量为(1,1,1)

解析：选ABC.因为AAi〃DDi,筋1=(0,0,1),所以A正确；ADi//BC\,

451=(0,1,1),所以B正确；AD,平面A331A1,AD=(0,1,0),所以C正

确；ACi=(l,1,1),显然与平面BCD不垂直，所以D错误.

5.棱长为1的正方体ABCD-ALBICLDI在空间直角坐标系中的

位置如图所示，则直线DBi的一个方向向量为.

解析：由题意知。(0,0,0),B1(1,1,1),所以属1=(1,1,

1),即直线OB的一个方向向量是(1,1,1).

答案：(1,1,1)(答案不唯一)

6.(2022•杭州高二月考)已知直线I的一个方向向量v=(2,1,3),且/过

A(0,y,3)和3(—1,-2,z),则y=,z=.

解析：因为直线/的一个方向向量v=(2,1,3),且/过A(0,y,3)和3(—1,

—=2九

—2,z),所以屈=(-1,-2-y,z—3)=〃2,1,3),所以，一2一丁=九解

、z—3=3九

^=-|,

3

得jk一万,

3

，

<z=Z\

33

答案：一］2

7.如图，在三棱台ABC-AiBiCi中，AB=2AiBi,BiD

=2DCi,CE=ECi,^AB=a,AC=b,AAi=c,以｛a,'f：/\£

A,c｝为空间的一个基底，求直线AE,AD的一个方向向量.处三二3c

解：AD=A4i+A7Ci+Gb

=AAi+A1C1+gCi3i

=AAI+1AC+1(JAB—|AC

=76A3B+173-AC+A4I

=ya+^b+c

所以直线AD的一个方向向量是1a+M+c.

o3

AE=AC+CE=AC+|CC1

=AC+|(CA+A4I+|AC)

,3I

所以直线AE的一个方向向量为肚+呼.

[B能力提升]

8.若A(0,2,羽，-LD,不一2,1,|j是平面a内的三点,

设平面a的法向量为a=(x,y,z),则x：y：z=()

A.2：3：(-4)1：1：

c.-]:i:iD.3：2：4

解析：选A.因为检=fl,—3,—3,AC=1—2,—1,—3,且a=(x,

—>/

ABa=x—3y—'^z=Q,

y,z)是平面a(平面ABC)的法向量，所以<解得x=§y,

ACa=-2x—y—^z=0.

4

z=—gy.令y=3,得x=2,z=—4.所以x：y:z=2:3：(—4).故选A.

9.(多选)(2022•天津五十五中高二月考)已知平面a={P,•用>=0},其中点

Po(l,2,3),法向量"=(1,1,1),则下列各点中在平面a内的是()

A.P(3,2,1)B.P(—2,5,4)

C.P(—3,4,5)D.P(2,-4,8)

解析：选ACD.对于A,A>=(2,0,-2),1X2+1X0+1X(-2)

=0,故选项A正确；对于B,PbP=(-3,3,1),H-A>=1X(-3)+1X3+1X1

=1WO,故选项B不正确；对于C,前=(-4,2,2),H-A>=1X(-4)+1X2

+1X2=0,故选项C正确；对于D,ftP=(l,-6,5),«A>=1X1+1X(-

6)+lX5=0,故选项D正确.故选ACD.

10.已知平面a内的两个向量a=(l,1,1),